La géométrie fractale, de 1902 à aujourd`hui Dimensions fractales

La géométrie fractale, de 1902 à aujourd'hui
Dimension d'un objet géométrique « auto-similaire »
Le carré se divise en
4 parties identiques
au carré, 2 fois plus
petites.
2
4 = 2 : le carré est
de dimension 2
Le cube se divise en 8
parties identiques au
cube, 2 fois plus petites.
3
8 = 2 : le carré est de
dimension 3
Le Flocon de Von Koch se divise en 4 parties
identiques au Flocon, 3 fois plus petites.
log(4)/log(3)
1,26...
4=3
=3
: le flocon est de dimension
log(4)/log(3) = 1,261...
Le triangle de Sierpinsky
se divise en 3 parties
identiques au triangle, 2
fois plus petites.
log(3)/log(2)
1,585...
3=2
=2
: le
triangle est de dimension
log(3)/log(2) = 1,585...
Le Flocon de Von Koch (1902), le Triangle de Sierpinsky (1915) ou encore l'ensemble triadique de Cantor (1884)
furent les premiers exemples étudiés de figures « fractales ». Ce mot fut inventé par B. Mandelbrot (1924 - 2010),
qui fut celui qui rendit populaire et systématique l'utilisation de la Géométrie Fractale en Mathématiques comme
en Physique et Chimie.
Dimensions fractales (non-entières) au XXIème siècle
Le mouvement Brownien décrit la trajectoire d'une très petite
particule dans un fluide qui change de direction à chaque instant (grain de pollen dans l'eau, atome dans le vide...). Un des
modèles pour les cours de la bourse (finance).
Le fluide en bleu
passe
Phénomène
de percolation
Le fluide
ne passe plus
Conjecture de Mandelbrot / Théorème de LawlerSchramm-Werner :
Le bord extérieur du mouvement brownien plan a pour
dimension 4/3
(W. Werner a eu la Médaille Fields en 2006)
La percolation est le phénomène qui fait que le café (un fluide) traverse un filtre (un solide poreux).
Un « amas de percolation » est une composante de la partie humidifiée par le fluide.
Théorème (Smirnov) : Le bord extérieur d'un amas de percolation a pour dimension 7/4.
(S. Smirnov a eu la Médaille Fields en 2010)
Nombres complexes et Ensembles de Julia
Les nombres complexes (programme de Terminale S) donnent une façon d'additionner et
2
de multiplier deux points du plan R .
On définit une suite de points comme
2
zn+1 = (zn) + c
où c est un nombre complexe (point du plan) fixé.
L'ensemble de Julia associé à c est l'ensemble des points z0
du plan tels que cette suite reste bornée.
Une façon facile de créer de belles fractales !
c=0.3+0.5i
c=0.4+0.2i
c= -0.8+0.2i