Seconde générale : Problèmes et interrogations

Transcription

Seconde générale
Lycée Georges Imbert
2015/2016
Seconde générale : Problèmes et interrogations
O. Lader
Table des matières
Coordonnées d’un point, milieu et distante . . . . . . . . . . . . . .
Milieu, distance et coordonnées d’un vecteur . . . . . . . . . . . . .
Milieu, distance et coordonnées d’un vecteur . . . . . . . . . . . . .
Vecteurs colinéaires et applications (sujet A) . . . . . . . . . . . . .
Vecteurs colinéaires et applications (sujet B) . . . . . . . . . . . . .
Vecteurs colinéaires et applications (sujet A) (corrigé) . . . . . . . .
Devoir sur table 1 : Géométrie dans le plan et Statistiques . . . . . .
Devoir sur table 1 : Géométrie dans le plan et Statistiques (corrigé)
Algorithmique : calcul de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Les fonctions (sujet A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Les fonctions (sujet B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Devoir sur table 2 : Statistiques et fonctions de référence . . . . . . .
Devoir sur table 2 : Statistiques et fonctions de référence (corrigé) .
Probabilités (sujet A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Probabilités (sujet B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Devoir maison 1 : Calculs et probabilités . . . . . . . . . . . . . . . .
Devoir maison 1 : Calculs et probabilités (corrigé) . . . . . . . . . .
Devoir sur table 3 : Probabilités et fonctions . . . . . . . . . . . . . .
Devoir sur table 3 : Probabilités et fonctions (corrigé) . . . . . . . .
Inéquations, variations de fonctions (sujet A) . . . . . . . . . . . . .
Inéquations, variations de fonctions (sujet B) . . . . . . . . . . . . .
Devoir maison 2 : Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Devoir maison 2 : Fonctions (corrigé) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices : Développer, factoriser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(corrigé) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Échantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Devoir sur table 4 : Inéquations, fonctions, probabilités . . . . . . . .
Devoir sur table 4 : Inéquations, fonctions, probabilités (corrigé) . .
Équations de droite (sujet A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Équations de droite (sujet B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Équations de droite (sujet A et B) (corrigé) . . . . . . . . . . . . . .
TP : équations de droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Équations de droites 2 (sujet A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Équations de droites 2 (sujet B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Équations de droites (sujet A) (corrigé) . . . . . . . . . . . . . . . .
Équations de droites (sujet B) (corrigé) . . . . . . . . . . . . . . . .
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
4
6
8
9
10
12
14
17
19
21
23
25
27
29
31
33
36
38
41
43
45
47
50
51
52
54
55
57
58
59
62
64
66
68
71
Seconde générale
2015/2016
Coordonnées d’un point, milieu et distante
Exercice 1. Considérons le triangle ABC, M, O des points de la droite (AB) et N, P des points de la
droite (AC). Supposons que (P O), (M N ) et (BC) sont parallèles.
O
P
A
N
M
B
On suppose de plus que AC =
Calculer M N et P O.
14
5 ,
C
BC = 3, AP =
3
2
et AN =
9
10 .
Exercice 2. Soit ABC un triangle rectangle en A. Supposons que AB = 4 et AC = 3. Calculer BC.
Exercice 3. Soit A(−2; 2) et B(3; 4) dans un plan muni d’un repère orthonormé.
1) Placer les points A et B sur la figure suivante :
y
2) Lire les coordonnées de K milieu du segment
[AB].
3) Calculer la distance AB. Donner une valeur
approchée au centième.
4
3
2
1
−3
−2
−1
0
x
1
2
3
4
2
Seconde générale
2015/2016
Exercice 4. Soit A, B et C trois points du plan muni d’un repère orthonormé :
1) Lire les coordonnées de A, B et C
y
2) Soit K(xk ; yk ) le milieu de [AC]. Justifier par
le calcul que K est de coordonnées K(3; 3).
B
3) Soit D le symétrique de B par rapport à K.
Déterminer par le calcul les coordonnées du
point D.
A
4
4) Montrer que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
3
C
2
5) Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier.
1
6) En déduire que (AB) et (BC) sont perpendiculaires.
0
x
1
2
3
4
5
6
7
3
7) Montrer que le quadrilatère ABCD est un
carré.
Seconde générale
2015/2016
Milieu, distance et coordonnées d’un vecteur
Sujet A
Exercice 1. Dans un repère orthonormé, on considère les points A(−5; −3), B(5; −2), C(7; 4) et
D(−3; 6).
1) Faire une figure et placer les points.
2) Calculer la valeur exacte de la longueur AB.
3) Calculer la valeur exacte de la longueur CD.
4) Calculer les coordonnées de K milieu du segment [AC].
5) Calculer les coordonnées de L milieu du segment [BD].
6) Ajouter les points K et L.
7) Est-ce que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme ? Justifier.
Exercice 2. On considère le plan muni d’un repère.
y
→
−
u
→
−
v
A
1
0
x
1
−
−
1) Lire les coordonnées des vecteurs →
u et →
v.
 
−1
−
2) Représenter le vecteur →
w  .
2
 
2
−−→
3) Placer le point B tel que le vecteur AB ait pour coordonnées  .
−1
4
Seconde générale
2015/2016
y
A
→
−
v
B
→
−
u
C
1
0
x
1
1) Multiplication d’un vecteur par un nombre :
−−→ −
a) Placer le point D tel que BD = →
v.
−−→
−
b) Justifier que AD = 2→
v.
−−→
c) Déterminer les coordonnées de AD.
−
−
d) Comment passe-t-on des coordonnées de →
v à celles de 2→
v ?
→
−
→
−
e) Calculer les coordonnées des vecteurs 3 v et 10 v .
2) Vecteur opposé :
−−→
−
a) Justifier que −→
v = BA.
−−→
b) Déterminer les coordonnées de BA.
3)
−
−
c) Déterminer la relation entre les coordonnées de −→
v et →
v.
→
−
a) Déterminer les coordonnées de u .
−→
−→
b) Représenter le vecteur AC sur la figure et déterminer les coordonnées de AC.
−→
−
−
c) Justifier que →
v +→
u = AC.
−
−
−
−
d) Comment passe-t-on des coordonnées des →
v et de →
u aux coordonnées de la somme →
u +→
v.
→
−
→
−
4) Représenter le vecteur 2 v + 3 u sur la figure et déterminer ses coordonnées.
5
Seconde générale
2015/2016
Milieu, distance et coordonnées d’un vecteur
Sujet B
Exercice 1. Dans un repère orthonormé, on considère les points A(−5; −2), B(6; −2), C(7; 4) et
D(−5; 6).
1) Faire une figure et placer les points.
2) Calculer la valeur exacte de la longueur AB.
3) Calculer la valeur exacte de la longueur CD.
4) Calculer les coordonnées de K milieu du segment [AC].
5) Calculer les coordonnées de L milieu du segment [BD].
6) Ajouter les points K et L.
7) Est-ce que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme ? Justifier.
y
→
−
u
→
−
v
A
1
0
x
1
−
−
1) Lire les coordonnées des vecteurs →
u et →
v.
 
−1
−
2) Représenter le vecteur →
w  .
2
 
3
−−→
3) Placer le point B tel que le vecteur AB ait pour coordonnées  .
−1
6
Seconde générale
2015/2016
y
B
→
−
v
→
−
u
C
A
1
0
x
1
1) Multiplication d’un vecteur par un nombre :
−−→ −
a) Placer le point D tel que BD = →
v.
−−→
−
b) Justifier que AD = 2→
v.
−−→
c) Déterminer les coordonnées de AD.
−
−
d) Comment passe-t-on des coordonnées de →
v à celles de 2→
v ?
→
−
→
−
e) Calculer les coordonnées des vecteurs 3 v et 10 v .
2) Vecteur opposé :
−−→
−
a) Justifier que −→
v = BA.
−−→
b) Déterminer les coordonnées de BA.
3)
−
−
c) Déterminer la relation entre les coordonnées de −→
v et →
v.
→
−
a) Déterminer les coordonnées de u .
−→
−→
b) Représenter le vecteur AC sur la figure et déterminer les coordonnées de AC.
−→
−
−
c) Justifier que →
v +→
u = AC.
−
−
−
−
d) Comment passe-t-on des coordonnées des →
v et de →
u aux coordonnées de la somme →
u +→
v.
→
−
→
−
4) Représenter le vecteur 2 v + 3 u sur la figure et déterminer ses coordonnées.
7
Seconde générale
2015/2016
Vecteurs colinéaires et applications (sujet A)
Mercredi 2 décembre 2015
2 pt
Exercice 1. On se place dans le plan muni d’un repère.
 
 
−1
4
−
−
−
−
−
−
1) On considère les vecteurs →
u   et →
v  . Déterminer les coordonnées de −→
u , 2→
u et →
u +→
v.
7
3
 
 
1
2
4
5
1
3
−
−
−
−
v  3 . Déterminer les coordonnées des vecteurs 10→
u , 3→
v
u  2  et →
−
−
et 10→
u + 3→
v.
5 pt
Exercice 2. Soit A(1; −3), B(3; −2), C(4; 3) et D(0; 1) quatre points dans un repère du plan.
1) Faire une figure avec les 4 points et représenter le quadrilatère ABCD.
−−→
−−→
2) Déterminer les coordonnées des vecteurs AB et DC.
3) Est-ce que ABCD est un parallélogramme ?
−−→
−−→
4) Démontrer que les vecteurs AB et DC sont colinéaires.
5) Les droites (AB) et (DC) sont-elles parallèles ?
6) Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
3 pt
Exercice 3. Soit A, B, C trois points non alignés du plan. Soit D le point de coordonnées (1; 1) dans le
−−→ −−→
repère (B, BC, BA).
C
A
B
1) Déterminer les coordonnées des points A, B et C dans ce repère.
2) Placer le point D sur la figure.
3) Démontrer que ABCD est un parallélogramme.
4) Soit trois points E(0; −2), F (1; −1) et G(−1; 3).
a) Démontrer que les droites (BD) et (EF ) sont parallèles.
b) Démontrer que les points F , A et G sont alignés.
8
Seconde générale
2015/2016
Vecteurs colinéaires et applications (sujet B)
Mercredi 2 décembre 2015
2 pt
 
 
1
7
−
−
−
−
−
−
u   et →
v  . Déterminer les coordonnées de −→
u , 4→
u et →
u +→
v.
4
−3
 
 
1
2
4
5
1
3
−
−
−
−
u  3 . Déterminer les coordonnées des vecteurs 10→
v , 3→
u
v  2  et →
−
−
et 10→
v + 3→
u.
5 pt
−−→
−−→
−−→
−−→
3 pt
−−→ −−→
C
A
B
3) Démontrer que ABCD est un parallélogramme.
a) Démontrer que les droites (BD) et (EF ) sont parallèles.
9
Seconde générale
2015/2016
Vecteurs colinéaires et applications (sujet A)
corrigé
2 pt
 
 
−1
4
−
−
u   et →
v  .
3
7
 
 
 
1
−2
3
−
−
−
−
−→
u  , 2→
u   et →
u +→
v  .
−3
6
10
 
 
 
 
 
2
1
5
2
7
−
−
−
−
−
−
v  3 . 10→
u  , 3→
v   et 10→
u + 3→
v  .
u  2  et →
4
1
8
1
9
5
3
5 pt
y
C
D
1
0
x
1
B
A
−−→
−−→
2) Déterminer
des vecteurs AB et DC.
 
  les coordonnées
−−→ 2
−−→ 4
AB
et DC  
2
1
−−→
−−→
Comme les vecteurs AB et DC formés par les côtés opposés ne sont pas égaux, on en déduit que
ABCD n’est pas un parallélogramme.
−−→
−−→
−−→
−−→
On note que 2 × 2 = 1 × 4, d’où les coordonnées des vecteurs AB et DC sont proportionnelles.
Ainsi, les vecteurs sont colinéaires.
−−→
−−→
D’après la question précédente, les vecteurs AB et DC sont colinéaires d’où les droites (AB) et
(DC) sont parallèles.
On a vu dans la question précédente que les côtés opposés [AB] et [DC] du quadrilatère sont
parallèles, ainsi ABCD est un trapèze.
10
Seconde générale
3 pt
2015/2016
−−→ −−→
x
C
D
F
E
y
A
B
G
A(0; 1), B(0; 0) et C(1; 0)
D(1; 1)
3) Démontrer que ABCD
 est un parallélogramme.
 
−−→  0  −−→  0 
= DC
ainsi le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
On note que AB
−1
−1
a) Démontrer que
 les
 droites(BD)
 et (EF ) sont parallèles.
−−→ 1
−−→ 1
Comme BD   = EF  , en particulier ils sont colinéaires et donc les droites (BD) et
1
2
(EF ) sont parallèles.
 
 
−−→ −2
−→  1 
et 1 × 4 = (−2) × (−2). Donc les vecteurs sont colinéaires et
et F G
On a F A
4
−2
ainsi les trois points F , A et G sont alignés.
11
Seconde générale
2015/2016
Devoir sur table 1 : Géométrie dans le plan et Statistiques
mercredi 16 décembre 2015
Exercice 1. On se place dans le plan muni d’un repère orthonormé :
y
F
1
H
0
x
1
D
On considère les points A(2; 3), B(4; 6), C(10; 4) et D sur la figure. On note E, F (4.5; 2), G et H(7.5; 1)
les milieux des segments [AC], [BD], [AB] et [DC] respectivement.
1) Tracer le triangle ABC.
2) Calculer la distance AB.
3) Quelle est la nature du triangle ABC ?
4) Lire les coordonnées de D et tracer le quadrilatère ABCD.
−−→
−−→
7) Déterminer les coordonnées des milieux E et G et les placer sur la figure.
8) Quelle est la nature du quadrilatère F HEG ?
9) On considère le point K(3.5; 0.5) et le point L(9; 6.5).
a) Placer les points L et K sur la figure et tracer la droite (EF ).
b) Est-ce que les points E, F et K sont alignés ?
c) Est-ce que les points E, F et L sont alignés ?
 
