1. Solutions des problèmes ouverts

1. Solutions des problèmes ouverts
http://www.maths-et-tiques.fr/index.php/prob-ouverts/problemes-ouverts
A partir de la classe de Sixième
Le pianiste
8000 : 365 ≈ 22h. C'est donc impossible
L’escalier
On prouve facilement qu’il n’y a pas proportionnalité.
Les poignées de mains
5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 poignées de mains
Les châteaux de cartes
1 étage : 3x1 – 1 = 2 cartes
2 cartes : 3x3 – 2 = 7 cartes
3 étages : 3x6 – 3 = 15 cartes
4 étages : 3x10 – 4 = 26 cartes
5 étages : 3x15 – 5 = 40 cartes
…
12 étages : 3x78 – 12 = 222 cartes
Le puzzle
Sur un cube
Il existe 6 points.
L'escargot
(3 – 2) + (3 – 2) + (3 – 2) + (3 – 2) + (3 – 2) + (3 – 2) + (3 – 2) + 3 = 10 m au 8e jour.
Pliage
2 x 2 x … x 2 = 1 048 576 mm
≈ 105 m !
Le gâteau
2 et 5
23 € = 3 x 5 € + 4 x 2 €
54 € = 10 x 5 € + 2 x 2 €
81 € = 15 x 5 € + 3 x 2 €
La basse-cour
3 lapins et 2 poules
Gros Dédé
Dédé = 125 kg, Francis = 20 kg, Boudin = 15 kg.
Dans une mine de crayon
3 mm représente 3 m dans la réalité donc l’échelle est de 1/1000.
Carré plié
Chaque petit triangle a pour périmètre la longueur d’un côté du carré. L’ensemble de la figure jaune a donc pour
périmètre le périmètre du carré, soit 15 x 4 = 60 cm.
Produit
1 x 2 x 3 x … x 10 x … x 2011 : le dernier chiffre est un "0".
Les pesées
On met 2 boîtes sur chaque plateau.
-
Si les plateaux sont équilibrés, la boîte cherchée se trouve parmi les 3 autres. En 2 pesées, il est facile de la
trouver.
-
Si les plateaux ne sont pas équilibrés, on commence par comparer les 2 boîtes du premier plateau puis
ensuite les 2 boîtes du 2e plateau.
Monnaie
Oui, par exemple 5 x 9 € - 4 x 11 € = 1 €. Avec cette combinaison, on retrouve l'unité.
Koh-Lanta
30 participants mangent 30kg de riz en 30 jours
15 participants mangent 15kg de riz en 30 jours
15 participants mangent 7,5kg de riz en 30 jours
Arithmétique
4 + 4x4 + 4x4x4 + 4x4x4x4 = 340
Horloge
180 : 12 = 15°
Le plus grand produit
97531 x 8642
Le compas
A angle droit.
La chèvre
Divisibilité
2 x 3 x 2 x 5 x 7 x 2 x 3 = 2520
Décomposition
n
n
n
Suivant le cas, le plus grand produit que l'on peut trouver est sous la forme 3 , 3 x2 ou 3 x4
Le mot de passe
26 x 26 x 26 x 26 x 26 x 26 x 10 x 10 = 30 891 577 600 possibilités
La rivière
Les carrés paveurs
Une solution :
A partir de la classe de Cinquième
Avec des allumettes
Il en existe 5 : 1-6-6, 2-6-5, 3-5-5, 3-6-4, 4-5-4
La bûche
12 x 1 min 25 s = 17 min
La ligne
Il suffit de tracer la médiatrice de [AB].
La cible
On commence par déterminer le centre de la cible comme intersection de deux médiatrices des cordes d'un cercle
déjà tracé.
Sans cercle
On commence par tracer deux médiatrices du triangle ABC puis on construit le point D comme symétrique de A par
rapport à O point d'intersection des médiatrices et centre du cercle passant par A, B et C.
Les boîtes de conserve
- 465 boîtes
- 36 étages
Points alignés
Une solution possible (elles sont nombreuses) : on compare l'aire du triangle AEF avec la somme des aires de CDE,
BCF et ABCD. Cela prouve que les points ne sont pas alignés.
Sondage
85 % des français aiment les frites et 75 % des français aiment les hamburgers : on en déduit qu'au minimum 60 %
(100 – 15 – 25) aiment les deux à la fois.
Comme 65 % des français aiment le soda : on en déduit que 25 % au minimum (100 – 35 – 40) aiment les trois à la
fois.
Périmètre et aire
Correction animée : http://dialog.ac-reims.fr/math-pbouverts/pages/animation3.html
Le produit impossible
ce produit contient le facteur
⎛ 13 ⎞
⎜⎝ 1 − 13 ⎟⎠ = 0 donc ce produit est nul.
L'hectogone
100 x 97 : 2 = 4850 diagonales
A partir de la classe de Quatrième
Moyennes de chiffres
45 nombres, par exemple : 111, 201, 312, 132, 222, 402, …
Avec le tableur
a = -5, b = 13 et c = 7
Les feuilles
4
9
Respectivement 3 et 3 .
