Étudier le signe d`une fonction

Fonctions de R dans R
Base raisonnée d’exercices de mathématiques (Braise)
Méthodes et techniques des exercices
Étudier le signe d’une fonction
La recherche du signe d’une fonction est fondamentale dans plusieurs domaines d’analyse : pour déterminer un domaine de définition, pour connaı̂tre le sens de variation
d’une fonction dérivable en étudiant le signe de sa dérivée. . .
Il faut donc avoir en mémoire quelques méthodes :
– Savoir déterminer le signe d’un trinôme : si le trinôme ax2 + bx + c (où a, b et
c sont trois réels, a étant non nul) a deux racines réelles, il est du signe de a « à
l’extérieur » de ses racines et du signe opposé à a « à l’intérieur » de ses racines
(ce qui peut aussi s’exprimer avec un tableau de signe comme dans la méthode
suivante). Si ce trinôme n’a pas de racine réelle, alors il est du signe de a.
– Faire un tableau de signe lorsque la fonction dont on étudie le signe est sous
forme factorisée
x+2
Par exemple : si f (x) =
, on fait le tableau suivant
(x − 1)(x + 1)
x
−∞
−2
0
−1
x+2
−
+
x+1
−
−
x−1
−
−
f (x)
−
0
+
0
1
+∞
+
+
+
+
− 0 +
||
− || +
– Faire un tableau de variation de la fonction : L’étude des variations de f et de ses
valeurs ou de ses limites aux bornes des intervalles où elle change de monotonie
permet d’obtenir des informations sur le signe de f .
Remarques.
– Étudier le signe d’une fonction peut aussi se ramener à la manipulation d’inégalités :
ne pas oublier que la multiplication d’une inégalité par un terme ne peut se faire
qu’après l’étude du signe de ce terme. . . Ne pas oublier non plus qu’une lettre
désignant une constante peut être négative . . .
– Ne pas oublier que parfois pour étudier le signe de la dérivée d’une fonction, on
peut être amené à redériver la dérivée ou une partie de la dérivée (comme dans
l’exemple suivant) dont on ne peut pas déterminer le signe.
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Fonctions de R dans R
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Exemple. On veut étudier le signe de la fonction définie sur ]0, +∞[ par
f (x) = x +
ln(x)
x
Cette fonction est dérivable sur ]0, +∞[ et sa dérivée est la fonction définie par
f ′ (x) = 1 +
x2 + 1 − ln(x)
1 − ln(x)
=
x2
x2
La fonction f ′ est donc du signe de son numérateur N(x) = x2 + 1 − ln(x). On a
N ′ (x) = 2x −
2x2 − 1
1
=
.
x
x
Comme x > 0, N ′ (x) est du signe du trinôme 2x2 − 1.
√
1/ 2
0
x
2x2 − 1 || −
+∞
0
+
|| −
0
+
N(x)
√
|| ց N(1/ 2) ր
f ′ (x)
||
+
f (x)
||
ր
N ′ (x)
√
Or N(1/ 2) = 3/2 + ln(2)/2 > 0 donc, pour tout x > 0, N(x) > 0. On en déduit
que la fonction f ′ est strictement positive et donc que la fonction f est strictement
croissante.
Comme lim+ f (x) = −∞ et lim f (x) = +∞ et que f est continue, la fonction f
x→0
x→+∞
s’annule une et une seule fois en un point α. En calculant f (1) = 1 > 0, on peut
également dire que α ∈]0, 1[.
La fonction f est donc négative sur ]0, α[ et positive sur ]α, +∞[.
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