2
−
10) Placer le vecteur →
v   sur la figure.
3
−−→ −
11) Placer le point M tel que CM = →
v.
12) Est-ce que les droites (CM ) et (EF ) sont parallèles ?
Exercice 2. Une entreprise vend des boîtes de 100g de maquereaux et effectue des relevés de masse
(données en grammes) sur un échantillon de 200 boîtes et obtient les résultats ci-dessous.
12
Seconde générale
2015/2016
Poids
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
106
107
Nombre de boîtes
1
1
1
3
4
22
27
68
48
21
3
1
1) Représenter par un diagramme en bâtons les données.
2) Calculer le poids moyen d’une boîte de maquereaux.
3) Quelle est la proportion de boîtes dont le poids est inférieur ou égal à 97g ?
4) Quelle est la proportion de boîtes dont le poids est supérieur ou égal à 103g ?
5) En déduire le pourcentage de boîtes dont le poids est compris dans l’intervalle [98; 102].
Exercice 3. On considère (O, I, J) un repère du plan. Soit A(−6; 4), B(4.5; 9) et C(−8; −3).
−−→
1) Déterminer les coordonnées du vecteur 2AB.
−→
−−→
2) Déterminer les coordonnées du vecteur 3.5CA − 7AB.
Exercice 4. Soit ABCD un parallélogramme et I le point d’intersection des diagonales de ABCD.
1) Faire une figure.
−−→ −−→
−
→
2) Montrer que AB + AD = 2AI.
13
Seconde générale
2015/2016
Devoir sur table 1 : Géométrie dans le plan et Statistiques
corrigé
Exercice 1. On se place dans le plan muni d’un repère orthonormé :
y
M
L
B
G
C
E
A
F
→
−
v
H
1
K
0
x
1
D
On considère les points A(2; 3), B(4; 6), C(10; 4) et D sur la figure. On note E, F (4.5; 2), G et H(7.5; 1)
les milieux des segments [AC], [BD], [AB] et [DC] respectivement.
1) (Tracer le triangle ABC.)
2
2
2
2
2
2) D’après le théorème de Pythagore,
√ AB = (xB − xA ) + (yB + yA ) = (4 − 2) + (6 − 3) = 13,
ainsi la distance AB est égale à 13.
3) On note que BC 2 = (10 − 4)2 + (4 − 6)2 = 40 et AC 2 = (10 − 2)2 + (4 − 3)2 = 65, d’où AB 2 + BC 2 =
53 6= AC 2 . Ainsi, d’après le théorème de Pythagore, le triangle ABC n’est pas rectangle. Du
précédent calcul, on déduit que les longueurs des côtés sont deux à deux distincts et donc le triangle
n’est non plus pas isocèle.
4) Les coordonnées de D sont (5; −2).

  

  
−−→ 4 − 2 2 −−→  10 − 5  5
5) On a AB
=
et DC
=
.
6−3
3
4 − (−2)
6
−−→
−−→
6) D’après la question précédente, les vecteurs AB et DC ne sont pas égaux, ainsi ABCD n’est pas
un parallélogramme.
3+4
C
C
7) Les coordonnées du milieu E de [AC] sont ( xA +x
; yA +y
) = ( 2+10
2
2
2 ; 2 ) = (6; 3.5). De même,
2+4 3+6
G( 2 ; 2 ) = (3; 4.5).
 

  
−−→  6 − 3   3  −−→  3 
8) On note que les vecteurs GE
=
et F H
sont égaux, ainsi le quadrilatère
−1
3.5 − 4.5
−1
F HEG est un parallélogramme.
9) On considère le point K(3.5; 0.5) et le point L(9; 6.5).
14
Seconde générale
2015/2016
a) (Placer les points L et K sur la figure et tracer la droite (EF ). )




−−→ −1.5
−−→ −2.5
b) On note que EF
et EK
ne sont pas colinéaires car −1.5 × (−3) = 4.5 6=
−1.5
−3
−1.5 × (−2.5) = 3.75. D’où, les points E, F et K ne sont pas alignés.
 
−→ 3
−−→ −→
c) On note que EL
et −1.5 × 3 = −1.5 × 3. Ainsi les vecteurs EF et EL sont colinéaires et
3
les points E, F et L sont alignés.
 
3
−
10) (Placer le vecteur →
v   sur la figure.)
3
−−→ −
11) (Placer le point M tel que CM = →
v .)
 


−−→ 3 −−→ −1.5
12) Les vecteurs CM
et EF
sont colinéaires, ainsi les droites (CM ) et (EF ) sont paral3
−1.5
lèles.
Exercice 2. Une entreprise vend des boîtes de 100g de maquereaux et effectue des relevés de masse
(données en grammes) sur un échantillon de 200 boîtes et obtient les résultats ci-dessous.
Poids
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
106
107
Nombre de boîtes
1
1
1
3
4
22
27
68
48
21
3
1
1) Le diagramme en bâtons représentant les données :
Nombre de boîtes
60
50
40
30
20
10
Poids
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
2) Le poids moyen d’une boîte de maquereaux est
x̄ =
95 + 96 + 97 + 3 × 98 + . . . + 3 × 106 + 107
= 101.97
1 + 1 + ... + 3 + 1
grammes.
3
200 = 0.015 = 1.5%.
est 48+21+3+1
= 0.365
200
3) La proportion de boîtes dont le poids est inférieur ou égal à 97g est
4) La proportion de boîtes dont le poids est supérieur ou égal à 103g
= 36.5%.
5) On en déduit que le pourcentage de boîtes dont le poids est compris dans l’intervalle [98; 102] est
100% − 1.5% − 36.5% = 62%.
Exercice 3. On considère (O, I, J) un repère du plan. Soit A(−6; 4), B(4.5; 9) et C(−8; −3).
15
Seconde générale
2015/2016

 
  
4.5 − (−6)
2 × 10.5
21
−−→
=
 =  .
1) Les coordonnées du vecteur 2AB sont 2 
9−4
2×5
10
−→
−−→
2) Les coordonnées du vecteur 3.5CA − 7AB sont



 
 

