Football — tir au but

Football — tir au but
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Question
Un joueur de football, en possession du ballon, court sur la ligne de touche. Ayant une frappe
extrêmement forte il ne soucie pas de sa distance au but de l’adversaire et tire au moment où
l’angle sous lequel il voit le but est maximal. Quel est alors cet angle (en degrés)?
Utilisez les dimensions recommandées par la FIFA : terrain 105m×68m et largeur du but 7,32m.
7,32m
68m
β (angle à maximiser)
o
105m
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Football — tir au but
2
Réponse
b = 7,32m
68m
β
a = 30,34m
α
o
x
D’après le dessin, on trouve

a

tan α =


x


 tan(α + β) = a + b
x
⇒




α = arctan
a
x


 α + β = arctan a + b
x
a
a+b
⇒ β = − arctan +arctan
,
x
x
puis, par dérivation,
dβ
a
a+b
ab(a + b) − bx2
= 2
−
=
.
dx
x + a2 x2 + (a + b)2
(x2 + a2 ) (x2 + (a + b)2 )
Cette dérivée s’annulle au seul point
p
p
x0 = a(a + b) = 30,34m × 37,66m ≈ 33,8m .
Géométriquement il est évident que la fonction β(x) possède un unique maximum qui est
donc en x0 . (On peut aussi remarquer que β(x) > 0 pour tout x > 0 et que limx→0 β(x) =
limx→∞ β(x) = 0 ; ainsi la fonction dérivable β possède un maximum sur R+ qui se trouve donc
en x0 .)
L’angle maximal est alors
β(x0 ) = arctan
a
3766
3034
a+b
− arctan
≈ arctan
− arctan
≈ 6,18◦ .
x0
x0
3380
3380