Feuille 2: Polynômes et développements limités 1 Exercices corrigés

Université d’Orl’eans
Faculté des Science
Département Mathématiques
Licence PCSI, Semestre 2
Mathématiques pour la Physique 2
Année 2005-2006
Feuille 2: Polynômes et développements limités
1
Exercices corrigés
Exercice 1 (Examen mai 2005.)
1. Déterminer le développement limité à l’ordre 3 en 0 de la fonction f donnée par f : x 7→
cos x − 1
.
x(ex − 1)
2. En déduire que f se prolonge en une fonction dérivable en 0. Donner la valeur du prolongement et de sa dérivée en 0.
3. Détreminer la limite de la suite n
cos n1 − 1 1
− .
e1/n − 1
2
Exercice 2 (Examen juin√2005.)
Soit f définie par f (x) = 1 − x2 × arcsin x. On veut connaı̂tre le développement limité à
l’ordre 5 en 0 de f par deux méthodes.
1. Première méthode.
(a) Donner le développement limité à l’ordre 2 en 0 de (1 + x)−1/2 .
(b) En déduire le développement limité à l’ordre 5 en 0 de (1 − x2 )−1/2 .
(c) En déduire le développement limité à l’ordre 5 en 0 de arcsin x.
(d) En déduire le développement limité à l’ordre 5 en 0 de f .
2. Deuxième méthode.
(a) Calculer f 0 (x).
(b) Trouver a(x) tel que f 0 (x) + a(x)f (x) = 1.
(c) Donner le développement limité à l’ordre 4 en 0 de a.
(d) En déduire le développement limité à l’ordre 5 en 0 de f .
q
3. En déduire la limite de la suite (un ) donnée par un = n5
1−
1
n2
arcsin n1 −
1
n
+
1
3n3
.
2
Suites
Exercice 3
Étudier la suite donnée par u0 ∈ [0, 1] et un+1 =
1
.
1 + un
Indication: montrer que pour tout n, 0 ≤ un ≤ 1 puis que f définie par f (x) =
1
est
1+x
contractante sur [0, 1].
Exercice 4
Étudier la suite donnée par u0 ∈ [0, 1] et un+1 =
eun
.
1 + un
Indication: montrer que pour tout n, 0 ≤ un ≤ 1 puis que f définie par f (x) =
ex
est
1+x
contractante sur [0, 1].
3
Polynômes
Exercice 5
Calculer la somme, le produit, la division euclidienne
P
Q
des polynômes suivants :
1. P (X) = 1 + 2X − X 3 + X 4 et Q(X) = 1 + X 2 ,
2. P (X) = 2X + X 3 + 3X 5 et Q(X) = 1 − X + X 3 ,
3. P (X) = 1 + X + X 2 + X 4 et Q(X) = 2 + 3X + 4X 2 .
Exercice 6
Soit P (X) = X 3 +2X 2 −X −2. Montrer que 1 est une racine de P et en déduire une factorisation
de P sur R.
4
Développement limités
Exercice 7
Calculer les développements limités des fonctions suivantes à l’ordre indiqué au point indiqué:
1. f : x 7→ cos x. ln(1 + x), f : x 7→ ex . ln(1 + x), f : x 7→
2. f : x 7→ cos1 x , f : sinx x , f : x 7→
puissances croissantes)
cos x
,
sin x
f : x 7→
1−cos x
(ex −1)2
ln(1+x)
1+x
à l’ordre 4 en 0;
à l’ordre 4 en 0 (division suivant les
2
3. f : x 7→ ln sinx x , f : x 7→ arctan 1−x
à l’ordre 4 en 0 (calculer d’abord le développement
1+x2
0
limité de f )
4. f : x 7→ arcsin2 x et f : x 7→
1
à
arcsin2 x
l’ordre 4 en 0.
Exercice 8
√
√ n
Déterminer la limite de la suite (un ) donnée par un = 3 n 2 − 2 n 3 .
Exercice 9
Déterminer la limite de
2
3
−
quand x → 1.
1 − x2 1 − x3
5
Corrections
5.1
Correction de l’exercice 1
1. cosx = 1 + 12 x2 − 4!1 x4 + x5 ε(x) donc
1
1
cos x − 1 = x2 − x4 + x5 ε(x) = x2
2
4!