−6 − (−8)
4.5 − (−6)
3.5 × 2 − 7 × 10.5
−66.5
 − 7
=
=

3.5 
4 − (−3)
9−4
3.5 × 7 − 7 × 5
−10.5
Exercice 4. Soit ABCD un parallélogramme et I le point d’intersection des diagonales de ABCD.
1)
D
C
−
−
→
AB
I
−
→
AI
A
−
−
→
AB
B
−−→ −−→
2) Comme ABCD est un parallélogramme, ses diagonales se coupent en leurs milieux I et BD = AD.
−
→ −→
Ainsi, d’après le cours, 2AI = AC et d’après la relation de Chalses :
−
→ −→ −−→ −−→ −−→ −−→
2AI = AC = AB + BD = AB + AD
16
Seconde générale
2015/2016
Algorithmique : calcul de la moyenne
Exercice 1. On considère le code TEST pour calculatrice suivant :
Exercice 2. On considère le code TEST pour calculatrice suivant :
1→ A
2→ B
1→ A
3→ A
A
A
1) Taper le programme dans votre calculatrice et
l’executer.
l’executer.
2) Que fait ce programme ?
3) Modifier le programme pour qu’il affiche -2 et
le tester.
3) Supprimer la 3e ligne du programme dans
votre calculatrice. Sans exécuter le programme, que va-t-il afficher ? Vérifier.
4) Modifier le programme pour qu’il affiche la
valeur stockée dans la variable B.
Exercice 3. On considère le code TEST2 pour cal- Exercice 4. On considère le code MOYENNE pour
culatrice suivant :
calculatrice suivant :
3→ A
"A":?→ A
4→ B
"B":?→ B
A + B → A
(A + B)÷2 → M
A
"M": M
l’executer.
l’executer.
3) Modifier le programme pour qu’il calcul
-5 × A + 2 × B et l’affiche.
3) Modifier le programme pour qu’il calcul la
moyenne de trois nombres A, B et C.
Exercice 5. On considère l’algorithme suivant :
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
Variables : M , S et N sont des nombres
Initialisation :
S prend la valeur 0.
Traitement :
Demander “Combien de valeurs voulez-vous taper ?"
Ranger la valeur dans N .
Pour I allant de 1 à N faire
Saisir x
Ajouter x à S
Fin Pour
S
.
Calculer M = N
Afficher M .
1) Tester le programme TEST3 suivant correspondant à l’algorithme précédent :
17
Seconde générale
Casio :
"N":?→ N
0→ S
For 1 → I to N
"X":?→ X
S+X →S
Next
S÷N →M
M
2015/2016
Texas Instrument :
Disp "N"
Prompt N
0→ S
For(I,1,N)
Prompt X
S+X →S
End
S÷N →M
Disp M
2) Que permet-il de calculer ?
3) On considère maintenant l’algorithme qui permet de calculer la moyenne d’une série statistique
(xi ; ni ) :
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
Variables : M , S, x, n, k et N sont des nombres
Initialisation :
S prend la valeur 0.
N prend la valeur 0.
Traitement :
Demander “Combien de valeurs différentes voulez-vous taper ?"
Ranger la valeur dans k.
Pour I allant de 1 à k faire
Saisir x
Saisir n
Ajouter n × x à S
Ajouter n à N
Fin Pour
S
.
Calculer M = N
Afficher M .
Programmer cet algorithme dans votre calculatrice.
18
. Valeur xi
. Effectif ni
Seconde générale
2015/2016
Les fonctions (sujet A)
jeudi 21 janvier 2015
Exercice 1. On considère la fonction f définie sur l’intervalle [−3; 6] par
1 3
14
x − x2 − 2x +
3
3
f (x) =
1) Calculer l’image de −1.5 ;
1
2
et
√
2.
2) Compléter la table suivante :
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
f (x)
3) Tracer la courbe représentative de la fonction f dans le repère suivant :
y
1
x
0
1
4) Par lecture graphique, déterminer les antécédents de 2.
Exercice 2. Voici la représentation graphique de la fonction f définie sur l’intervalle [−5; 7].
y
1
0
x
1
1) Résoudre graphiquement sur [−5; 7], f (x) = −2 ;
3) Résoudre graphiquement sur [−5; 7], f (x) ≥ −1.
19
6
Seconde générale
2015/2016
Exercice 3. La courbe suivante représente la fonction f définie sur l’intervalle [−5; 7].
y
1
x
0
1
1) Résoudre graphiquement sur l’intervalle [−5; 7] l’équation f (x) = 0.
2) Compléter le tableau de signes de f :
x
f (x)
−5
+
...
−1
...
...
0
0
0
0
Exercice 4. Résoudre les équations suivantes en x :
1) x + 7 = 0 ;
2) x −
3)
1
3x
1
2
= 0;
+ 5 = 7;
4) (x + 4)(3x − 5) = 0 ;
5) (x − 5)(x + 5) = 0 ;
6)
x+1
x−1
= 0.
20
7
Seconde générale
2015/2016
Les fonctions (sujet B)
jeudi 21 janvier 2015
Exercice 1. On considère la fonction f définie sur l’intervalle [−3; 6] par
1 3
11
x − x2 − 2x +
3
3
f (x) =
1) Calculer l’image de −1.5 ;
1
2
et
√
2.
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
f (x)
y
1
x
0
1
Exercice 2. Voici la représentation graphique de la fonction f définie sur l’intervalle [−5; 7].
y
1
0
x
1
21
6
Seconde générale
2015/2016
3) Résoudre graphiquement sur [−5; 7], f (x) ≥ −1.
Exercice 3. La courbe suivante représente la fonction f définie sur l’intervalle [−5; 7].
y
1
x
0
1
1) Résoudre graphiquement sur l’intervalle [−5; 7] l’équation f (x) = 0.
2) Compléter le tableau de signes de f :
x
f (x)
−5
+
...
−2
...
...
0
0
0
0
Exercice 4. Résoudre les équations suivantes en x :
1) x + 9 = 0 ;
2) x −
3)
1
5x
1
3
= 0;
+ 3 = 7;
4) (x + 2)(5x − 8) = 0 ;
5) (x − 4)(x + 4) = 0 ;
6)
x+2
x−2
= 0.
22
7
Seconde générale
2015/2016
Devoir sur table 2 : Statistiques et fonctions de référence
mardi 26 janvier 2016
Exercice 1 (Chômage de la région Centre). Le tableau suivant donne le nombre d’hommes de moins de
25 ans demandeurs d’emploi relevé dans 36 communes de taille similaire de la région Centre.
(source : Pôle Emploi, traitement Insee : 2013)
128
272
27
122
38
12
14
1 008
29
10
10
31
6
28
80
8
68
8
8
19
15
8
52
7
6
13
67
3
7
53
4
5
3
21
14
43
1) Combien y a-t-il de villes avec 8 demandeurs d’emploi de moins de 25 ans ? Quelle est la fréquence
des villes avec 8 demandeurs d’emploi de moins de 25 ans ?
2) Déterminer la proportion de villes avec moins de 8 demandeurs d’emploi de moins de 25 ans dans
cette série.
3) À l’aide de la calculatrice, calculer la moyenne de cette série.
4) Calculer la médiane ainsi que les quartiles Q1 et Q3 .
5) Que vaut l’écart interquartiles ?
6) Entre la moyenne et la médiane, quel paramètre privilègera le président de la Région Centre pour
mettre en valeur les bons résultats de ces communes ?
7) Une valeur paraît être hors norme dans cette série statistique. Laquelle ?
8) Calculer la moyenne et la médiane de la série statistique constituée des valeurs précédentes auxquelles on a enlevé la valeur 1 008. Quel effet cela a-t-il sur ces indicateurs ? (1 008 s’appelle une
valeur extrême pour la série statistique.)
Exercice 2. Soit ABCD un carré de côté 2cm. Soit M un point du segment [BC], on pose x = CM et
on se donne N un point de [CD] tel que N C = 2 − x cm.
a = 1.3
D
N
2−x
C
x
M
B
A
2
1) Calculer l’aire du triangle N CM .
2) On note f (x) l’aire du polygône ABM N D, c’est-à-dire du domaine grisé. Justifier qu’on a
f (x) = 4 −
x(2 − x)
2
3) Justifier que le domaine de définition de la fonction f qui à x associe l’aire de ABM N D est
l’intervalle [0; 2].
x
0
0, 5
1
1, 5
f (x)
23
2
Seconde générale
2015/2016
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
2
6) Déterminer graphiquement le/les antécédent(s) de 3.5.
7) Résoudre graphiquement f (x) = 3.75.
8) Déterminer l’aire minimale occupée par le polygône ABM N D et pour quelle valeur de x.
Exercice 3. Résoudre les équations suivantes :
1)
2)
x
2 −
x+1
2
5 = 7;
+ 11 = 0 ;
3) (3x + 4)(x + 5) = 0 ;
x
+ 11)(13x + 132.1) = 0 ;
4) ( 121
5) x2 − 12 = 0.
24
Seconde générale
2015/2016
Devoir sur table 2 : Statistiques et fonctions de référence
corrigé
Exercice 1 (Chômage de la région Centre). Le tableau suivant donne le nombre d’hommes de moins de
25 ans demandeurs d’emploi relevé dans 36 communes de taille similaire de la région Centre.
(source : Pôle Emploi, traitement Insee : 2013)
128
272
27
122
38
12
14
1 008
29
10
10
31
6
28
80
8
68
8
8
19
15
8
52
7
6
13
67
3
7
53
4
5
3
21
14
43
1) Il y a 4 villes avec 8 demandeurs d’emploi de moins de 25 ans et leur fréquence est
4
36
=
1
9
' 11%.
2) La proportion de villes avec moins de 8 demandeurs d’emploi de moins de 25 ans dans cette série
8
est 36
= 12 9 ' 22%.
3) La moyenne de cette série est x̄ ' 62.42.
4) La médiane est 14.5, le premier quartile Q1 est 8 et le troisième quartile est 43.
5) L’écart interquartiles est Q3 − Q1 = 35.
6) La médiane étant bien plus basse que la moyenne, c’est bien la médiane que privilègera le président
de la Région Centre pour mettre en valeur les bons résultats de ces communes.
7) On note que la valeur 1 008 paraît être hors norme dans cette série statistique.
8) Calculons la moyenne et la médiane de la série statistique constituée des valeurs précédentes auxquelles on a enlevé la valeur 1 008 :
• la moyenne est de 35.4 ;
• la médiane est de 14.
La médiane n’a presque pas changé par contre la moyenne a presque été divisé par deux ! La moyenne
tient davantage compte des valeurs extrêmes.
Exercice 2. Soit ABCD un carré de côté 2cm. Soit M un point du segment [BC], on pose x = CM et
on se donne N un point de [CD] tel que N C = 2 − x cm.
a = 1.3
D
N
2−x
C
x
M
A
B
2
1) Rappelons que pour calculer l’aire d’un triangle rectangle, il suffit de multiplier la longueur de la
base par celle de la hauteur et de diviser par 2. D’autre part, le triangle N CM est inscrit dans un
carré, d’où il est rectangle en C. Ainsi, l’aire triangle N CM est
base × hauteur
N C × CM
(2 − x)x
=
=
2
2
2
2) On note f (x) l’aire du polygône ABM N D, c’est-à-dire du domaine en rouge. L’aire de ce domaine
est égale à
f (x) = A ire(ABCD) − A ire(N CM )
Ainsi, d’après la question précédente, on a
f (x) = 22 −
x(2 − x)
x(2 − x)
=4−
2
2
25
Seconde générale
2015/2016
3) Le domaine de définition de la fonction f qui à x associe l’aire de ABM N D est l’intervalle [0; 2],
car x est la longueur du segment [CM ] et M appartient à [CM ], ainsi 0 ≤ x = CM ≤ CB = 2.
4) Complétons le tableau suivant :
x
0
0, 5
1
1, 5
2
f (x)
4
3, 625
3, 5
3, 625
4
1.5 1.7
2
5) Voici la courbe représentative de la fonction f :
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0.3 0.5
1
6) L’aire est minimale lorsque x = 1 cm et vaut 3.5 cm2 .
Exercice 3. On a
1)
3)
(3x + 4)(x + 5) = 0
x
−5=7
2
x
=7+5
2
x = 2 × 12
3x + 4 = 0
ou
x+5=0
3x = −4
−4
x=
3
ou
x = −5
ou
x = −5
4)
x = 24
(
2)
x+1
+ 11 = 0
2
x+1
= −11
2
x + 1 = −11 × 2
x
+ 11)(13x + 132.1) = 0
121
x
+ 11 = 0
ou
121
x
= −11
ou
121
x = −11 × 121
ou
x = −1331
ou
13x + 132.1 = 0
13x = −132.1
132.1
13
132.1
x=−
13
x=−
5)
x = −22 − 1
x2 − 12 = 0
x = −23
x=
26
√
x2 = 12
12
ou
√
x = − 12
Seconde générale
2015/2016
Probabilités (sujet A)
mardi 2 février 2016
Exercice 1. Deux épidémies sévissent en même temps dans un lycée, la gastro-entérite et un rhume. On
choisit un élève au hasard et on nomme :
— G l’événement « l’élève a la gastro-entérite »
— R l’événement « l’élève a un rhume »
Décrire à l’aide de ces deux événements :
1) « l’élève a la gastro-entérite et le rhume »
2) « l’élève a le rhume mais pas la gastro-entérite »
3) « l’élève a au moins une des deux maladies »
4) « l’élève n’a aucune des deux maladies »
Définition. Une expérience aléatoire est dite équiprobable lorsque toutes les issues, on la même probabilité de se réaliser.
Exercice 2. On se donne un dé tétraédriques dont les faces sont numérotées de 1 à 4 et un dé cubique.
On les lance et on regarde la somme obtenue.
1) Quels sont les résultats possibles ?
2) Est-ce une situation d’équiprobabilité ?
3) Compléter la loi de probabilités de cette expérience aléatoire :
Somme obtenue
2
Probabilité
1
24
4) Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre pair ?
5) Quelle est la probabilité d’obtenir un multiple de trois ?
Propriété. Si A et B sont deux événements d’une expérience aléatoire alors :
1) P(Ā) = 1 − P(A) ;
2) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
Exercice 3. Soit A et B deux événements tels que :
• P(A) = 0, 7
• P(B) = 0, 5
• P(A ∩ B) = 0, 3
Calculer :
1) P A
2) P(A ∪ B)
3) P A ∩ B
27
Seconde générale
2015/2016
Exercice 4. Soit S et T deux événements tels que :
• P(S) = 0, 5
• P(T ) = 0, 6
• P(S ∪ T ) = 0, 9
Calculer les probabilités suivantes :
1) P(S ∩ T )
2) P S ∪ T
3) P S ∩ T .
Exercice 5 (Prendre rendez-vous !). Le standard d’un cabinet médical dispose de deux lignes de téléphone. On considère les événements :
• O1 : « La 1er ligne est occupée ».
• O2 : « La 2e ligne est occupée ».
Une étude statistique montre que :
• P(O1 ) = 0, 4
• P(O2 ) = 0, 3
• P(O1 ∩ O2 ) = 0, 2
Calculer la probabilité des événements suivants.
1) « La ligne 1 est libre ».
2) « Au moins une des lignes est occupée ».
3) « Au moins une des lignes est libre ».
28
Seconde générale
2015/2016
Probabilités (sujet B)
mardi 2 février 2016
Exercice 1. Deux épidémies sévissent en même temps dans un lycée, la gastro-entérite et un rhume. On
choisit un élève au hasard et on nomme :
• G l’événement « l’élève a la gastro-entérite »
• R l’événement « l’élève a un rhume »
Décrire à l’aide de ces deux événements :
1) « l’élève a la gastro-entérite et le rhume »
2) « l’élève n’a pas le rhume mais la gastro-entérite »
3) « l’élève n’a aucune des deux maladies »
4) « l’élève a au moins une des deux maladies »
Définition. Une expérience aléatoire est dite équiprobable lorsque toutes les issues, on la même probabilité de se réaliser.
Exercice 2. On considère deux urnes, la première contient 4 boules numérotées de 1 à 4 et la seconde
urne contient 5 boules numérotées de 1 à 5. On tire une boule dans chacune des deux urnes et on regarde
la somme obtenue.
1) Quels sont les résultats possibles ?
2) Est-ce une situation d’équiprobabilité ?
3) Compléter la loi de probabilités de cette expérience aléatoire :
Somme obtenue
2
Probabilité
1
20
4) Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre impair ?
5) Quelle est la probabilité d’obtenir un multiple de quatre ?
Propriété. Si A et B sont deux événements d’une expérience aléatoire alors :
1) P(Ā) = 1 − P(A) ;
2) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
Exercice 3. Soit A et B deux événements tels que :
• P(A) = 0, 4
• P(B) = 0, 6
• P(A ∩ B) = 0, 2
Calculer :
1) P A
2) P(A ∪ B)
3) P A ∩ B
29
Seconde générale
2015/2016
Exercice 4. Soit S et T deux événements tels que :
• P(S) = 0, 7
• P(T ) = 0, 3
• P(S ∪ T ) = 0, 8
Calculer les probabilités suivantes :
1) P(S ∩ T )
