Droites du plan

Seconde
Droites du plan
Année scolaire
2013/2014
I) Rappel : fonction affine
Soient a et b deux nombres réels, on définit la fonction f par f(x) = ax + b pour tout x
∈ℝ.
On sait que f est une fonction affine dont la représentation graphique est une droite
dans un repère orthogonal du plan.
– a est le coefficient directeur de la droite
– b est son ordonnée à l'origine
Exemple :
Si f(x) = 3x – 1 :
Ici, le coefficient directeur de la droite est 3 et son ordonnée à l'origine est – 1
II) Equation réduite d'une droite :
On considère une droite (d) et M(x;y), un point, tel que M∈(d).
Pour cette droite (d) donnée, il existe une relation entre x et y valable pour tous les
points situés dessus.
Cette relation est appelée une équation de la droite (d)
En classe de Seconde, on n'étudiera que l'équation réduite d'une droite (les équations
cartésiennes seront vues en première)
Remarque très importante :
Une droite donnée n'admet qu'une seule équation réduite.
Il y a trois cas à connaître : droite horizontale, droite verticale et droite oblique.
1) Droite verticale :
Toute droite verticale admet une équation réduite du type x = constante
Tous les points de cette droite auront la même abscisse.
Exemple : soit (d) d'équation x = 3
(Notation : (d) : x = 3 )
2) Droite horizontale :
Toute droite horizontale admet pour équation réduite y = constante
Tous les points de cette droite auront la même ordonnée.
Exemple : Soit (D) d'équation réduite y = - 1
3) Droite oblique :
Toute droite oblique admet pour équation réduite y = ax + b où a et b
sont des réels avec a ≠ 0.
Remarque : si a = 0, alors on est dans le cas 2) Droite horizontale
Exemple :
Soit (d) : y = 2x + 3
Exercice d'application :
Soient A(-2;3) , B(4;3) , C(-2;5) et D(1;2) dans un repère orthogonal du plan.
Déterminer l'équation réduite de (AB), puis de (AC) et enfin de (CD).
Solution :
a) Equation réduite de (AB) :
On constate que yA = yB .
Donc : (AB) est une droite horizontale.
Par conséquent, son équation réduite est y = 3
b) Equation réduite de (AC) :
On constate que xA = xC
Donc:(AC) est une droite verticale.
Par conséquent, son équation réduite est x = - 2
c) Equation réduite de (CD) :
On a xC ≠ xD et yC ≠ yD alors (CD) est une droite oblique.
D'où : (CD) : y = ax + b avec a ≠ 0
- Calcul de a :
yD– y C
2– 5
–3
a=
=
=
=-1
xD– x C
1 – ( – 2)
3
D'où : (CD) : y = - x + b
- Calcul de b :
D ∈ (CD) d'où : 2 = - 1 + b (en remplaçant dans l'équation de (CD))
Donc b = 2 + 1 = 3
Par conséquent :
(CD) : y = - x + 3
III)
Droites parallèles :
Soient a,a',b,b' quatre réels tels que a et a' sont non-nuls. Soient (d)
d'équation réduite y = ax + b et (d') d'équation réduite y = a'x + b', alors :
(d) // (d') ⇔ a = a'
Remarques :
- Les droites verticales sont toutes parallèles entre elles
- Les droites horizontales sont toutes parallèles entre elles (dans ce cas, leurs
coefficients directeurs sont tous égaux à 0)
Exercice d'application :
Soit (d) : y = 5x + 2
Déterminer l'équation réduite de la droite (d') telle que (d') // (d) et A(2;-1) ∈ (d').
Solution : Comme (d') // (d), alors (d') : y = 5x + b
Pour calculer b, on va utiliser le fait que A(2;-1) ∈ (d').
- 1 = 5x2 + b
D'où : b = - 11
Par conséquent : (d') : y = 5x – 11
IV) Droites sécantes :
1) Définition :
Deux droites non confondues qui ne sont pas parallèles sont dites sécantes.
Elles possèdent un point d'intersection.
Pour calculer les coordonnées de ce point d'intersection, on va être amené à résoudre
un système de deux équations à deux inconnues.
2) Rappel : résolution de systèmes de deux équations à deux inconnues
Pour les deux techniques de résolution (par substitution et par additions) : voir le
cours de troisième à ce sujet.
Exemple :
On considère deux droites (d1) : y = 2x + 4 et (d2) : y = -5x – 3
Tout d'abord, les coefficients directeurs sont distincts, donc les droites sont ni
confondues, ni parallèles.
Elles ont donc un point d'intersection.
Calcul des coordonnées de ce point :
{
y= 2 x+4
y=– 5x – 3
⇔
{
2 x+4=– 5 x – 3
y= 2 x+4
x= – 7
{7y=2x+4
x= –1
⇔ { y=2x+4
⇔
⇔
⇔
{
{
x= –1
y=– 2+4
x= –1
y=2
Donc : le point de coordonnées (-1;2) est le point d'intersection de (d 1) et (d2)