1
1 2
3
− x + x ε(x) ,
2 4!
ex = 1 + x + 21 x2 + 3!1 x3 + 4!1 x4 + x4 ε(x) donc
1 2 1 3
1
3
x
2
x(e − 1) = x 1 + x + x + x + x ε(x) .
2
3!
4!
On fait une division par les puissances croissantes et on obtient
1
2
− 12
− 4!1 x2
+ 41 x
− 41 x
1
+ 2.3!
x2
− 18 x2
− − 41 x
− 18 x2
donc
f (x) =
1
+ 2.4!
x3
1
− 4.4!
x4
1 + 21 x + 3!1 x2 + 4!1 x3
1
2
− 14 x +
1 3
x
32
1
− 4.3!
x3
1 3
x
32
1 1
1
− x + x3 + x3 ε(x).
2 4
32
2. Comme f a un développement limité à l’ordre 0 en 0, elle est donc prolongeable par
continuité si on prend f (0) = 12 (le premier terme du développement limité). Comme f a
un développement limité à l’ordre 1 en 0, et ce prolongement est dérivable et f 0 (0) = − 14 .
3. On a
n
5.2
cos n1 − 1 1
1
1
1
1
− = f (1/n) − = − +
+ 3 ε(1/n) → 0.
1/n
3
e −1
2
2
4n 32n
n
Correction de l’exercice 2
1. Première méthode
(a) D’après le cours (1 + x)α = 1 + αx +
α(α−1) 2
x
2
+ x2 ε(x) donc
1
3
(1 + x)−1/2 = 1 − x + x2 + x2 ε(x).
2
8
(b) On remplace ensuite x par −x2 et on trouve (1 − x2 )−1/2 = 1 + 12 x2 + 38 x4 + x4 ε(x).
De plus, comme (1 − x2 )−1/2 est paire, le terme à l’ordre 5 est nul.
3
1
(1 − x2 )−1/2 = 1 + x2 + x4 + x5 ε(x).
2
8
(c) arcsin x est une primitive de (1 − x2 )−1/2 et arcsin 0 = 0 donc
1
3
arcsin x = x + x3 + x5 + x5 ε(x).
6
40
(d) On peut soit calculer le DL de (1+x2 )1/2 et multiplier, soit écrire (1−x2 )1/2 arcsin x =
arcsin x
et diviser par les puissances croissantes les résultats des On trouve
(1 − x2 )−1/2
3 5
+ 61 x3 + 40
x 1 + 12 x2 + 83 x4
x
−
=
−
=
x
+ 83 x5
3 5
− 10
x
+ 12 x3
1 3
− 3 x
x − 31 x3 −
2 5
x
15
− 16 x5
2 5
− 15
x
− 13 x3
2. (a) Un simple calcul donne f 0 (x) = 1 −
√ x
1−x2
arcsin x.
x
x
0
(b) On en déduit que f 0 (x) = 1 − 1−x
2 f (x) donc que f est solution de f (x) + 1−x2 f (x) =
1.
x
2
4
4
3
4
(c) On a 1−x
2 = x 1 + x + x + x ε(x) = x + x + x ε(x).
(d) Comme f est solution d’une équation différentielle de la forme y 0 + a(x)y = b(x)
avec a et b ayant des développements limités à l’ordre 4, il en va de même pour f .
De plus f est impaire, on peut donc écrire
f (x) = ax + bx3 + cx5 + x5 ε(x)
On en déduit que
f 0 (x) = a + 3bx2 + 5cx4 + x4 ε(x)
et que
x
f (x) = (x + x3 )(ax + bx3 ) + x4 ε(x) = ax2 + (a + b)x4 + x4 ε(x)
1 − x2
et enfin que
f 0 (x) +
x
f (x) = a + (a + 3b)x2 + (a + b + 5c)x4 + x4 ε(x).
1 − x2
x
1
Comme f 0 (x) + 1−x
2 f (x) = 1, a = 1, a + 3b = 0 donc b = − 3 et a + b + 5c = 0 donc
2
c = − 15
. On retrouve bien
3. On a un = n5 f (n) −
1
n
√
1
2
1 − x2 arcsin x = x − x3 − x5 + x5 ε(x).
3
15
+
1
3n3
2
= − 15
+ε
1
n
2
→ − 15
.