2) P S ∪ T
3) P S ∩ T .
Exercice 5 (Prendre rendez-vous !). Le standard d’un cabinet médical dispose de deux lignes de téléphone. On considère les événements :
• O1 : « La 1er ligne est occupée ».
• O2 : « La 2e ligne est occupée ».
Une étude statistique montre que :
• P(O1 ) = 0, 4
• P(O2 ) = 0, 5
• P(O1 ∩ O2 ) = 0, 3
Calculer la probabilité des événements suivants.
1) « La ligne 2 est libre ».
2) « Au moins une des lignes est occupée ».
3) « Au moins une des lignes est libre ».
30
Seconde générale
2015/2016
Devoir maison 1 : Calculs et probabilités
pour le mardi 23 février 2016
Exercice 1.
1) Développer les expressions suivantes :
a) (2 + x) × 3x =
b) (4 + x) × (x − 7) =
c) (x − 5)2 =
d) ( 12 t + 4)2 − 4(t + 14 )2 =
2) Factoriser les expressions suivantes :
a) 12x2 + 5x =
b)
1 2
2x
− 14 x =
c) (2x + 1)2 − (2x + 1)(x + 3) =
3) Résoudre les équations suivantes :
a)
3
5x
+ 4 = 25 x − 1
b) (x + 12)(3x − 4) = 0
c) (x + 2)2 − 9 = 0
Exercice 2. On donne le programme de calcul suivant :
Choisir un nombre.
Ajouter 3.
Multiplier par 2.
Ajouter le nombre choisi.
Diviser par 3.
Enlever 2.
Écrire le résultat.
1) Tester le programme de calcul avec plusieurs nombres.
2) Que constate-t’on ?
3) Démontrer ce résultat.
Exercice 3 (Sondage). Afin de mieux connaître sa clientèle, une station de sports d’hiver a effectué une
enquête auprès de 250 skieurs.
Voici la synthèse des réponses au sondage :
• deux tiers des personnes qui viennent tous les week-ends possèdent leur matériel ;
• la moitié des personnes venant deux semaines par an possèdent également leur matériel ;
• 44 des personnes interrogées louent sur place.
On considère les événements suivants.
• M : “ la personne possède son matériel " ;
• L : “ la personne loue ses skis sur place " ;
• A : “ la personne loue ses skis ailleurs " ;
• S : “ la personne vient une semaine par an " ;
• W : “ la personne vient tous les week-ends " ;
• Q : “ la personne vient deux semaines par an ".
1) Reproduire et compléter le tableau ci-dessous présentant la synthèse des réponses.
31
Seconde générale
M
S
L
2015/2016
A
Total
5
30
25
W
Q
30
Total
100
250
2) On choisit au hasard un client parmi les 250 personnes interrogées, toutes ayant la même chance
d’être choisies.
a) Calculer les probabilités P (Q) et P (L).
b) Décrire par une phrase l’événement Q ∩ L .
Calculer P (Q ∩ L).
c) Calculer P (Q ∪ L).
3) On choisit au hasard un client qui possède son propre matériel.
Quelle est la probabilité qu’il vienne toutes les semaines ?
Exercice 4. Un paquet contient quatre bonbons :
• deux à la myrtille
• un à la frambroise
• un au citron
Sandrine prend au hasard 2 bonbons l’un après l’autre.
1) Quelle est la probabilité que le premier bonbon soit à la myrtille ?
2) Antoine propose un arbre des possibles ci-dessous.
M
M
F
C
M
F
C
M
C
F
a) Dans cette arbre, Antoine distingue naturellement le bonbon à la framboise du bon au citron.
En est-il de même pour les deux bonbons à la myrtille ?
b) Proposer l’arbre des possibles qui convient en notant M1 un des bonbons à la myrtille et M2
l’autre bonbon à la myrtille.
3) Quelle est la nature de l’expérience aléatoire ?
4) Justifier que cette expérience aléatoire a 12 issues ?
5) Quelle est la probabilté :
a) que Sandrine mange deux bonbons à la myrtille ?
b) que Sandrine mange au moins un bonbon à la myrtille ?
c) que Sandrine ne mange pas de bonbons à la myrtille ?
32
Seconde générale
2015/2016
Devoir maison 1 : Calculs et probabilités
corrigé
Exercice 1.
1) Développer les expressions suivantes :
a) (2 + x) × 3x = 2 × 3 × x + x × 3 × x = 6x + 3x2 ;
b) (4 + x) × (x − 7) = 4x − 4 × 7 + x2 − 7x = x2 − 3x − 28 ;
c) (x − 5)2 = x2 − 2 × 5 × x + 52 = x2 − 10x + 25 ;
d) ( 21 t + 4)2 − 4(t + 14 )2 =
t2
4
+ 4t + 16 − 4(t2 + 21 t +
1
16 )
2
= − 15
16 t + 2t +
63
4 .
2) Factoriser les expressions suivantes :
a) 12x2 + 5x = x(12x + 5) ;
b)
1 2
2x
− 14 x = x2 (x − 12 ) ;
c) (2x+1)2 −(2x+1)(x+3) = (2x+1)((2x+1)−(x+3)) = (2x+1)(2x+1−x−3) = (2x+1)(x−2).
a)
2
3
x+4= x−1
5
5
3
2
x − x + 4 = −1
5
5
3−2
x = −1 − 4
5
1
x = −5
5
x = −5 × 5 = −25
b)
(x + 12)(3x − 4) = 0
x + 12 = 0
ou
x = −12
ou
3x − 4 = 0
4
x=
3
c)
(x + 2)2 − 9 = 0
(x + 2)2 − 32 = 0
(x + 2 + 3)(x + 2 − 3) = 0
x+5=0
ou
x−1=0
x = −5
ou
x=1
Exercice 2. On donne le programme de calcul suivant :
Choisir un nombre.
Ajouter 3.
Multiplier par 2.
Ajouter le nombre choisi.
Diviser par 3.
Enlever 2.
Écrire le résultat.
33
Seconde générale
2015/2016
1) Testons le programme de calcul :
On commence par choisir le nombre 5
On ajoute 3 ce qui donne 8
On multiplie par 2, ce qui donne 16
On ajoute le nombre choisi (soit 5), ce qui donne 21
On divise par 3, ce qui donne 7
On enlève 2, ce qui donne 5
Le résultat de notre calcul est 5.
2) On constate qu’après avoir effectué le programme de calcul, on retombe sur le nombre choisi.
3) Montrons que ce fait est vrai pour tout nombre : On note x le nombre choisi On ajoute 3 ce qui
donne x + 3
On multiplie par 2, ce qui donne 2(x + 3) = 2x + 6
On ajoute le nombre choisi (soit 5), ce qui donne 2x + 6 + x = 3x + 6
= 3(x+2)
=x+2
On divise par 3, ce qui donne 3x+6
3
3
On enlève 2 et on retombe bien sur x le nombre choisi au départ.
Plus formellement, on vient de vérifier l’identitié suivante :
2(x + 3) + x
−2=x
3
Exercice 3 (Sondage). Afin de mieux connaître sa clientèle, une station de sports d’hiver a effectué une
enquête auprès de 250 skieurs.
Voici la synthèse des réponses au sondage :
• deux tiers des personnes qui viennent tous les week-ends possèdent leur matériel ;
• la moitié des personnes venant deux semaines par an possèdent également leur matériel ;
• 44 des personnes interrogées louent sur place.
On considère les événements suivants.
• M : “ la personne possède son matériel " ;
• L : “ la personne loue ses skis sur place " ;
• A : “ la personne loue ses skis ailleurs " ;
• S : “ la personne vient une semaine par an " ;
• W : “ la personne vient tous les week-ends " ;
• Q : “ la personne vient deux semaines par an ".
1) D’après l’énoncé, deux tiers 30 des personnes qui viennent tous les week-ends possèdent leur matériel. Soit 23 × 30 = 20 personnes, on peut donc placer cette donnée dans la case sur la ligne W et la
colonne M.
De même, la moitié des 100 personnes venant deux semaines par an possèdent également leur
matériel. Soit 12 × 100 = 50 personnes. On déduit par le calcul le tableau complet :
S
W
Q
Total
2
3
1
2
M
L
A
Total
25
9
86
120
× 30 = 20
5
5
30
× 100 = 50
30
20
100
44
111
250
95
2) On choisit au hasard un client parmi les 250 personnes interrogées, toutes ayant la même chance
d’être choisies.
2
44
a) On a les probabilités suivantes : P (Q) = 100
250 = 5 = 0.4 et P (L) = 250 = 0.176.
b) L’événement Q ∩ L est “La personne vient deux semaines pas an et loue ses skis sur place".
30
3
D’après le tableau, P (Q ∩ L) = 250
= 25
= 0.12.
c) D’après un théorème vu en cours, P (Q ∪ L) = P (Q) + P (L) − P (Q ∩ L) =
0.456.
34
100+44−30
250
=
114
250
=
Seconde générale
2015/2016
3) On choisit au hasard un client qui possède son propre matériel. La probabilité qu’il vienne toutes
4
les semaines est 20
95 = 19 ' 0.21.
Exercice 4. Un paquet contient quatre bonbons :
• deux à la myrtille
• un à la frambroise
• un au citron
Sandrine prend au hasard 2 bonbons l’un après l’autre.
1) La probabilité que le premier bonbon soit à la myrtille est
2)
2
4
= 21 .
a) Dans son arbre, on note qu’Antoine a naturellement distingué le bonbon à la franboise F du
bon au citron C, mais il ne distingue pas les deux bonbons à la myrtille entre eux ! Son arbre
est donc faux.
b) Notons M1 et M2 les deux bonbons à la myrtille. Alors, l’arbre des possibles est le suivant :
M2
M1
F
C
M1
M2
F
C
M1
F
M2
C
M1
C
M2
F
3) Il n’y a aucune raison de privilégier une issue élémentaire par rapport à une autre, d’où cette
expérience aléatoire est équiprobable.
4) En comptant le nombre de branches de l’arbre, on note que cette expérience aléatoire a 4 × 3 = 12
issues élémentaires.
Son univers est Ω = {M1 M2 , M1 F, M1 C, M2 M1 , M2 F, M2 C, F M1 , F M2 , F C, CM1 , CM2 , CF }.
5) La probabilté :
a) que Sandrine mange deux bonbons à la myrtille est P ({M1 M2 , M2 M1 }) =
branches de l’arbre correspondantes sont en rouge).
2
12
=
1
6
(les deux
b) que Sandrine mange au moins un bonbon à la myrtille est
P ({M1 M2 , M1 F, M1 C, M2 M1 , M2 F, M2 C, F M1 , F M2 , CM1 , CM2 }) =
c) que Sandrine ne mange pas de bonbons à la myrtille est P ({F C, CF }) =
de l’arbre correspondantes sont en bleu).
1
6
10
5
=
12
6
(les deux branches
On peut remarquer que
• l’événement “Sandrine ne mange pas de bonbons à la myrtille" est l’événement contraire
de l’événement “Sandrine mange au moins un bonbon à la myrtille". D’où sa probabilité
est 1 − 65 = 16 .
• La probabilité d’avoir deux bonbons à la myrtille parmi les 4 est la même que d’avoir le
bonbon à la framboise et le bonbon au citron. De plus, l’événement "Sandrine à le bonbon à
la framboise et le bonbon au citron" correspond à l’événement “Sandrine ne mange pas de
bonbons à la mystrille". Ainsi, il les probabilités trouvées à la question 3.a) et 3.c) doivent
être les mêmes.
35
Seconde générale
2015/2016
Devoir sur table 3 : Probabilités et fonctions
mardi 1er mars 2016
Exercice 1. Soit A et B deux événements d’une expérience aléatoire.
1) Rappeler la définition de A ∩ B et A ∪ B.
2) Rappeler la définition de Ā.
3) On suppose que P (A) = 0.3, P (B) = 0.2 et P (A ∩ B) = 0.1. En déduire P (A ∪ B).
Exercice 2. Dans un lycée de 1470 élèves, 350 élèves ont été vaccinés contre la grippe au début de
l’hiver.
10 % des élèves ont contracté la maladie pendant l’épidémie annuelle dont 4% des élèves vaccinés.
1) Justifier que le nombre d’élèves ayant contracté la maladie est 147.
2) Justifier qu’il y a 14 élèves qui ont contracté la maladie alors qu’ils ont été vaccinés.
3) Compléter le tableau suivant :
a contracté la grippe
ne l’a pas contracté
total
vacciné
non vacciné
total
1470
4) On choisit au hasard l’un des élèves de ce lycée, tous les élèves ayant la même probabilité d’être
choisis.
a) Calculer la probabilité des événements :
• V :“il a été vacciné" ;
• G :"il a eu la grippe" ;
b) Calculer la probabilité de l’événement V ∩ G.
5) On choisit au hasard un élève parmi ceux qui ont été vaccinés, quelle est la probabilité qu’il ait eu
la grippe ?
6) Expliquer pourquoi le vaccin est efficace.
Exercice 3. Une personne pressée répond au hasard à un sondage. Deux questions sont posées et à
chacune, on donne le choix entre :
• favorable
• sans opinion
• opposé
1) Compléter l’arbre des possibilités :
favorable
favorable
sans opinion
opposé
sans opinion
opposé
2) Justifier que la personne peut répondre à ses deux questions de 9 manières différentes.
36
Seconde générale
2015/2016
3) On note
• A l’événement “la personne répond favorable à la première question" ;
• B l’événement “la personne ne répond pas opposé à l’une des questions".
a) Calculer P (A).
b) Citer et Colorier dans l’arbre en rouge, les issues qui font parties de l’événement B.
c) En déduire que P (B) = 94 .
d) Décrire par une phrase l’événement A ∩ B et calculer sa probabilité.
Exercice 4. Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0; 5] par
f (x) = 9x +
1
x
1) Est-il possible d’évaluer l’expression 9x + x1 avec x = 0 ? Justifier.
√
2) Parmi les nombres 0 ; 14 ; 1 ; 2 + 1 ; et 6, lesquels appartiennent à l’intervalle ]0; 5] ?
x
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
1
2
3
4
5
f (x)
4) À l’aide de la calculatrice, conjecturer le minimum atteint par la fonction f sur l’intervalle ]0; 5].
5) Démonstration de la conjecture :
a) Montrer que pour tout nombre réel x > 0, on a :
9x +
1
(3x − 1)2
=
+6
x
x
b) Résoudre l’équation (3x − 1)2 = 0.
c) Lorsque x est strictement positif, quel est le signe de
d) En déduire une démonstration de votre conjecture.
37
(3x−1)2
x
? Justifier.
Seconde générale
2015/2016
Devoir sur table 3 : Probabilités et fonctions
corrigé
Exercice 1. Soit A et B deux événements d’une expérience aléatoire.
1) A ∩ B est constitué des issues dans A et dans B ;
A ∪ B est constitué des issues dans A ou dans B
2) Ā est l’événement contraire de A.
3) On suppose que P (A) = 0.3, P (B) = 0.2 et P (A ∩ B) = 0.1. Alors P (A ∪ B) = P (A) + P (B) −
P (A ∩ B) = 0.3 + 0.2 − 0.1 = 0.4.
Exercice 2. Dans un lycée de 1470 élèves, 350 élèves ont été vaccinés contre la grippe au début de
l’hiver.
10 % des élèves ont contracté la maladie pendant l’épidémie annuelle dont 4% des élèves vaccinés.
1) Le nombre d’élèves ayant contracté la maladie est
10
100
× 1470 = 147.
2) D’après l’énoncé, 4% des 350 élèves vaccinés ont contracté la grippe, c’est-à-dire
élèves.
4
100
× 350 = 14
3) Résumons les données de l’énoncé avec le tableau suivant :
a contracté la grippe
ne l’a pas contracté
total
vacciné
14
336
350
non vacciné
133
987
1120
total
147
1323
1470
4) On choisit au hasard l’un des élèves de ce lycée, tous les élèves ayant la même probabilité d’être
choisis.
a) La probabilité de l’événement
• V :“il a été vacciné" est
350
1470
' 0.24 ;
• G :"il a eu la grippe" est 10% = 0.1.
b) La probabilité de l’événement V ∩ G est P (V ∩ G) =
14
1470
' 0.01.
5) On choisit au hasard un élève parmi ceux qui ont été vaccinés, la probabilité qu’il ait eu la grippe
14
est 350
= 0.04 (on aurait pu donner la réponse directement à partir de l’énoncé où il est écrit que
4% des élèves vaccinés ont eu la grippe).
133
6) La probabilité d’avoir la grippe si l’on n’a pas pris le vaccin est de 1120
' 0.12. Ainsi, en prenant le
vaccin, les chances d’avoir la grippe passent de 12% à 4%. Soit trois fois moins de chance de l’avoir.
Ainsi, on peut dire que le vaccin est efficace.
Exercice 3. Une personne pressée répond au hasard à un sondage. Deux questions sont posées et à
chacune, on donne le choix entre :
• favorable
• sans opinion
1) Voici l’arbre des possibilités :
38
