UNIVERSITE DE PARIS X NANTERRE U.F.R. S.E.G.M.I. 1`ere

UNIVERSITE DE PARIS X NANTERRE
U.F.R. S.E.G.M.I.
Année Universitaire 2005/2006
Mathématiques II
1ère année - Licence Sciences Économiques
N. Chèze B. Desgraupes L. Mesnager
Contrôle de T.D. du 27 mai
Durée : 2 heures
Tous les documents et/ou appareils électroniques sont interdits.
N’oubliez pas d’indiquer vos UP et groupe de TD sur la copie.
Exercice 1 – Soit la fonction de deux variables réelles définie par
s
f (x, y) =
x2 + y 2 − 1
2xy
a – Déterminer et représenter graphiquement le domaine de définition Df de f .
b – Établir l’équation de la courbe de niveau de hauteur 1 et tracer son graphe.
Exercice 2 – Soit la fonction de deux variables réelles définie par
f (x, y) = x3 + 3 x y 2 − 2 y 3 − 6 x
a – Déterminer les points stationnaires de f .
b – Établir le développement limité d’ordre 2 de f au voisinage du point (1, 1).
c – Établir la nature du point stationnaire (1,1).
d – Exprimer f (−x, −y) en fonction de f (x, y). Que peut-on en déduire sur le point (−1, −1) ?
Exercice 3 – Soit la fonction de deux variables réelles définie par
f (x, y) = x + y +
a – Montrer que pour tout (x, y) 6= (0, 0),
p
x2 + y 2
x ∂f
∂x + y
∂f
∂y
= f.
b – Établir le développement d’ordre 2 de f en (1, 0).
c – Pourquoi (1, 0) n’est-il pas un extremum ?
Exercice 4 – Soit la fonction de deux variables réelles définie par
f (x, y) = (x + y)2 − x4 − y 4
a – Montrer que (0, 0) est un point stationnaire.
b – Peut-on conclure sur la nature de ce point à partir du développement limité d’ordre 2 de f ?
Justifier votre réponse.
c – Calculer f (x, x) et f (x, −x). En déduire la nature du point (0, 0).
Jeudi 18 mai 2006 -- 19h58
d:\cours\maths1\Partiel Semestre 2.tex