ECE 1 2011 - 2012 TP 6. Suites numériques. 1) La suite de

ECE 1
2011 - 2012
TP 6. Suites numériques.
1) La suite de Fibonacci.
Exercice 1 :
1. Une suite numérique est avant toute chose, une suite de nombres...
On donne les premiers termes d’une suite numérique, que l’on note (F ) et qui est définie par :
1 1 2 3 5 ...
(a) Donner les trois nombres qui suivent cette progression.
(b) Pour mieux repérer les termes de la suite, on note :
F0 = 1, le premier terme de la suite (F ) :
F1 = 1, le second terme de la suite (F ) ;
F2 = 2, le troisième terme de la suite (F ), etc.
Combien vaut F7 ? Quel est le quinzième terme ? Combien vaut-il ?
(c) Soit n un entier supérieur ou égal à 1. Quels sont les termes précédant et suivant le terme Fn ?
En déduire une relation générale entre ces trois termes.
(d) Quel est le problème si l’on souhaite obtenir F50 ?
Exercice 2 : Un autre mode de génération...
φ+1
φ+2
n
Pour tout entier naturel n, on définit la suite (Gn ) par Gn =
×φ +
√
1+ 5
est le nombre défini par φ =
.
2
1
1. Démontrer par le calcul que φ2 = φ + 1 et = φ − 1.
φ
2. Démontrer par le calcul que, pour n ∈ {0, 1, 2, 3}, on a Gn = Fn .
1
φ+2
(1 − φ)n , où φ
3. Montrer que les deux suites (Fn ) et (Gn ) sont égales.
Quel est l’intéret de la suite (Gn ), notamment pour calculer F50 ? En donner une valeur exacte.
Léonard de Pise, dit Fibonacci (1175−1240) est le fils d’un marchand de Pise. Aux c^
otés
de son père, il fut amené à beaucoup voyager autour du bassin méditerranéen.
C’est au long de ses nombreux voyages que Léonardo découvrit la richesse des mathématiques
pratiquées par les grands mathématiciens arabes des trois siècles précédents, tels que Al-Khwarizmi,
le père de l’algèbre ou encore le poète Omar-Khayyam, ami des polyn^
omes...
De retour à Pise, il publie en 1202 le Liber Abacci, qui introduit dans l’Occident chrétien
les connaissances mathématiques gréco-arabes avec notamment l’apport du zéro, cadeau d’une
grande valeur de la civilisation indienne aux arabes.
Dans un problème récréatif posé dans cet ouvrage, Fibonacci décrit la croissance d’une population de
lapins :
” Un homme met un couple de lapins dans un lieu isolé de tous les côtés par un mur. Combien de
couples obtient-on en un an si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple à compter du
troisième mois de son existence ?”
2) Sens de variation d’une suite.
F Point Méthode : Pour étudier le sens de variation d’une suite (un )n∈N , il existe plusieurs méthodes :
Exercice 3 : Étudier le signe de la différence un+1 − un .
Soit u la suite définie sur N par un = n − n2 .
1. Calculer, pour tout entier naturel n, un+1 − un .
2. En déduire le sens de variation de la suite u.
Exercice 4 : Étudier le sens de variation d’une fonction.
Soit u la suite définie sur N par un =
√
n+3
1. Déterminer une fonction f définie sur [0; +∞[ telle que pour tout n ∈ N, un = f (n).
2. Étudier le sens de variation de f sur [0; +∞[. En déduire le sens de variation de la suite u.
Exercice 5 : Comparer
un+1
à 1.
un
Soit u la suite définie pour tout entier naturel n ≥ 1 par un =
2n
.
n!
un+1
en fonction de n.
un
un+1
2. Comparer
à 1. En déduire le sens de variation de la suite u.
un
1. Exprimer
Exercice 6 :
Dans chacun des cas suivants, étudier la monotonie de la suite (un ) :
4n − 1
.
n+3
u0 = 3 et un+1 = −un 2 − un − 1.
5
u0 = 1 et un+1 = un .
6
un = 4n × 5−n+1 .
√
n
un = n .
2
1. Pour tout n ∈ N, un =
2. Pour tout n ∈ N,
3. Pour tout n ∈ N,
4. Pour tout n ∈ N,
5. Pour tout n ∈ N,