• opposé
Seconde générale
2015/2016
favorable
sans opinion
favorable
opposé
favorable
sans opinion
sans opinion
opposé
favorable
sans opinion
opposé
opposé
2) L’arbre est constitué de 9 branches, d’où la personne peut répondre à ses deux questions de 9
manières différentes.
3) On note
• A l’événement “la personne répond favorable à la première question" ;
• B l’événement “la personne ne répond pas opposé à l’une des questions".
a)
b)
c)
d)
P (A) = 93 = 13 .
Les issues qui font parties de l’événement B sont FF, FS, SF, SS.
Les issues sont équiprobables, ainsi d’après la question précédente, P (B) = 94 .
L’événement A ∩ B est “la personne répond favorable à première question et pas par opposé
à la seconde question" ainsi, P (A ∩ B) = 29 .
Exercice 4. Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0; 5] par
f (x) = 9x +
1
x
1) Il n’est pas possible d’évaluer l’expression 9x + x1 avec x = 0, car on ne peut pas diviser par 0.
√
2) Les nombres 41 ; 1 et 2 + 1 appartiennent à l’intervalle ]0; 5], par contre 0 et 6 n’appartiennent
pas à l’intervalle.
x
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
1
2
3
4
5
f (x)
10.9
6.8
6.03
6.1
6.5
10
18.5
27.33
36.25
45.2
4) À l’aide de la calculatrice, on observe que le minimum de la fonction f sur l’intervalle ]0; 5] est
environ 6.
5) Démonstration de la conjecture :
a) Soit x > 0, on a :
(3x − 1)2
(3x)2 − 2 × 3x + 1
+6=
+6
x
x
9x2
6x
1
=
−
+ +6
x
x
x
1
= 9x +
x
b) On a
(3x − 1)2 = 0
3x − 1 = 0
3x = 1
1
x=
3
39
Seconde générale
2015/2016
c) Étant donné qu’un nombre au carré est toujours positif, on déduit que lorsque x est strictement
2
positif, (3x−1)
est positif car rapport de deux nombres positif.
x
d) De la question précédente, on déduit que pour tout x dans l’intervalle ]0; 5] :
f (x) − 6 =
(3x − 1)2
≥0
x
c’est-à-dire f (x) ≥ 6. D’autre part, d’après la question 5.b), f (x) = 6 lorsque x =
résumé, la fonction f atteint son minimum 6 en x = 13 .
40
1
3.
En
Seconde générale
2015/2016
Inéquations, variations de fonctions (sujet A)
jeudi 17 mars 2016
Exercice 1. On considère les fonctions affines f et g définies par f (x) = 3x + 5 et g(x) = −2x + 12.
1) Dans repère du plan, tracer la courbe représentative de la fonction f .
2) Déterminer le coefficient directeur de la fonction affine f .
3) Dresser le tableau de signes de la fonction f .
4) Dresser le tableau de signes de la fonction g.
5) En déduire le tableau de signes :
a) du produit (3x + 5)(−2x + 12) en fonction de x ;
b) du quotient
3x+5
−2x+12
en fonction de x.
Exercice 2. Résoudre dans R les inéquations suivantes :
1) 5x − 5 < 0 ;
2) −12x − 4 > 0 ;
3) 3x + 4 ≥ 12 x + 7 ;
4)
1
13 x
− 5 ≤ 4.
Exercice 3. Soit A(x) = (3 − x)2 − (3x − 4)2 pour tout x dans R.
1) Développer et réduire A(x).
2) Factoriser A(x).
3) Résoudre dans R l’inéquation A(x) ≤ 0.
Exercice 4. On considère une fonction f définie sur l’intervalle [−3; 4] dont la courbe représentative est
donnée ci-dessous.
y
Cf
4
3
2
1
−3
−2
−1
x
0
1
−1
−2
−3
Par lecture graphique,
1) dresser le tableau de variations de la fonction f ;
2) dresser le tableau de signes de la fonction f ;
41
2
3
4
Seconde générale
3) déterminer le minimum et le maximum de la fonction f .
1)
2)
3x+2
x−1
2−x
6x−4
≤ 0;
< 3.
42
2015/2016
Seconde générale
2015/2016
Inéquations, variations de fonctions (sujet B)
jeudi 17 mars 2016
Exercice 1. On considère les fonctions affines f et g définies par f (x) = −3x + 5 et g(x) = 2x + 12.
1) Dans repère du plan, tracer la courbe représentative de la fonction f .
2) Déterminer le coefficient directeur de la fonction affine f .
5) En déduire le tableau de signes :
a) du produit (−3x + 5)(2x + 12) en fonction de x ;
b) du quotient
−3x+5
2x+12
en fonction de x.
1) 7x − 7 < 0 ;
2) −21x − 3 > 0 ;
3) 3x + 5 ≥ 31 x + 7 ;
4)
1
17 x
− 3 ≤ 2.
Exercice 3. Soit A(x) = (5 − x)2 − (3x − 7)2 pour tout x dans R.
1) Développer et réduire A(x).
2) Factoriser A(x).
3) Résoudre dans R l’inéquation A(x) ≤ 0.
Exercice 4. On considère une fonction f définie sur l’intervalle [−3; 4] dont la courbe représentative est
donnée ci-dessous.
y
4
3
Cf
2
1
−3
−2
−1
x
0
1
−1
−2
−3
Par lecture graphique,
1) dresser le tableau de variations de la fonction f ;
2) dresser le tableau de signes de la fonction f ;
43
2
3
4
Seconde générale
3) déterminer le minimum et le maximum de la fonction f .
1)
2)
2x+3
x−1
5−x
4x−7
≤ 0;
< 1.
44
2015/2016
Seconde générale
2015/2016
Devoir maison 2 : Fonctions
pour le lundi 21 mars 2016
Exercice 1. Résoudre les équations suivantes :
x
+
1) ( 12
12
7 )(x
2
− 1) = 0 ;
2) (x − 3) − 4 = 0
Exercice 2. Soit f : R → R la fonction affine définie par f (x) = 3x + 5 et g : R → R la fonction affine
définie par g(x) = − 12 x + 1.
3) Résoudre sur R l’inéquation f (x) ≤ g(x).
Exercice 3. Voici une représentation graphique d’une fonction f définie sur [−5, 5] :
y
4
3
Cf
2
1
x
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
−1
−2
−3
1) Déterminez graphiquement les valeurs de f (1), f (−1), f (2) et f (−3).
2) Déterminez graphiquement l’image de 1, l’image de 2 et l’image de 5.
a) f (x) = 2
b) f (x) = 1.5
c) f (x) > 0
d) f (x) < 1
4) Dresser le tableau de variation de la fonction f .
5) Suivant la valeur de x dans [−5, 5], comparer f (x) et f (−1).
6) Suivant la valeur de x dans [−5, 5], comparer f (x) et f (2).
7) Trouver x1 où f est maximal, c’est-à-dire tel que quel que soit x dans l’intervalle [−5, 5], f (x) ≤
f (x1 ).
Exercice 4. ABCD est un carré de côté 4. Le point M appartient au segment [AB].
On pose BM = x.
45
Seconde générale
A
M
2015/2016
B
M0
D
C
1) À quel intervalle I appartient x ?
2) On définit la fonction f sur I par f (x) = M M 0 .
Déterminer géométriquement le sens de variation de la fonction f sur I.
3)
a) Quelle est la distance CM 0 ?
b) Exprimer CM puis f (x) en fonction de x.
4) Faire un tableau de valeurs avec un pas de 0.5.
5) Quelles sont les valeurs de x telles que M M 0 ≥ 1 ?
46
Seconde générale
2015/2016
Devoir maison 2 : Fonctions
corrigé
Exercice 1. Résolvons les équations suivantes :
1)
12
x
+
)(x − 1) = 0
12
7
x
12
+
=0
ou
12
7
144
12
=−
ou
x = −12 ×
7
7
(
x−1=0
x=1
Donc deux solutions − 144
7 et 1.
2)
(x − 3)2 − 4 = 0
(x − 3)2 − 22 = 0
(x − 3 + 2)(x − 3 − 2) = 0
(x − 1)(x − 5) = 0
x=1
ou
x=5
Donc deux solutions 1 et 5.
Exercice 2. Soit f : R → R la fonction affine définie par f (x) = 3x + 5 et g : R → R la fonction affine
définie par g(x) = − 21 x + 1.
1) 2) Le tableau de signes des fonctions f et g :
x
3x + 5
−5
3
−∞
−
0
x
+∞
− 12 x + 1
+
−∞
+∞
2
+
0
−
3) L’inéquation f (x) ≤ g(x) équivaut à
1
3x + 5 ≤ − x + 1
2
1
3x + x ≤ 1 − 5
2
7
x ≤ −4
2
2
x ≤ × (−4)
7
−8
x≤
7
L’ensemble solution est donc l’intervalle ] − ∞;
−8
7 ].
Exercice 3. Voici une représentation graphique d’une fonction f définie sur [−5, 5] :
47
Seconde générale
2015/2016
y
4
3
Cf
2
1
x
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
−1
−2
−3
1) Graphiquement f (1) ' 2.9, f (−1) = 0, f (2) = 3.5 et f (−3) = 1.
2) Graphiquement l’image de 1 est environ 2.9, l’image de 2 est 3.5 et l’image de 5 est -1.
a) f (x) = 2 a pour solutions 0.4 et 3.1 environ.
b) f (x) = 1.5 a pour solutions 0.2 et 3.2 environ.
c) f (x) > 0 si et seulement si x appartient à ] − 3.8; −1[ ∪ ] − 1; 4[.
d) f (x) < 1 si et seulement si x appartient à [−5; −3[ ∪ ] − 3; −0.1[ ∪ ]3.5; 5].
4) Le tableau de variation de la fonction f :
x
f (x)
−5
−3
−1
1
-3
2
5
3.5
0
-1
5) Lorsque x appartient à ] − 3.8; −1[ ∪ ] − 1; 4[, f (x) est supérieure à f (−1) = 0 et inférieure sinon.
6) 7) D’après le tableau de variation de f , f (2) = 3.5 est la maximum de f . C’est-à-dire, pour tout x
dans l’intervalle [−5; 5], f (x) ≤ f (2).
Exercice 4.
1) Comme M appartient au segment [AB] de longeur 4, la distance BM doit être comprise entre 0 et 4, ainsi x appartient à l’intervalle I = [0; 4].
2) On définit la fonction f sur I par f (x) = M M 0 . On voit que lorsque x augmente, M s’éloigne de
B et de même M M 0 augmente. D’où, la fonction f est croissante (elle conserve les variations).
3)
a) Comme M 0 appartient au cerle de centre C et de rayon CB = 4. La distance CM 0 est constante
égale à 4.
b) Dans le triangle CBM rectangle en B, on a d’après le théorème de Pythagore, la relation
suivante :
CM 2 = CB 2 + BM 2 = 42 + x2 = 16 + x2
√
D’où CM = 16 + x2 .
√
De la question précédente, on déduit que f (x) = M M 0 = CM − CM 0 = 16 + x2 − 4.
4) Voici le tableau de valeurs, arrondis au centième, avec un pas de 0.5 :
x = BM
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
f (x) = M M 0
0
0.03
0.12
0.27
0.47
0.72
1
1.32
1.66
5) D’après le précédent tableau, on voit que f (x) ≥ 1 lorsque x ≥ 3, c’est-à-dire lorsque x ∈ [3; 4].
Chose qu’on peut vérifer graphiquement :
48
Seconde générale
2015/2016
y
1.5
Cf
1
y=1
0.5
x
0
1
2
49
3
4
Seconde générale
2015/2016
Exercices : Développer, factoriser
Mardi 22 mars 2016
Exercice 1. Soit a et b deux nombres réels.
1) Démontrer qu’on a la relation suivante : (a +
b)2 − 4ab = (a − b)2 .
2) On suppose que a ≤ b. Dans un carré, on a
disposé quatre rectangles de longueur b et de
largeur a comme dans la figure ci-contre.
a) Interpréter la formule précédente en
termes d’aires.
b) Les quatre rectangles peuvent-ils remplir
tout le grand carré ?
a
b
Exercice 2. Développer et simplifier si possible les expressions suivantes :
a)
(x + 3)2 ;
b)
(y − 3)2 ;
c)
(x + 3)2 − (x − 3)2
d)
( 13 + t)2 − t2 ;
e)
( x4 + 3)2 ;
f)
( x4 + 3)2 + ( x4 − 3)2 .
Exercice 3. Recopier et compléter :
a)
(4x + . . .)2 = 4x2 + . . . + 9 ;
b)
(x − . . .)2 = x2 − 6x + . . .
c)
(. . . + 5)2 = . . . + 15t + 25 ;
d)
(. . . − 4)2 = . . . − 4x + . . .
Exercice 4. Factoriser les expressions suivantes :
a)
5x2 − 6x ;
b)
3xy + x ;
c)
12x + 3 ;
d)
(t + 1)(2t − 3) + (t + 1)(t2 + 1) ;
e)
(x + 1)2 + x + 1 ;
f)
(2x − 3)2 − (x − 3)2 ;
g)
(x + 5)2 − (x − 5)2 ;
h)
(a + b)2 − (a − b)2 .
Exercice 5. Résoudre les inéquations suivantes :
1)
3
5x
+ 4 ≤ 25 x − 1
2) (x + 12)(3x − 4) ≥ 0
3) (x + 2)2 − 9 ≥ 0
Exercice 6. La propriétaire d’une salle de sport sait que, lors d’un match, si le prix du billet est x euros,
sa recette est B(x) = −300(x − 7)2 + 10 801 euros.
1) Démontrer que −300(x − 7)2 est négatif quel que soit le nombre réel x.
2) Soit x un nombre réel quelconque, comparer B(x) et 10 801.
3) Quelle recette maximale peut-elle espérer ? Pour quel prix du billet et pour combien de spectateurs ?
4) Combien d’argent perd-elle si elle laisse entrer tout le monde gratuitement :
a) 7 e
b) 300 e
c) 3 899 e
d) 10 801 e
5) À l’aide de la calculatrice déterminer les valeurs entières de x telles que B(x) ≥ 0. Interpréter.
50
Seconde générale
2015/2016
corrigé
Exercice 1. La propriétaire d’une salle de sport sait que, lors d’un match, si le prix du billet est x euros,
sa recette est B(x) = −300(x − 7)2 + 10 801 euros.
1) Soit x un nombre réel, alors (x − 7)2 est un nombre positif (car le carré d’un nombre est toujours
positif) ainsi −300(x − 7)2 est négatif.
2) Soit x un nombre réel quelconque, de la question précédente on déduit que B(x) = 10 801 − 300(x −
7)2 est inférieur à 10 801.
3) D’après la question précédente, quel que soit le prix du billet x, la recette B(x) est inférieur à
10 801 e . De plus B(7) = 10 801 − (7 − 7)2 = 10 801 e . Ainsi, on en déduit que la recette maximale
qu’elle peut espérer est 10 801 e avec le billet à 7 e et pour 10 7801 = 1543 spectateurs.
4) Elle perd 3 899 e (réponse c)) si elle laisse entrer tout le monde gratuitement.
5) À l’aide de la calculatrice, on voit que B(x) ≥ 0 pour x = 1, 2, . . . , 13. La recette est positive lorsque
le prix du billet est un entier compris entre 1 et 13.
51
Seconde générale
2015/2016
Échantillonnage
Exercice 1 (Obsever des échantillons). Dans une usine fabriquant des automobiles, on contrôle les
défauts de peinture de type « grains ponctuels ».
On considère que ce défaut, presque invisible, touche 20% de la production.
1) Quelle est la population étudiée ici ? Quel caractère de la population observe-t-on ? Quelle est,
sous forme décimale, sa fréquence p ?
2) Un ingénieur-contrôle procède à 50 tirages au hasard d’une voiture dans la production et note, pour
chacune, si le défaut est présent (1) ou non (0). La liste obtenue, comprenant 50 nombres 0 et 1 est
un échantillon de taille 50.
3) Sur cet échantillon, le 1 apparaît quatre fois. Calculer la fréquence f du défaut sur cet échantillon.
Reproduire et compléter le schéma ci-contre pour
résumer les informations :
p = ...
n = 50
f = ...
4) On donne les résultats obtenus sur 8 autres échantillons de taille 50 de cette même production.
Échantillon n◦
1
2
3
4
5
6
7
8
Effectif des défauts
11
9
16
9
11
11
10
4
Fréquence du défaut
Reproduire et compléter ce tableau. Retrouve-t-on à chaque fois la fréquence p connue dans la
population ? Comment s’appelle ce phénomène ?
5) L’année suivante, un nouvelle échantillon de taille 50 révèle 24% de défauts. Doit-on nécessairement
en conclure que la qualité a baissé ?
Exercice 2 (Interroger la fluctuation). Dans un village des montagnes chinoises en 2000, il est né 25
enfants dont 20 garçons. On se pose la question de savoir si le hasard peut « raisonnablement » expliquer
cette observation statistique. Pour cela, on étudie la fréquence des garçons sur des échantillons de taille
25 qu’on simule en supposant l’équiprobabilité des sexes à la naissance.
1) Avec une pièce supposée bien équilibrée.
a) Taper le programme suivant dans votre calculatrice :
Casio :
0→ S
For 1 → I to 25
RanInt#(0,1)→ X
S+X →S
Next
S ÷ 25 → F
"FREQUENCE": F
Texas Instrument :
0→ S
For(I,1,25)
randInt(0,1)→X
S+X →S
End
S ÷ 25 → F
Disp "FREQUENCE"
Disp F
b) Que permet-il de faire ?
c) En regroupant dans un tableau les fréquences de « pile » obtenues par les élèves de la classe,
calculer le pourcentage des échantillons de 25 lancers ayant donné une fréquence « pile »
comprise entre 0.3 et 0.7.
2) Intervalle de fluctuation de la fréquence f
