b) Filtre passe-bande : généralisation La fonction de transfert d`un
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b) Filtre passe-bande : généralisation La fonction de transfert d`un
b) Filtre passe-bande : généralisation La fonction de transfert d’un filtre passe-bande du second ordre peut s’écrire sous la forme : j Qx H0 H0 = H(jx) = 1 − x2 + j Qx 1 + jQ(x − x1 ) La deuxième expression fait apparaître le dénominateur utilisé dans la forme canonique. On en déduit les valeurs du gain G = |H| et de ϕ = arg(H) |H0 | G= q 1 + Q2 (x − x1 )2 1 ϕ = arg(H0 ) − arg 1 + jQ(x − ) x 1 ). On en déduit α ∈ [− π2 , π2 ]. On peut alors utiliser la fonction x} soit α = arg |{z} 1 +j Q(x − | {z >0 >0 ou <0 arctan pour exprimer ϕ : 1 ϕ = arg(H0 ) − arctan Q(x − ) x avec arg(H0 ) = 0 pour H0 > 0 et arg(H0 ) = π pour H0 < 0. Résonance : Dans l’expression de G, le numérateur étant constant (égal à |H0 |), G admettra un maximum si le dénominateur admet un minimum et donc si 1 + Q2 (x − x1 )2 admet une valeur minimale. Or Q2 (x − x1 )2 > 0. La valeur minimale est donc atteinte pour (x − x1 ) = 0, soit pour x2 = 1 et donc, puisque x > 0 pour x = 1, ce qui correpond à ω = ω0 . ∀Q G = Gmax = |H0 | pour x = 1 c) Diagramme de Bode asymptotique On détermine tout d’abord les expressions approchées de H, suivant les différents domaines de fréquence : x1 H(jx) ' H0 −j Q x = jx HQ0 ω ω0 H0 H(jω) ' jω Qω 0 comportement dérivateur x=1 x1 H(jx) = H0 H(jx) ' H0 jxQ ω = ω0 ω ω0 H(jω) = H0 H(jω) ' 1 H0 ω0 jω Q comportement intégrateur 1 On en déduit les expressions approchées – du gain G = |H| x1 G= |H0 |x Q GdB = 20 log |H0 | − 20 log Q + 20 log x droite de pente +20 dB/dec x=1 G = |H0 | x1 G' |H0 | Qx GdB = 20 log |H0 | GdB = 20 log |H0 | − 20 log Q − 20 log x droite de pente −20 dB/dec Remarque : l’intersection des deux asymptotes avec la verticale x = 1 (log x = 0) correspond à un point d’ordonnée 20 log |H0 | − 20 log Q. – de la phase ϕ, en se plaçant dans le cas où H0 > 0 jxH0 x 1 ϕ = arg = π2 (pour H0 > 0) Q x=1 ϕ = arg(H0 ) = 0 (pour H0 > 0) x1 ϕ = arg H0 jQx = − π2 (pour H0 > 0) d) Courbes (pour H0 = 1) G(dB) 20 Q =0.1 10 0 -2 10 -10 10 -1 10 0 10 1 10 Q =1 -20 -30 -40 +20dB/dec Q =10 -20dB/dec -50 -60 2 x 2 ϕ 1.5 1 0.5 0 -2 10 10 -1 10 0 10 -0.5 1 x 10 2 Q =0.1 Q =1 -1 Q =10 -1.5 . quel que soit le facteur de qualité, la résonance a toujours lieu pour x = 1 (ω = ω0 ). La résonance est d’autant plus aiguë que le facteur de qualité est élevé. . l’amplitude de variation de ϕ est de π. Le saut de π/2 à −π/2 est d’autant plus prononcé que le facteur de qualité est élevé. Pour x = 1, ω = ω0 , ϕ = 0 : le déphasage entre l’entrée et la sortie est nul à la résonance (pour H0 > 0). . dans le domaine des basses fréquences (x 1, ω ω0 ), la pente de l’asymptote vaut H0 : le filtre se comporte comme un dérivateur. +20 dB/dec et ϕ = +π/2 car H(jω) ' jω Qω 0 . dans le domaine des hautes fréquences (x 1, ω ω0 ), la pente de l’asymptote vaut 1 H0 ω0 : le filtre se comporte comme un intégrateur. −20 dB/dec et ϕ = −π/2 car H(jω) ' jω e) Bande passante à -3dB La bande passante correspond au domaine de fréquence pour lesquelles Gmax √ 6 G 6 Gmax 2 √ GdBmax − 3dB 6 GdB 6 GdBmax car −20 log 2 = −3. Gmax = |H0 |, les pulsations de coupures vérifient donc l’équation : |H0 | q |H0 | = √ 2 1 + Q2 (x − x1 )2 En inversant et en élevant au carré : 2 1 1+Q x− =2 x 2 3 1 Q x− = ±1 x 1er cas : Q x − 1 x = −1 1 x−1=0 Q q 1 on ne conserve que la racine positive : x1 = − 2Q + 12 Q12 + 4 2eme cas : Q x − x1 = 1 x2 + 1 x−1=0 Q q 1 on ne conserve que la racine positive : x2 = 2Q + 12 Q12 + 4 q q 1 1 1 1 1 1 + 4 − − 2Q + 2 +4 = On en déduit ∆x = x2 − x1 = 2Q + 2 Q2 Q2 x2 − ∆x = 1 Q ∆ω ∆f 1 = = ω0 f0 Q avec ∆ω = ω2 − ω1 différence entre les deux pulsations de coupures, ∆f = f2 − f1 différence entre les deux fréquences de coupures. Plus le facteur de qualité est élevé, plus la bande passante est étroite. 1 1 Remarque : Q x1 − x1 = −1, ϕ(x1 ) = − arctan Q x1 − x1 = − arctan(−1) = π4 . Q x2 − x12 = 1, ϕ(x2 ) = − arctan Q x2 − x12 = − arctan(1) = − π4 . (en supposant H0 > 0) f ) Entrainez-vous Sur une feuille de papier semi-log, tracer le diagramme de Bode d’un filtre passe-bande de caractéristiques : H0 = 10, fréquence de résonance f0 = 102 Hz, facteur de qualité Q = 5. 4