FST-Mohammedia, Université Hassan II Année : 2016

FST-Mohammedia, Université Hassan II
Licence : Physique Appliquée
Année : 2016-2017
Semestre : S5
Transformée de Laplace
Exercice 1
1. Trouver la décomposition en éléments simples de
1
(s2 −s−2)(s−1)2
2. Utiliser la transformation de Laplace pour résoudre
ÿ(x) − ẏ(x) − 2y(x) = xex , y(0) = 2, ẏ(0) = 0
Exercice 2
Résoudre l’équation différentielle :
ÿ(x) + 2ẏ(x) + y(x) = xex , y(0) = 1, ẏ(0) = 0
Exercice 3
Soit x ∈ R et t ∈ [0, +∞[.
1. Justifier
l’existence, pour x = Re(p) > 0 , de la transformée de laplace de l’application t 7→
√
sin( t).
2. Montrer que pour x > 0
r
Z +∞
Z +∞
√
1
1 π −1
−xt
−xu2 +iu
e
sin( t)dt =
e
du =
e 4x .
2x −∞
2x x
0
3. On considère le problème différentiel
(P) =
4ty 00 + 2y 0 + y = 0,
y(0) = 0.
Donner une solution générale de (P).
Exercice 4
1. Déterminer les valeurs a, b et c telles que :
p2
a
b
c
=
+
+
3
2
(p + 3)
(p + 3) (p + 3)
(p + 3)3
2. Montrer que
p2
9
) = e−3t (1 + 6t + t2 )
(p + 3)3
2
3. Utiliser la transformation de Laplace pour résoudre
L−1 (
ÿ(x) + 2ẏ(x) + y(x) = xex , y(0) = −1, ẏ(0) = 1
Exercice 5
Utiliser la transformée de Laplace pour déterminer la solution t → (x(t), y(t)) du système différentiel
ẋ(t) = x(t) + 5y(t)
ẏ(t) = x(t) − 3y(t)
qui vérifie les conditions x(0) = 1 et y(0) = 2 ?
N. B L(tn e−at ) =
n!
(p+a)n+1
d
L(tÿ) = − dp
(p2 L(y)(p).