3) Parallélisme de droites a) vecteur directeur d`une droite Définition

3) Parallélisme de droites
a) vecteur directeur d’une droite
Définition : Un vecteur directeur d’une droite d est un vecteur non nul dont la
direction est celle de d.
b) conséquences
→
- Si A et B sont deux points quelconques et distincts de d, alors AB est un vecteur
directeur de d.
u
- Si dans un repère, une droite d a pour équation y = m x + p ,
m
→  1 
j
alors le vecteur u   est un vecteur directeur de d.
1
m
→ →
→  1 
O i
- Dans un repère (O ; i , j ), si le vecteur u  m , avec m ≠ 0,

est un vecteur directeur d’une droite d, alors m est le coefficient directeur de d.
Exercice :
→ →
→  3 
Dans le repère (O ; i , j ), on donne le point A(2 ; 3) et le vecteur u  .
 -2  →
Trouver une équation de la droite d passant par A et de vecteur directeur u .
1 
→  3 
→
Solution : Le vecteur u  -2  est un vecteur directeur de d, donc le vecteur v  - 2  est aussi
 
 3
2
un vecteur directeur de d. La droite d a donc pour coefficient directeur le réel - et pour
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2
2
équation :y = - x + p.Pour déterminer p, on écrit que le point A appartient à d donc 3 = - ×
3
3
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2 + p et p = 3 + = .
3 3
c) droites parallèles et coefficient directeur
→ →
Propriété : Dans le plan muni d’un repère (O ; i , j ), la droite d a pour équation
y = m x + p et la droite d’, y = m’ x + p’.
Dire que d et d’ sont parallèles équivaut à dire que m = m’.
→  1 
→  1 
En effet, v  m  est un vecteur directeur de d et v’  m’  est un vecteur directeur de d’ ; d et
 
 
→
→
d’ sont parallèles signifie que u et v sont colinéaires c’est à dire 1 × m – 1 × m’ = 0 et m =
m’.
Exercice : Soit d la droite d’équation 3x – 5y = 10 et le point A (2 ; 3).
Déterminer l’équation réduite de la droite d’ parallèle à d et passant par A.
3
3
x – 2. Le coefficient directeur de d est alors et
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comme d’ est parallèle à d, une équation de d’ est de la forme y = x + p.
5
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d’ passe par A, ce qui nous donne 3 = × 2 + p et p = et une équation de d’ est y = x + .
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5
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Solution : 3x – 5y = 10 équivaut à y =