a) Pour n = 25, préciser les bornes de l’intervalle
1
1
I = 0.5 − √ ; 0.5 + √
n
n
52
Seconde générale
2015/2016
b) Déterminer le pourcentage des échantillons de taille 25 donnant une fréquence de « pile » dans
cet intervalle.
3) Prise de décision
a) Calculer la fréquence de garçons nés dans le village chinois en 2000.
b) Que peut-on penser à propos des naissances dans ce village chinois ?
Exercice 3 (Surbooking : une réalité statistique). Lors d’un vol Madrid-Barcelone pouvant accueillir
250 passagers, la compagnie aérienne s’aperçoit qu’environ 20 des passagers ayant acheté leur billet ne se
présentent pas à l’aéroport. Elle vend alors plus de billets que de places dans le vol.
L’objectif de ce TP est de mettre en évidence un critère statistique utilisé par la compagnie aérienne pour
déterminer le nombre de billets supplémentaires qu’elle émettra.
Partie A : Simulation du remplissage d’un avion
On étudie le remplissage de l’avion suivant le nombre de billets vendus.
1) Vérifier que les résultats possibles de ent(alea()+0,8) sont 0 et 1. Justifier que le résultat 1 simule
« le passager se présente à l’embarquement ».
ent() : renvoie la partie entière d’un nombre positif
alea() : renvoie un nombre aléatoire entre 0 et 1 non compris
2) Dans cette question, on suppose que la compagnie n’a pas eu recours à la sur-réservation
et qu’elle a vendu exactement 250 billets.
a) Dans l’algorithme ci-contre qui simule le
remplissage d’un vol, que désigne la variable P ?
b) Le programmer, l’exécuter 10 fois et noter à chaque fois les résultats.
Commenter.
K, P sont des entiers
P prend la valeur 0.
Pour K allant de 1 à 250 faire
P prend la valeur P +ent(alea()+0,8)
Fin Pour
6: Afficher P .
1:
2:
3:
4:
5:
3) Dans cette question, la compagnie aérienne vend un nombre N de billets supérieur à 250.
a) Modifier l’algorithme pour qui demande le nombre N de billets vendus et simule le remplissage
de ce vol. Le programmer et l’exécuter.
b) En testant avec différentes valeurs pour N , quel nombre de billets supplémentaires la compagnie
peut-elle vendre ?
Partie B : Étude d’un critère pour décider du nombre de billet à vendre
La proportion de passagers se présentant à l’embarquement ayant acheté leur billet est de 80.
1) Dans cette question, on suppose que la compagnie émet 255 billets.
a) On s’intéresse à la fréquence du nombre de passagers se présentant au comptoir.
Au seuil de 95%, dans quel intervalle va-t-elle se trouver ?
Comment appelle-t-on cet intervalle ?
b) Quel pourcentage maximal de passagers se présentant au comptoir de la compagnie, au seuil
de 95%, peut-on prévoir ?
c) En déduire le nombre maximum, avec un risque de 5%, de passagers se présentant à la porte
de l’embarquement.
2) Dans cette question, on suppose que la compagnie émet n billets.
a) Donner l’intervalle de fluctuation associé à cet échantillon de taille n.
b) On note f la fréquence des personnes présentes au comptoir dans cet échantillon. Justifier que
l’avion n’est pas en dépassement de capacité si et seulement si f n ≤ 250.
c) En déduire
√ qu’avec un risque de 5%, le nombre maximum de passagers est donné par :
0, 8N + N .
d) Le critère choisi par la compagnie aérienne pour émettre les billets sur ce vol est que le nombre
maximum de passagers, au seuil de 95%, ne doit pas dépasser 250.
Combien de billets supplémentaires la compagnie proposera-t-elle alors à la vente ?
53
Seconde générale
2015/2016
Devoir sur table 4 : Inéquations, fonctions, probabilités
mardi 19 avril 2016
Exercice 1.
a) −3x
121 + 4 = 0 ;
b) (3x + 3)(5x − 4) = 0 ;
c) x2 − 5 = 0 ;
d) (3x + 2)2 − (13x − 7)2 = 0.
2) Développer l’expression suivante : (2 + t)2 + ( 12 − 4t)2 − 41 (t + 1).
3) Factoriser l’expression suivante : (x + 2)2 + x + 2.
Exercice 2. Dresser le tableau de signes des trois fonctions suivantes :
1) f définie sur R par f (x) = 4x + 51 ;
2) g définie sur R par g(x) = − x3 + 7 ;
3) h définie sur R par h(x) = (4x + 15 )(− x3 + 7).
Exercice 3. Un sac contient les jetons suivants :
A
A
B
C
A
B
B
C
C
Un jeton tombe du sac au hasard et on s’intéresse aux évènements suivants :
F :« le jeton est de forme carrée »
G :« le jeton porte la lettre B »
H :« le jeton porte une consonne »
K :« le jeton est de forme triangulaire »
1)
2)
3)
4)
Quelle
Quelle
Quelle
Quelle
est
est
est
est
la
la
la
la
probabilité
probabilité
probabilité
probabilité
de
de
de
de
l’évènement
l’évènement
l’évènement
l’évènement
H?
F ∩ G?
F ∩K?
G∪K?
Exercice 4. Un père de famille laisse à ses trois garçons un héritage d’un montant de 20 000 louis d’or.
Il précise cependant dans son testament la clause suivante : « l’aîné recevra 5000 louis d’or de plus que
le deuxième et le deuxième recevra 3000 louis d’or de plus que le dernier »
Calculer la somme dont héritera chaque garçon.
Exercice 5. On considère la fonction f définie sur [0; 10] par f (x) = x2 − 4x + 3.
1) À l’aide de la calculatrice dresser une table des valeurs prises par f sur l’intervalle [0; 10] avec un
pas de un.
2) Conjecturer le tableau de variation de la fonction f .
3) Montrer que pour tout nombre réel x dans l’intervalle [0; 10], on a f (x) = (x − 2)2 − 1.
4) En déduire que le minimum de la fonction f et en quelle valeur il est atteint.
54
Seconde générale
2015/2016
Devoir sur table 4 : Inéquations, fonctions, probabilités
corrigé
Exercice 1.
1) a) −3x
121 + 4 = 0 implique
−3x
121
= −4 implique −3x = −4 × 121 d’où x =
−484
−3
=
484
3 .
b) (3x + 3)(5x − 4) = 0 implique
3x + 3 = 0
ou
5x − 4 = 0
3x = −3
−3
x=
= −1
3
ou
5x = 4
4
x=
5
ou
√
√
c) x2 − 5 = 0 implique x2 = 5 d’où x = − 5 ou x = 5.
d) (3x + 2)2 − (13x − 7)2 = 0, en utilisant l’identité remarquable a2 − b2 = (a + b)(a − b), on
déduit que
(3x + 2 + 13x − 7) (3x + 2 − (13x − 7)) = 0
(16x − 5) (3x + 2 − 13x + 7) = 0
(16x − 5) (−10x + 9) = 0
16x − 5 = 0
ou
− 10x + 9 = 0
16x = 5
5
x=
16
ou
− 10x = −9
−9
x=
= 0.9
−10
ou
2) Développons l’expression suivante :
1
1
− 4t)2 − (t + 1)
2
4
1
1
1
1
2
2
= 2 + 2 × 2 × t + t + ( )2 − 2 × × 4t + (4t)2 − t −
2
2
4
4
1
1
1
2
2
= 4 + 4t + t + − 4t + 16t − t −
4
4
4
1
2
= 17t − t + 4
4
(2 + t)2 + (
3) (x + 2)2 + x + 2 = (x + 2) × (x + 2) + (x + 2) = (x + 2)(x + 2 + 1) = (x + 2)(x + 3).
Exercice 2.
4x +
−x
3
(4x +
−1
20
−∞
x
1
5
−
+7
1
x
5 )(− 3
0
+
−
+ 7)
0
+∞
21
+
+
+
0
−
+
0
−
Exercice 3. Un sac contient les jetons suivants :
H
A
A
B
C
A
B
B
C
55
C
Seconde générale
2015/2016
Un jeton tombe du sac au hasard et on s’intéresse aux évènements suivants :
F :« le jeton est de forme carrée »
G :« le jeton porte la lettre B »
H :« le jeton porte une consonne »
K :« le jeton est de forme triangulaire »
1) P(H) =
6
9
= 23 .
2) P(F ∩ G) = 91 .
3) P(F ∩ K) = 0 car les événements F et K sont incompatibles.
4) P(G ∪ K) =
4
9
(les jetons en vert sont ceux qui appartiennent à l’événement G ∪ K).
Exercice 4. Un père de famille laisse à ses trois garçons un héritage d’un montant de 20 000 louis d’or.
Il précise cependant dans son testament la clause suivante : « l’aîné recevra 5000 louis d’or de plus que
le deuxième et le deuxième recevra 3000 louis d’or de plus que le dernier »
Notons x la somme dont héritera le dernier garçon, alors le deuxième héritera de x + 3000 louis d’or et
le premier de x + 3000 + 5000 = x + 8000 louis d’or. Le total fait 20 000 louis d’or, d’où l’équation
x + x + 3000 + x + 8000 = 20 0000
3x = 20 0000 − 11 000
9000
x=
= 3000
3
Ainsi les trois garçons du premier au dernier hériterons 11 000, 6 000 et 3 000 louis d’or respectivement.
Exercice 5. On considère la fonction f définie sur [0; 10] par f (x) = x2 − 4x + 3.
1) À l’aide de la calculatrice, on a :
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
f (x)
3
0
−1
0
3
8
15
24
35
48
63
2) On peut en conjecturer le tableau de variation de la fonction f :
x
f (x)
0
2
3
10
63
−1
3) Soit x un nombre réel dans l’intervalle [0; 10], on a (x − 2)2 − 1 = x2 − 4x + 4 − 1 = x2 − 4x + 3.
4) Pour tout nombre réel x dans l’intervalle [0; 10],
(x − 2)2 ≥ 0
(x − 2)2 − 1 ≥ −1
f (x) ≥ f (2)
D’où le minimum de la fonction f est −1 et est atteint en x = 2.
56
Seconde générale
2015/2016
Équations de droite (sujet A)
lundi 2 mai 2016
Exercice 1. Soit A(1; 1), B(6; 1) et C(1; 3) trois points du plan muni d’un repère orthonormé.
1) Faire une figure avec les trois points.
2) Soit M (x; y) un point sur la droite (AB), que peut-on dire de son ordonnée y ? En déduire une
équation de la droite (AB).
3) Soit M (x; y) un point sur la droite (AC), que peut-on dire de son abscisse x ? En déduire une
équation de la droite (AC).
4) Justifier que l’équation de la droite (BC) sous la forme y = ax + b est
y = −0.4x + 3.4
On rappelle que le coefficient directeur se calcule en effectuant le rapport des variations : a =
et b l’ordonnée à l’origine se déduit à l’aide d’un point.
∆y
∆x
5) Autre méthode : Soit M (x; y) un point sur la droite (BC).
−−→
−−→
a) Que peut-on dire des trois points B, C et M ? Des vecteurs BM et BC ?
−−→
−−→
b) Déterminer les coordonnées de BM et BC.
c) En déduire que les coordonnées du point M vérifient l’équation suivante :
5y + 2x − 17 = 0
d) Cette dernière équation est-elle équivalente à y = −0.4x + 3.4 trouvée précédemment ?
6) Reprendre la méthode de la question précédente pour déterminer l’équation des droites (AC) et
(AB).
7) On considère les points E(1; 10), F (101; 1), G(10; −0.6) et H(14; −2).
a) Est-ce que le point E appartient à la droite (AC) ?
b) Est-ce que le point F appartient à la droite (AB) ?
c) Est-ce que le point G appartient à la droite (BC) ?
d) Est-ce que le point H appartient à la droite (BC) ?
Exercice 2. Déterminer une équation des droites suivantes :
1) la droite (AB) où A(0; 0) et B(2; 0) ;
3) la droite (AB) où A(3; 7) et B(2; −5) ;
4) la droite (AB) où A(5; 21 ) et B( 32 ; 1) ;
5) la droite (AB) où A(−3; −2) et B(−3; 5).
Exercice 3. Sur la figure suivante, ABCD est un
carré.
ABE et BCF sont deux triangles équilatéraux.
y
D
1)
a) Déterminer les coordonnées de A, B, C
et D.
b) Démontrer que la hauteur
des triangles
√
3
équilatéraux est égale à 2 .
c) En déduire les coordonnées des points E
et F .
C
E
2) Démontrer que les points D, E et F sont alignés.
F
3) Déterminer une équation de la droite (DF ).
4) Montrer que E appartient à la droite (DF ).
x
A
On se place
−−→ −−→
(A, AB, AD).
B
dans
le
repère
orthonormé
57
Seconde générale
2015/2016
Équations de droite (sujet B)
lundi 2 mai 2016
Exercice 1. Soit A(1; 1), B(3; 1) et C(1; 6) trois points du plan muni d’un repère orthonormé.
1) Faire une figure avec les trois points.
2) Soit M (x; y) un point sur la droite (AB), que peut-on dire de son ordonnée y ? En déduire une
équation de la droite (AB).
3) Soit M (x; y) un point sur la droite (AC), que peut-on dire de son abscisse x ? En déduire une
équation de la droite (AC).
4) Justifier que l’équation de la droite (BC) sous la forme y = ax + b est
y = −2.5x + 8.5
On rappelle que le coefficient directeur se calcule en effectuant le rapport des variations : a =
et b l’ordonnée à l’origine se déduit à l’aide d’un point.
∆y
∆x
5) Autre méthode : Soit M (x; y) un point sur la droite (BC).
−−→
−−→
a) Que peut-on dire des trois points B, C et M ? Des vecteurs BM et BC ?
−−→
−−→
b) Déterminer les coordonnées de BM et BC.
c) En déduire que les coordonnées du point M vérifient l’équation suivante :
2y + 5x − 17 = 0
d) Cette dernière équation est-elle équivalente à y = −2.5x + 8.5 trouvée précédemment ?
6) Reprendre la méthode de la question précédente pour déterminer l’équation des droites (AC) et
(AB).
7) On considère les points E(1; 10), F (101; 1), G(5; −4) et H(8; −11).
a) Est-ce que le point E appartient à la droite (AC) ?
b) Est-ce que le point F appartient à la droite (AB) ?
c) Est-ce que le point G appartient à la droite (BC) ?
d) Est-ce que le point H appartient à la droite (BC) ?
Exercice 2. Déterminer une équation des droites suivantes :
3) la droite (AB) où A(2; 7) et B(3; −5) ;
4) la droite (AB) où A(4; 31 ) et B( 23 ; 3) ;
5) la droite (AB) où A(−2; −4) et B(−3; 7).
Exercice 3. Sur la figure suivante, ABCD est un
carré.
y
D
1)
a) Déterminer les coordonnées de A, B, C
et D.
b) Démontrer que la hauteur
des triangles
√
3
équilatéraux est égale à 2 .
c) En déduire les coordonnées des points E
et F .
C
E
2) Démontrer que les points D, E et F sont alignés.
F
3) Déterminer une équation de la droite (DF ).
4) Montrer que E appartient à la droite (DF ).
x
A
On se place
−−→ −−→
(A, AB, AD).
B
dans
le
repère
orthonormé
58
Seconde générale
2015/2016
Équations de droite (sujet A et B)
corrigé
Exercice 1. Soit A(1; 1), B(6; 1) et C(1; 3) trois Exercice 1. Soit A(1; 1) ; B(3; 1) et C(1; 6) trois
points du plan muni d’un repère orthonormé.
points du plan muni d’un repère orthonormé.
1) (Faire une figure avec les trois points.)
1) (Faire une figure avec les trois points.)
2) La droite (AB) est horizontale et d’équation
2) La droite (AB) est horizontale et d’équation
y = 1.
y = 1.
3) La droite (AC) est verticale et d’équation
3) La droite (AC) est verticale et d’équation
x = 1.
x = 1.
4) Le coefficient directeur de (BC) est a =
4)
Le coefficient directeur de (BC) est a =
2
3−1
5
6−1
1−6 = −5 = −0.4. Ainsi l’équation de la
1−3 = − 2 = −2.5. Ainsi l’équation de la
droite (BC) est de la forme y = −0.4x + b.
droite (BC) est de la forme y = −2.5x + b.
Le point B(6; 1) appartient à la droite (BC)
Le point B(3; 1) appartient à la droite (BC)
d’où 1 = −0.4 × 6 + b et b = 1 + 0.4 × 6 = 3.4.
d’où 1 = −2.5 × 3 + b et b = 1 + 2.5 × 3 = 8.5.
D’où
D’où
(BC) : y = −0.4x + 3.4
(BC) : y = −2.5x + 8.5
5) Autre méthode : Soit M (x; y) un point sur
5) Autre méthode : Soit M (x; y) un point sur
la droite (BC).
la droite (BC).
a) Alors les trois points B, C et M sont
−−→
−−→
a) Alors les trois points B, C et M sont
alignés et les vecteurs BM et BC sont
−−→
−−→
alignés et les vecteurs BM et BC sont
colinéaires.


