Corrigé DS2 - Dominique Frin

CORRIGÉ
DEVOIR SURVEILLÉ N° 2
TERMINALE STD2A
EXERCICE 1 : On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x) = x3 + 2x2 – 4x – 5 .
1. La fonction dérivée de cette fonction f est f '(x) = 3x2 + 4x – 4 .
2. Pour déterminer les variations de cette fonction sur ℝ, on étudie le signe de la fonction dérivée ;
on calcule le discriminant : Δ = b2 – 4ac = 42 – 4×3×(– 4) = 64 = 82 > 0, donc il y a deux solutions :
−4 +8
2
−4 −8
−b +√ Δ
−b−√ Δ
x1 =
=
=
et x2 =
=
= – 2.
2 ×3
3
2 ×3
2a
2a
2
2
La dérivée est du signe de a = 3 > 0 sur ] – ∞; – 2] ∪ [
; + ∞[ et est négative sur [– 2 ; ].
3
3
D'où le tableau de variations :
2
x
–∞
–2
f(– 2) = (– 2)3 + 2(– 2)2 – 4(– 2) – 5 = 3 et
3
2
3
2
2
−175
2
2
f( ) =
+ 2×
– 4×
–5=
.
f '(x)
3
3
27
3
3
+
0
–
0
()
()
3. La fonction f admet un maximum local égal à 3 atteint
en x = – 2 et admet un minimum local
−175
2
égal à
atteint en x =
.
27
3
4. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe C au
point d'abscisse 0 est égal à f '(0) = – 4 et le coefficient
directeur de la tangente à la courbe C au point d'abscisse
– 2 est égal à f '(– 2) = 0.
3
+∞
+
+∞
f (x)
–∞
−175
27
EXERCICE 2 : La courbe ci-contre est la représentation graphique de la
1
fonction f définie sur ]0 ; + ∞[ par f(x) = x – 3 +
.
x
1. Les coefficients directeurs des tangentes aux points A d'abscisse 1 et B
d'abscisse 3 sont les nombres dérivés f '(1) et f '(3) .
1
8
La fonction dérivée est f '(x) = 1 – 2 ; donc f '(1) = 0 et f '(3) =
9
x
2. Tracé des tangentes sur la figure ci-contre.
EXERCICE 3 :
1. Construction du losange ABCD de côté 4 cm et tel que ^
BAD = 72° ;
le point E sur la diagonale [AC] tel que AE = AB.
2. Les angles du quadrilatère ABED : on sait que ^
BAD = 72° et
AB = AD = AE ; alors la droite (AC) est une bissectrice de ^
BAD , donc
^
BAE = ^
EAD = 36° ; le triangle ABE es isocèle en A,
donc ^
BED = 72 + 72 = 144°.
ABD = (180 – 36)/2 = 72° = ^
ADE ; et ^
^
Les angles du quadrilatère BCDE : BED = 360 – 144 = 216° ;
^
BCD = ^
BAD = 72° ; de plus les angles adjacents d'un parallélogramme sont
supplémentaires, donc ^
ADC = 180 – 72 = 108° ;
donc ^
=
108
–
72
= 36° ; de même ^
CDE
CBE = 36°.
3. Pour déterminer une valeur approchée de BE, on utilise la formule d'Al Kashi dans le triangle ABE :
BE2 = AB2 + AE2 – 2×AB×AE×cos( ^
BAE ) = 42 + 42 – 2×4×4×cos(36) = 32 – 32×cos(36) = 6,11, d'où BE = 2,47.
4. Les quadrilatères ABED et BCDE permettent de paver le plan
comme ci-contre.
5. Les transformations permettant de passer de u1 à u2 : symétrie
d'axe (OA) ;
de u1 à u3 : rotation de centre O et d'angle 144° ou symétrie d'axe
(OB) ;
BE ;
de u2 à u4 : translation de vecteur ⃗
de v1 à v2 : rotation de centre O et d'angle 144° dans le sens
horaire.
EXERCICE 4 :
1. Construction d'un carré ABCD de côté 3 cm et les triangles
BCE et ADF équilatéraux à l'extérieur du carré.
2. L'hexagone ABECDF n' est pas régulier car les angles ^
ABE =
90 + 60 = 150° et ^
BEC = 60° n'ont pas la même mesure.
3. Pavage du plan à l'aide de cet hexagone :
4. Les transformations utilisées : symétrie axiale d'axe les côté du
carré et symétrie centrale de centre les milieux de certains côtés
des triangles équilatéraux.