1) Courbes parametrees

Expose 51 : Courbes definies par des equations parametriques dans le plan. Vecteur derivée et
tangente ; interpretation cinematique
Pré requis :
- fonction numerique d’une variable reelle
- transformation du plan
- formule de taylor-young
- fonction vectorielle
Cadre : ℘ plan affine euclidien orienté muni d’un repere orthonormale direct (O, i, j ) .
I intervalle de .
1) Courbes parametrees
Definition :
• une courbe (ou arc) parametree plane est la donnee d’une application
 I →℘ 
2
continue c : 
 de coordonées ( x(t ), y (t )) ∈  t M (t ) 
• On appelle support geometrique de la courbe parametree l’image c( I ), definie par
 x = x(t )
Γ = {M ∈℘ | ∃t ∈ I , M = c(t )} on a de plus,pour t ∈ I 
 y = y (t )
Exemple :
1) t (t , f (t ))
2) Pour
 x = x0 + at
t ∈ 
 y = y0 + bt
3) Soit R positif
 [ 0, 2π [ → 2

c1 : 
 x0 + R cos(t ) cercle de
t  y + R sin(t )
 0

centre ( x0 , y0 ) et de rayon R, sens
direct,une fois
 [ 0, 2π [ → 2

c2 : 
 x0 + R cos(t ) cercle ….,
t  y − R sin(t )
 0

sens indirecte, une fois

→ 2

c1 : 
 x0 + R cos(t ) cercle…,sens indirecte, une infinite de fois
t


 y0 − R sin(t )

Exemple la roue (on suppose qu’il n’y a pas de glissements)
Pour t ∈  x(t ) = sin(t )
avec x '(0) = 0, y '(0) = 0

 y (t ) = 1 − cos(t )
M (t + 2π ) = tv ( M (t )), avec v(2π , 0)π
On restreint l’etude a un intervalle de longueur 2π .
x(−t ) = − x(t ) 
 ⇒ sym /(Oy ) ⇒ intervalle de longueur π
y (−t ) = y (t ) 
On prend donc t ∈ [ 0, π ] .
2) Vecteur derivee et tangente
Soit t0 ∈ I , M 0 := M (t0 ) .
a) Vecteur derivee
Soit un point M de coordonnees ( x(t ), y (t )) le point de parametre t, noté M(t).
Le vecteur position OM (t ) a pour coordonées OM (t )( x(t ), y (t )) .
On suppose que x(t) et y(t) sont derivables en t0
Definition : le vecteur v(t0 ) = x '(t0 )i + y '(t0 ) j est appelé vecteur derivée de Γ en M 0 .
dOM (t ) dx(t ) dy (t ) (derivéee du vecteur OM (t ) :
=
i+
j)
dt
dt
dt
Si les fonctions x(t) et y(t) ne sont pas derivables en t0 alors le vecteur v(t0 ) n’existe pas.
1 − cos(t ) 
Exemple : (sur le precedent) v(t ) 

 sin(t ) 
Interpretation cinematique :
v(t0 ) est le vecteur vitesse instantanée de M en t0
Definition : t0 ∈ I , en supposant l’existence de v(t0 ) vecteur derivée en M 0 .
• Si v(t0 ) est non nul, M 0 est un point regulier.
• Si v(t0 ) est nul, M 0 est un point stationaire.
b) tangente
Definition : Pour t0 ∈ I , la tangente à la courbe definie par Γ en M 0 .,si elle existe,est la droite
passant par M 0 et dont la direction est « la direction limite » des secantes ( M 0 M (t )) quand t
tend vers t0 .
M 0 M (t )
i.e lim
x →t 0
t − t0
proposition :
•
•
Lorsque le vecteur derivée v(t0 ) existe et est non nul, la tangente à la courbe
en t0 est dirigée par celui-ci.
Si v(t0 ) = 0 , si les fonctions coordonnees sont suffisaments derivables et si
p ≥ 1 est le plus petit entier (s’il existe) tel que le vecteur
( p)
c (t0 ) = ( x ( p ) (t0 ), y ( p ) (t0 )) soit non nul, alors la tangente à la courbe en
( p)
M 0 = M (t0 ) est dirigé par c (t0 ) .
Preuve :
•
Si v(t0 ) existe et est non nul alors
M 0 M (t ) = (t − t0 )( x '(t0 ), y '(t0 )) + (t − t0 )ε (t − t0 )
avec ε : → 2 et lim ε (t − t0 ) = 0
t →t 0
donc
M 0 M (t ) a la meme direction que le vecteur ( x '(t0 ), y '(t0 )) + ε (t − t0 ) (par colinearité)
et ce vecteur tend vers v(t0 ) quand t tend vers t0 .
• M 0 M (t ) = (t − t0 ) p ( x ( p ) (t0 ), y ( p ) (t0 )) + (t − t0 ) p ε (t − t0 )
avec ε : → 2 et lim ε (t − t0 ) = 0
t →t 0
Exemple : t (1, e
−1
t
2
)
3) Interpretation cinematique
γ (t ) = ( x ''(t ), y ''(t )) est le vecteur accélération de M à l’instant t.
Bonus si on a assez le temps :
Allure de la courbe :
La fonction numerique v : t v(t ) est appelée vitesse numerique à l’instant t
Si v est constante, le mouvement est uniforme
Si v est strictement croissante (resp. strictement decroissante)le mouvement est dit
acceléré (resp. décelléré)
Plan d’etudes des courbes parametrées.
Soit f et g deux fonctions de → ,bornées
 f (t )
On pose γ (t ) = 
 g (t )
1) on determine le domaine de definition de D f ∩ Dg
2) Reduire le domaine d’étude (qui est pour l’instant le domaine de definition)grace a la
prise en consideration de periodicité,de parité des fonctions (sur le tracé ce represente
par les symetrie ou rotation(si polaire))
3) Sens de variation de f et de g
4) Tangentes aux points remarquables( i.e v(t ) = 0 ou x’(t)=0 ou y’(t)=0)
5) Tableau de valeurs
6) Tracer la courbe