1 Equation de transfert 2 Produits de fonctions

Travaux Dirigés d’Intégration
ENSEEIHT - Dépt. GEA
Octobre 2010 - Janvier 2011
Didier Henrion1 Frédéric Messine2
TD 3 - Transformée de Fourier
1
Equation de transfert
Soient f et g deux fonctions de L1 (R).
1. Montrer que les fonctions λ → fˆ(λ) g(λ) et λ → f (λ) ĝ(λ) sont dans L1 (R).
2. Grâce au Théorème de Fubini, en déduire l’équation de transfert :
Z
Z
b
gb (λ)f (λ) dλ.
f (λ)g(λ) dλ =
R
R
2
Produits de fonctions
1. Rappeler la formule de modulation qui donne la TF de e2iπat f (t) en fonction de la
TF de f .
2. Si la fonction intégrable f a pour TF la fonction fˆ(λ), calculer la TF de
g(t) = f (t) sin(2πat)
ainsi que la TF de
h(t) = f (t) sin(t).
3. Donner la TF de I[−π,π] et déduire de ce qui précède la TF de
sin t si − π ≤ t ≤ π
k(t) =
0
sinon.
1
2
LAAS-CNRS, Univ. Toulouse et Univ. Technique Tchèque de Prague. [email protected]
ENSEEIHT et IRIT-CNRS, Univ. Toulouse. [email protected]
1
3
Equation différentielle
2
Dans cet exercice, on calcule la transformée de Fourier de f (x) = e−ax (a > 0) en
résolvant une équation différentielle. Vérifier que fˆ est solution de l’équation différentielle
2
2π
(fˆ)0 (λ) = −
λ fˆ(λ).
a
En déduire que
fˆ(λ) =
On rappelle que
4
R +∞
−∞
2
e−ax dx =
pπ
a
r
π − π2 λ2
e a .
a
(a > 0).
Dérivée et intégrale
1. Soit une fonction f ∈ L1 (R) avec de plus f ∈ C 1 (R) et f 0 ∈ L1 (R). A l’aide du
théorème fondamental du calcul intégral pour les fonctions de C 1 (R) :
Z x
f 0 (t) dt,
f (x) = f (a) +
a
vérifier que
lim f (x) = 0.
x→±∞
2. Sous les mêmes hypothèses sur la fonction f , en déduire que :
d
0 )(λ) = (2iπλ) fb(λ) ∀λ ∈ R.
(f
3. Généraliser aux dérivées d’ordres supérieurs.
Rt
4. Soit f ∈ C 1 (R) ∩ L1 (R). On pose g (t) = −∞ f (x) dx et on suppose que g ∈ L1 (R).
Déduire de ce qui précède que :
Z
F
5
t
fb(λ)
pour λ 6= 0.
f (x) dx (λ) =
2iπλ
−∞
Calcul d’intégrales
Soit la fonction
f (x) =
1 − x2 si |x| < 1
0
ailleurs.
2
1. Montrer que sa TF est donnée par :


 fb(λ) = −2πλ cos (2πλ) + sin (2πλ)
2π 3 λ3
4
 fb(0) =

.
3
si λ 6= 0
2. fb(λ) est-elle dans L1 (R) ?
3. Rappeler les conditions du théorème d’inversion de la TF.
4. En déduire le calcul de cette famille d’intégrales :
Z ∞
(u cos u − sin u)
π
cos ux du = − f (x) ∀x ∈ R.
3
u
4
0
6
Calcul d’une intégrale
En utilisant l’égalité de Parseval-Plancherel dans L2 (R), montrer que
Z ∞
3π
sin3 t
dt =
.
3
4
−∞ t
7
Equation différentielle
Montrer que si la fonction f est solution de l’équation différentielle
d2 x(t)
− 4π 2 t2 x(t) = λx(t)
dt2
alors sa TF (en supposant qu’elle existe et qu’elle possède les bonnes propriétés) vérifie
la même équation différentielle.
3