colinéaires.


−−→ 6 − x
et
b) On note que BM 
−−→ 3 − x
et
b) On note que BM
1−y
 
1−y
 
−−→ −5
BC
.
−−→ −2
.
BC
2
5
−−→
−−→
c) Comme BM et BC sont colinéaires, on
−−→
−−→
c) Comme BM et BC sont colinéaires, on
en déduit que les coordonnées du point
en déduit que les coordonnées du point
M vérifient l’équation suivante :
M vérifient l’équation suivante :
(6 − x) × 2 = (1 − y) × (−5)
(3 − x) × 5 = (1 − y) × (−2)
12 − 2x = −5 + 5y
15 − 5x = −2 + 2y
5y + 2x − 17 = 0
2y + 5x − 17 = 0
d) On note que
5y + 2x − 17 = 0
5y = −2x + 17
y = −0.4x + 3.4
6) (Reprendre la méthode de la question précédente pour déterminer l’équation des droites
(AC) et (AB).)
7) On considère les points E(1; 10), F (101; 1),
G(10; −0.6) et H(14; −2).
a) E appartient à la droite (AC) car x = 1.
b) F appartient à la droite (AB) car y = 1.
c) G appartient à la droite (BC) car −0.4×
10 + 3.4 = −0.6.
d) H n’appartient pas à la droite (BC) car
−0.4 × 14 + 3.4 = −1.4 6= −2.
59
d) On note que
2y + 5x − 17 = 0
2y = −5x + 17
y = −2.5x + 8.5
6) (Reprendre la méthode de la question précédente pour déterminer l’équation des droites
(AC) et (AB).)
7) On considère les points E(1; 10), F (101; 1),
G(5; −4) et H(8; −11).
a) E appartient à la droite (AC) car x = 1.
b) F appartient à la droite (AB) car y = 1.
c) G appartient à la droite (BC) car −2.5×
5 + 8.5 = −4.
d) H n’appartient pas à la droite (BC) car
−2.5 × 8 + 3.4 = −11.5 6= −11.
Seconde générale
2015/2016
Exercice 2. Déterminons une équation des droites Exercice 2. Déterminons une équation des droites
suivantes :
suivantes :
1) la droite (AB) où A(0; 0) et B(2; 0) : coeffi1) la droite (AB) où A(0; 0) et B(3; 0) ; coefficient directeur : a = 20 = 0
0−0
cient directeur : a = 3−0
=0
ordonnées à l’origine : 0 = 0×0+b donc b = 0
ordonnées
à
l’origine
:
0
=
0×0+b donc b = 0
équation de la droite (AB) : y = 0 (on aurait
équation
de
la
droite
(AB)
: y = 0 (on aurait
pu le remarquer directement en observant que
pu
le
remarquer
directement
en observant que
A et B ont la même ordonnée 0).
A
et
B
ont
la
même
ordonnée
0).
2) la droite (AB) où A(0; 0) et B(2; 1) : coeffi1
cient directeur : a = 2
2) la droite (AB) où A(0; 0) et B(3; 1) ; coeffiordonnées à l’origine : 0 = 12 ×0+b donc b = 0
1
cient directeur : a = 1−0
3−0 = 3
équation de la droite (AB) : y = 12 x (comme
ordonnées à l’origine : 0 = 13 ×0+b donc b = 0
la droite (AB) passe par l’origine, elle correséquation de la droite (AB) : y = 13 x (comme
pond à une fonction linéaire).
la droite (AB) passe par l’origine, elle corres3) la droite (AB) où A(3; 7) et B(2; −5) ; coefpond à une fonction linéaire).
−5−7
ficient directeur : a = 2−3 = 12
ordonnées à l’origine : 7 = 12 × 3 + b donc
3) la droite (AB) où A(2; 7) et B(3; −5) ; coefb = 7 − 36 = −29
ficient directeur : a = −5−7
3−2 = −12
équation de la droite (AB) : y = 12x − 29.
ordonnées à l’origine : 7 = −12 × 2 + b donc
4) la droite (AB) où A(5; 12 ) et B( 32 ; 1) ; coeffib = 7 + 24 = 31
1− 12
−1
équation de la droite (AB) : y = −12x + 31.
=
cient directeur : a = 3
.
7
−1
7
2 −5
1
2
× 5 + b donc
ordonnées à l’origine : =
b = 17
14
17
équation de la droite (AB) : y = −1
7 x + 14 .
4) la droite (AB) où A(4; 31 ) et B( 23 ; 3) ; coeffi3− 13
2
3 −4
l’origine : 13
cient directeur : a =
= − 54
ordonnées à
= − 45 × 4 + b donc
53
b = 15
équation de la droite (AB) : y = − 54 x + 53
15 .
5)
La droite (AB) où A(−3; −2) et
B(−3; 5) :
On note que A et B ont la même abscisse
−3, ainsi la droite (AB) est parallèle à
l’axe des ordonnées et elle admet comme
équation x = −3.
5) la droite (AB) où A(−2; −4) et B(−3; 7). co7−(−4)
11
efficient directeur : a = −3−(−2)
= −1
= −11
ordonnées à l’origine : −4 = −11 × (−2) + b
donc b = −26
équation de la droite (AB) : y = −11x − 26.
Exercice 3. Sur la figure suivante, ABCD est un carré.
D
C
E
F
A
H
B
−−→ −−→
On se place dans le repère orthonormé (A, AB, AD).
1) A(0; 0), B(1; 0), C(1; 1) et D(0; 1).
2)
a) Comme le triangle AEB est équilatéral, EB = 1 et la hauteur issue de E est aussi une
médiatrice, ainsi HB = 21 . De plus, d’après le théorème de Pythagore dans le triangle EHB
rectangle en H, on a
r
r
√
√
p
1
3
3
3
2
2
EH = EB − HB = 1 − =
=√ =
4
4
2
4
b) D’où, E( 12 ;
√
3
2 )
√
et F (1 +
3 1
2 ; 2 ).
60
Seconde générale
3) Notons que D(0; 1), ainsi d’après la question précédente,



√ 
1
3
−−→  2 
−−→ 1 + 2  DE √
et DF
= 1+
3
1
2 −1
2 −1
2015/2016
√
3 −1
2 ; 2
On note que
√
√
√ 2
3
3
3
1 −1
−1
−1 3
− 12 ) =
−(
+ 1)(
− 1) =
−(
− +1=0
2 2
2
2
4
2
4
4
Donc les points D, E et F sont alignés.
4) Déterminons une équation de la droite (DF ) : Son coefficient directeur est
√
√
1
1 − 12
2− 3
−2 + 3 √
yD − yF
1
2√
√
√
√
√
=−
=
= 3−2
=
=−
=−
xD − xF
4−3
2+ 3
(2 + 3)(2 − 3)
0 − 1 − 23
1 + 23
√
et son ordonnée à l’origine est yD − ( 3 − 2) × xC = 1. D’où, l’équation de la droite (DF ) est :
√
y = ( 3 − 2)x + 1
5) Notons que
√
√
1
3
= yE
( 3 − 2)xE + 1 = ( 3 − 2) × + 1 =
2
2
d’où le point E appartient à la droite (DF ).
√
61
Seconde générale
2015/2016
TP : équations de droites
mai 2016
Exercice 1.
1) Taper le programme suivant dans AlgoBox :
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
VARIABLES
x EST_DU_TYPE NOMBRE
y EST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
LIRE x
LIRE y
SI (2*x + 1 == y ) ALORS
DEBUT_SI
AFFICHER "Oui"
FIN_SI
SINON
DEBUT_SINON
AFFICHER "Non : 2*x + 1 = "
y PREND_LA_VALEUR 2*x + 1
AFFICHER y
FIN_SINON
FIN_ALGORITHME
Le tester et dire ce qu’il fait.
Exercice 2. On considère la droite D d’équation y = 7x − 10.
Compléter le programme suivant qui test si le point A(xA ; yA ) appartient à la droite D.
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
VARIABLES
x_A EST_DU_TYPE NOMBRE
y_A EST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
AFFICHER "y = 7x - 10"
LIRE x_A
LIRE
SI
ALORS
DEBUT_SI
AFFICHER "A appartient à la droite D"
FIN_SI
SINON
DEBUT_SINON
AFFICHER ...
FIN_SINON
16: FIN_ALGORITHME
Le tester avec les coordonnées (1; 3), (1; −3) et d’autres valeurs.
Exercice 3. Compléter le programme suivant pour qu’il demande les coordonnées des points A(xA ; yA )
et B(xB ; yB ) et retourne l’équation de la droite.
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
VARIABLES
x_A EST_DU_TYPE
y_A EST_DU_TYPE
x_B EST_DU_TYPE
y_B EST_DU_TYPE
NOMBRE
NOMBRE
NOMBRE
NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
LIRE x_A
LIRE y_A
LIRE
a PREND_LA_VALEUR
b PREND_LA_VALEUR
AFFICHER "(AB) : y = "
AFFICHER a
AFFICHER " x + "
AFFICHER b
62
Seconde générale
2015/2016
19: FIN_ALGORITHME
1) Tester le programme avec A(1; 4) et B(4; 13). Le programme doit retourner l’équation y = 3x + 1.
2) Tester le programme avec un autre couple de points.
3) Tester le programme avec A(1, 1) et B(1, 2). Que se passe-t’il ?
Faire une figure sur votre copie et tracer la droite (AB) dans ce cas.
Expliquer le pourquoi il n’est pas possible de donner une équation de la forme y = ax + b.
Justifier que l’équation de la droite est x = 1.
4) Modifier le programme précédent, pour faire le calcul uniquement lorsque xA 6= xB (avec Algobox,
la condition s’écrit : x_A <> x_B).
5) * Lorsque xA = xB , la droite est d’équation x = xA . Modifier le programme pour qu’il donne une
équation de la droite dans toutes les situations.
Exercice 4. Soit A(xA ; yA ), B(xB ; yB ),C(xC ; yC ) et D(xD ; yD ) quatre points du plan muni d’un repère.
On considère l’algorithme suivant :
1: Variables : xA , yA , xB , yB , xC , yC , xD , yD sont des nombres
2: Entrées : Saisir xA , yA ,yB , xC , yC , xD , yD .
3: Traitement :
4: Calculer p = (yB − yA ) × (xD − xC )
5: Calculer q = (yD − yC ) × (xB − xA )
6: Sortie :
7: Si p = q alors
8:
Afficher "(AB) et (CD) sont parallèles."
9: sinon
10:
Afficher "(AB) et (CD) ne sont pas parallèles."
11: Fin Si
1) Programmer l’algoritme sur AlgoBox.
2) On suppose que xA 6= xB et xC 6= xD ont des abscisses distinctes entre elles.
a) Rappeler la formule définissant le coefficient directeur a de la droite (AB) et celle définissant
a0 le coefficient directeur de la droite (CD).
b) Justifier que (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si (yB − yA ) × (xD − xC ) = (yD −
yC ) × (xB − xA ).
c) En déduire que dans ce cas, l’algorithme est correct.
3) Quelle est la négation de la condition : xA 6= xB et xC 6= xD ?
4) L’algorithme est-il encore correct en toute généralité ?
63
Seconde générale
2015/2016
Équations de droites 2 (sujet A)
mardi 10 mai 2015
On rappelle que toute droite du plan admet une équation de la forme ax + by = c.
Exemple. On considère la droite d’équation 3x + 5y = 7. Comme le coefficient devant y, b = 5, est non
nul, la droite n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées et son équation peut être réécrite de la manière
suivante :
3x + 5y = 7
5y = 7 − 3x
7
3
y= − x
5
5
D’où, l’ordonnée à l’origine de la droite est
7
5
et le coefficient directeur est
−3
5 .
Exercice 1. Indiquer si l’équation proposée est une équation de droites. Préciser l’ordonnée à l’origine
et le coefficient directeur le cas échéant.
1) y 2 = 3x − 2
2) x = 3
3) y = −5x + 7
4) 4x − 2y = 12
On rappelle que si on se donne deux droites :
D:
ax + by = c
D0 :
a0 x + b0 y = c0
Alors D et D0 sont parallèles si et seulement si a b0 = a0 b.
Exercice 2. Considérons les couples de droites suivants :
(
(
D : 12x + 15y = 3
D:
1)
2)
D0 : 4x + 5y = 1
D0 :
(
3)
D:
D0 :
1
6x
3
2x
(
+ 15 y = 52
1
+ 11
5 y = 3
4)
1.2x + 1.5y = −3
7x + 2y = 0.1
D : 2x + 5y = 4
D0 : −4x − 10y = 123
Exercice 3. On considère la droite D d’équation x + y = 3, la droite D0 d’équation 2x − y = 3 et les
points A(0; 3), B(4; −1) et C(−1; −5).
1) Déterminer si les points A, B et C appartiennent à la droite D ou D0 .
2) Déterminer l’ordonnée du point D d’abscisse 4 et appartenant à la droite D0 .
3) Démontrer que les droites D et D0 sont sécantes.
4) Dans un repère orthonormé, représenter les deux droites et les quatre points.
5) On note M le point d’intersection des deux droites.
a) Par lecture graphique, déterminer les coordonnées de M .
b) Si on note (x; y) les coordonnées de M , justifier que x et y sont solutions du système suivant :
(
x+y
=3
(S)
2x − y = 3
c) Résoudre le système (S) et en déduire, par le calcul, les coordonnées du point M .
Exercice 4 (Billard à trois bandes). Lorsqu’on frappe une boule sur une table de billard, celle-ci vient
rebondir sur un côté et repart avec le même angle que celui d’arrivé. On se place sur une table dont les
dimensions sont 190 cm par 95 cm. La situation de départ est la suivante :
64
Seconde générale
2015/2016
G
19 cm
E
28 cm
F
La boule part du point E et va frapper le côté de la table à 84 cm du bord gauche de cette représentation.
Si la force est suffisante, à quel endroit précisément va se situer le prochain rebond ?
Exercice 5. Dans l’exercice 3, résoudre les systèmes 2) et 3).
65
Seconde générale
2015/2016
Équations de droites 2 (sujet B)
mardi 10 mai 2015
suivante :
3x + 5y = 7
5y = 7 − 3x
7
3
y= − x
5
5
7
5
et le coefficient directeur est f rac−35.
1) x = 12
2) y = 3x2 − 2
3) y = −43x + 74
4) 3x − 6y = 18
D:
ax + by = c
D0 :
a0 x + b0 y = c0
Exercice 2. Déterminer si les couples de droites suivants sont parallèles ou sécantes :
(
(
D : 4x + 5y = 3
D : 0.2x + 2.8y = −3
1)
2)
D0 : 12x + 15y = 1
D0 : 10x + 4y = 2.1
(
3)
D:
D0 :
1
6
5
4
x+
x+
(
1
1
7 y = 2
11
4
3 y = 3
4)
D : 7x + 4y = 124
D0 : −14x − 8y = 13
Exercice 3. On considère la droite D d’équation x − y = 4, la droite D0 d’équation 3x + 2y = 2 et les
points A(0; −4), B(4; 0) et C(−2; 4).
1) Déterminer si les points A, B et C appartiennent à la droite D ou D0 .
2) Déterminer l’ordonnée du point D d’abscisse 4 et appartenant à la droite D0 .
3) Démontrer que D et D0 sont sécantes.
4) Dans un repère orthonormé, représenter les deux droites et les quatre points.
a) Par lecture graphique, déterminer les coordonnées de M .
b) Si on note (x; y) les coordonnées de M , justifier que x et y sont solutions du système suivant :
(
x−y
=4
(S)
3x + 2y = 2
c) Résoudre le système (S) et en déduire, par le calcul, les coordonnées du point M .
66
Seconde générale
2015/2016
G
19 cm
E
28 cm
F
Si la force est suffisante, à quel endroit précisément va se situer le prochain rebond ?
Exercice 5. Dans l’exercice 3, résoudre les systèmes 2) et 3) :
67
Seconde générale
2015/2016
Équations de droites (sujet A)
corrigé
suivante :
3x + 5y = 7
5y = 7 − 3x
7
3
y= − x
5
5
7
5
et le coefficient directeur est
−3
5 .
1) y 2 = 3x − 2, non à cause de y 2
2) x = 3, oui, droite parallèle à l’axe des ordonnées
3) y = −5x + 7, oui. Le coefficient directeur est −5 et l’ordonnée à l’origine est 7.
4) 4x − 2y = 12, oui. L’équation peut être réécrite ainsi :
2y = 4x − 12
y = 2x − 6
Ainsi, le coefficient directeur est 2 et l’ordonnée à l’origine est −6.
D:
0
D :
ax + by = c
a0 x + b0 y = c0
Exercice 2. Considérons les couples de droites suivants :
(
(
D : 12x + 15y = 3
D:
1)
2)
0
D : 4x + 5y = 1
D0 :
(
3)
1
6x
3
2x
D:
D0 :
(
+ 15 y = 52
1
+ 11
5 y = 3
4)
1.2x + 1.5y = −3
7x + 2y = 0.1
D : 2x + 5y = 4
D0 : −4x − 10y = 123
1) 12 × 5 = 60 = 4 × 15, donc les droites sont parallèles.
2) 1.2 × 2 = 2.4 est différent de 1.7 × 7 = 10.5, donc les droites sont sécantes.
3)
1
6
×
11
5
=
11
30
est différent de
1
5
× 32 , donc les droites sont sécantes.
4) 2 × (−10) = −20 = (−4) × 5, donc les droites sont parallèles.
Exercice 3. On considère la droite D d’équation x + y = 3, la droite D0 d’équation 2x − y = 3 et les
points A(0; 3), B(4; −1) et C(−1; −5).
1) On note que 0 + 3 = 3 et 4 + (−1) = 3, ainsi les points A et B appartiennent à la droite D. Comme
2 × (−1) − (−5) = 3, le point C appartient à la droite D0 .
On peut vérifier aussi que A et B n’appartiennent pas à D0 et que C n’appartient pas à D.
68
Seconde générale
2015/2016
2) Soit D le point d’abscisse 4 et appartenant à la droite D0 . Notons y son ordonnée, alors 2×4−y = 3,
d’où y = 5. Le point D est de cordonnées (4; 5).
3) En revenant aux équations des droites, on note que 1 × (−1) = −1 est différent de 1 × 2 = 2, ainsi
les droites D et D0 sont sécantes.
4) Voici une représentation des deux droites :
y
D
5
4
3
A
2
M
1
x
−5 −4 −3 −2 −1
−1
1
2
3
4
5
B
−2
−3
−4
C −5
a) Par lecture graphique, les coordonnées de M sont (2; 1).
b) Si on note (x; y) les coordonnées de M , comme M appartient à D et à D0 , ses coordonnées
vérifient les deux équations simultanément :
(
x+y
=3
(S)
2x − y = 3
c) Résolvons le système (S) :
x+y
2x − y
=3
=3
y
2x − y
=3−x
=3
y
2x − (3 − x)
y
3x
y
x
=3−x
= 2x − 3 + x = 3
=3−x
=3+3=6
=3−2=1
= 63 = 2
D’où, on retrouve que M est de coordonnées (2; 1).
69
Seconde générale
2015/2016
y
x = 190
G
E
x
0
F
y=
−1
9
56 x
+
57
2
G0
En complétant la figure comme ci-dessus, on a que E(28; 19), F (84; 0) et le bord droit se trouve sur la
droite d’équation x = 190. Comme les trois angles marqués sur la figure sont égaux, on déduit que G0 est
le symétrique de G par rapport à l’axe des abscisses. D’où G et G0 ont la même abscisse x = 190 et leur
ordonnées sont opposées.
0−19
= −19
Déterminons l’équation de la droite (EF ). Le coefficient directeur de (EF ) est a = 84−28
56 , d’où
19
l’équation de (EF ) est de la forme y = − 56 x + b. Le point F appartient à la droite (EF ) d’où 0 =
57
−19
57
−19
56 × 84 + b, c’est-à-dire b = 2 et la droite (EF ) est d’équation y = 56 x + 2 .
0
Le point G (190; y) est sur la droite (EF ), d’où :
y=
−19
57
1007
× 190 +
=−
' −35.96
56
2
28
Ainsi G(190; 1007
28 ). C’est-à-dire le deuxième rebond aura lieu sur le bord droit à environ 36.96cm du
bord inférieur.
Exercice 5. Dans l’exercice 3, résolcons les systèmes 2) et 3) :
3)
2)
1
1.2x + 1.5y
7x + 2y
1.2x
7x + 2y
x + 15 y
+ 11
y
5
6
3
x
2
= −3
= 0.1
11
−3
= 1.2
−
= 0.1
1.5
y
1.2
x
−17.5 − 8.75y + 2y
= −2.5 − 1.25y
x
−6.75y
x
y
= −2.5 − 1.25 ×
=
17.6
= −6.75
= −352
'
−2.6
135
41
Donc (x; y) = ( 54
;
x − 23 x + 0 y
x
3
11
y
5
= −2.5 − 1.25y
= 0.1 + 17.5
−352
135
41
54
55
2
1
3
=
=
6
11
y
5
= −2.5 − 1.25y
= 0.1
=
=
à la première ligne, on retranche la seconde
1
x + 11
y
5
11
+ 5y
6
3
x
2
11
5
2
1
3
multiplions la première ligne par 11
= −3 − 1.5y
= 0.1
x = −3−1.5y
1.2
7(−2.5 − 1.25y) + 2y
=
=
' 0.8
−352
135 ).
x
y
=
=
163
6
1
− 32 x
3
= 3 × 163
=
6
5
= 11
× ( 31 −
Donc (x; y) = ( 163
2 ;
70
55
− 13
2
1
− 32 x
3
163
2
3 163
)
2 2
−665
12 ).
=
−665
12
Seconde générale
2015/2016
Équations de droites (sujet B)
corrigé
suivante :
3x + 5y = 7
5y = 7 − 3x
7
3
y= − x
5
5
7
5
et le coefficient directeur est f rac−35.
1) x = 12, oui, droite parallèle à l’axe des ordonnées
2) y = 3x2 − 2, non, à cause de x2
3) y = −43x + 74
4) 3x − 6y = 18
3) Oui, le coefficient directeur est −43 et l’ordonnée à l’orginie est 74.
4) Oui, l’équation de la droite peut être réécrite ainsi :
3x − 6y = 18
−6y = 18 − 3x
3x
18
−
y=
−6
−6
1
y = x−3
2
D’où, le coefficient directeur
1
2
et l’ordonnée à l’orginie est −3.
D:
0
D :
ax + by = c
a0 x + b0 y = c0
Exercice 2. Déterminer si les couples de droites suivants sont parallèles ou sécantes :
(
(
D : 4x + 5y = 3
D : 0.2x + 2.8y = −3
1)
2)
0
D : 12x + 15y = 1
D0 : 10x + 4y = 2.1
(
3)
1
6
5
4
D:
D0 :
x+
x+
(
1
1
7 y = 2
11
4
3 y = 3
4)
D : 7x + 4y = 124
D0 : −14x − 8y = 13
1) 4 × 15 = 60 = 5 × 12, donc les deux droites sont parallèles.
2) 0.2 × 4 = 0.8 est différent de 10 × 2.8, donc les deux droites sont sécantes.
3)
1
6
×
11
3
=
11
18
est différent de
1
7
×
5
4
=
5
28 ,
donc les deux droites sont sécantes.
4) 7 × (−8) = −56 = 4 × (−14), donc les deux droites sont parallèles.
71
Seconde générale
2015/2016
Exercice 3. On considère la droite D d’équation x − y = 4, la droite D0 d’équation 3x + 2y = 2 et les
points A(0; −4), B(4; 0) et C(−2; 4).
1) On peut vérifier que les points A, B à la droite D, car 0 − (−4) = 4 et 4 − 0 = 4. De même, le point
C appartient à la droite D0 , car 3 × (−2) + 2 × (4) = 2.
2) Notons y l’ordonnée du point D d’abscisse 4 et appartenant à la droite D0 , alors on a 3 × 4 + 2y = 2.
D’où y = 2−12
= −5. Ainsi, le point D est de coordonnées (4; −5).
2
3) On note que a × b0 = 1 × (−2) = −2 est différent de b × a0 = (−1) × 3 = −3, ainsi les droites D et
D0 sont sécantes.
4) Voici une représentation des deux droites :
y
5
4
C
3
2
1
−5 −4 −3 −2 −1
−1
1
2
3
4 B 5
x
M
−2
−3
−4
A
D
−5
a) Par lecture graphique, les coordonnées du point M sont (2; −2).
b) Si on note (x; y) les coordonnées de M , alors x et y sont solutions de l’équation caractérisant
D et de l’équation caractérisant D0 , c’est-à-dire soltions du système suivant :
(
x−y
=4
(S)
3x + 2y = 2
c) Résolvons le système (S)
x−y
3x + 2y
x
3(4 + y) + 2y
=4+y
=2
x
12 + 3y + 2y
=4+y
=2
x
5y
x
y
=4
=2
=4+y
= 2 − 12
=4+y =4−2=2
= −10
= −2
5
Ainsi, par le calcul, les coordonnées du point M sont (2; −2).
72
Seconde générale
2015/2016
y
x = 190
G
E
x
0
F
y=
−1
9
56 x
+
57
2
G0
En complétant la figure comme ci-dessus, on a que E(28; 19), F (84; 0) et le bord droit se trouve sur la
droite d’équation x = 190. Comme les trois angles marqués sur la figure sont égaux, on déduit que G0 est
le symétrique de G par rapport à l’axe des abscisses. D’où G et G0 ont la même abscisse x = 190 et leur
ordonnées sont opposées.
0−19
= −19
Déterminons l’équation de la droite (EF ). Le coefficient directeur de (EF ) est a = 84−28
56 , d’où
19
l’équation de (EF ) est de la forme y = − 56 x + b. Le point F appartient à la droite (EF ) d’où 0 =
57
−19
57
−19
56 × 84 + b, c’est-à-dire b = 2 et la droite (EF ) est d’équation y = 56 x + 2 .
0
Le point G (190; y) est sur la droite (EF ), d’où :
y=
57
1007
−19
× 190 +
=−
' −35.96
56
2
28
Ainsi G(190; 1007
28 ). C’est-à-dire le deuxième rebond aura lieu sur le bord droit à environ 36.96cm du
bord inférieur.
Exercice 5. Dans l’exercice 3, résolvons les systèmes 2) et 3) :
3)
1
2)
0.2x + 2.8y
10x + 4y
6
5
4
= −3
= 2.1
x
10(−15 − 14y) + 4y
x
−150 − 140y + 4y
x
−136y
x
y
=
=
−3
0.2
=
−
= 2.1
2.8
y
0.2
= −15 − 14y
Donc (x; y) = ( 447
68 ;
5
12
5
12
x+
x+
5
14
11
9
y=
y=
5
1
et la seconde par .
2
3
5
4
4
9
on retranche à la première ligne la seconde
= −15 − 14y
= 2.1 + 150 = 152.1
=
1
y = 12
7
11
y = 43
3
multiplions la première ligne par
= −15 − 14y
= 2.1
−15 − 14 × ( −1521
)
1360
152.1
1521
=
−
−136
1360
x+
x+
5
0 x + ( 14
− 11
)y =
9
5
11
4
x
+
y
=
12
9
9
−109
447
680
126
5
x
12
−1521
1360 ).
y = 29
36
+ 11
y=
9
5
4
4
9
4
9
y = − 126
× 29
= −203
109
36
218
12 4
11
x = 5 ( 9 − 9 y) = 414
109
Donc (x; y) = ( −203
218 ;
73
−
414
109 ).

Seconde générale : Problèmes et interrogations

Transcription

Documents pareils

Correction Devoir maison 1 EXERCICE 1 : On

Première S Contrôle de Mathématiques n°4

Lycée F. MISTRAL AVIGNON DEVOIR COMMUN DE 1° Épreuve de

Utiliser les équations dans Word - Angel

JMV par Philippe - copie - Relais du Bois Saint Georges

Partie 1 : Calcul fractionnaire Partie 2 : Racines carrées Partie 3

Déterminer l`équation d`une droite par lecture graphique

septembre 2001

Droites du plan