La corde
Sans aucun problème :
50,052 − 502 ≈ 2,2m
L'araignée
AM = 37 2 + 17 2 ≈ 40,7cm
La nappe
A centre d'une nappe. B et P milieux respectifs des côtés de la table.
AB = 502 − 452 ≈ 21,8
AP ≈
( 45 − 21,8)
2
+ 452 ≈ 50,6 > 50
Les nappes ne recouvrent donc pas la table.
Puissances
Solutions : http://ymonka.free.fr/maths-et-tiques/telech/Raisonnement&dem.pdf
Puissances de 13
Lorsque l'exposant est un multiple de 4, la puissance de 13 se termine par un "1". C'est le cas de 13
Vitesses moyennes
V = (d+d')/(t+t') = (d+d')/(d/10+d'/30) = 2d/(d/10+d/30) = 2/(1/10+1/30) = 15 km/h
La couronne
A = π R 2 − π r 2 = π R 2 − r 2 = π × 2,52
(
)
Distance minimale
AM = PQ car APMQ est un rectangle et AM est minimum lorsque [AM] est une hauteur du triangle.
2012
.
La ficelle
(
)
2π R + 1 = 2π R + h donc h =
1
≈ 0,16m . Un chat pourra passer.
2π
A partir de la classe de Troisième
Substitution
2
n² - 14n + 49 = (n – 7) = 0 pour n = 7. Marie a raison.
QCM
Il s’agit d’expliquer le paradoxe.
Aucune réponse n’est possible. Intuitivement, on donnerait « 25% » comme solution. Mais les réponses A et D
correspondent à 25%. Il y a donc 50% de chance de choisir au hasard « 25% ».
On devrait alors donner « 50% » comme solution. Mais seule la réponse B correspond à « 50% ». Il a donc « 25% »
de chance de choisir au hasard « 50% ».
La planète des deux empires
On trace les médiatrices des segments joignant les deux pôles.
Inégalités salariales
25% !
En effet, si F est le salaire d'une femme et H le salaire d'un homme, les deux assertions donnent F = 0,8H ou
H = 1,25F.
Le lièvre et la tortue
Il s’agit de démontrer que le volume du cylindre est égal à la somme des volumes du cône et de la sphère.
1
4
1
6
VCo + VS = π r 2 × 2r + π r 3 = π ( 2r 3 + 4r 3 ) = π r 3 = 2π r 3
3
3
3
3
2
3
VCy = π r × 2r = 2π r
Le lièvre et la tortue
tortue : (5/6)
6
lièvre : 1 - (5/6)
6
Le lièvre a le plus de chance de gagner.
L'équerre
BCA et BOA sont deux triangles rectangles inscrits dans le cercle de diamètre [BA]. Les angles inscrits AOC et ABC
dans ce cercle sont égaux. Le point C se trouve sur la droite fixe passant par O faisant un angle égal à ABC avec
l'axe (Ox).
Le lieu L du point C est un segment porté par cette droite.
Lieu
M' décrit la droite symérique à la droite (d) par rapport à la droite (AB)
A partir de la classe de Seconde
Le fantôme
Scénario : http://www.ac-strasbourg.fr/fileadmin/pedagogie/mathematiques/TICE/Activites/Le_fantome.pdf
La ville carrée
A l'aide du théorème de Thalès :
c
20
= 2 , on trouve à l'aide d'un logiciel de calcul formel (en classe de 3e) : c = 250 pas
c + 34 1775
Le jardin
On cherche le maximum de la fonction
(
)
f (x) = x 37,5 − x . On trouve x = 18,75 . Le rectangle est carré !
La raclette
Dans la cas où un des côtés du fromage est sur [AB] et considérant un four de rayon 1, le problème revient à
chercher (avec un logiciel en 2nde) le maximum de la fonction
f (x) = x 1− x 2 . On trouve x =
2
.
2
Les autres variantes se prêtent mieux à une recherche de solution approchée à l'aide d'un logiciel.
A partir de la classe de Première S
Millionnaire ?
Somme d'une suite arithmétique :
n ( n + 1)
2
= 50005000 soit n = 10000 jours
Les jetons
Soit Sn la somme des jetons après la enième étape. Alors S0 = 1 et Sn+1 = Sn + 2Sn – 1
Soit Sn+1 = 3Sn – 1 (suite arithmico-géométrique)
A l'aide d'un logiciel, on trouve S20 = 1 743 392 201
Tangente "deux en un"
y = -4x - 4
Napoléon
Scénario : http://www.ac-strasbourg.fr/fileadmin/pedagogie/mathematiques/TICE/Activites/chapeau_de_Napoleon.pdf
Le château de cartes
Soit Sn la somme des cartes pour n étages. Alors S1 = 2 et Sn+1 = Sn + 2(n+1) + n
Soit Sn+1 = Sn + 3n + 2
A l'aide d'un logiciel, on trouve S5 = 40, S12 = 222 et S100 = 15050.
A partir de la classe de Terminale S
Distance minimale
( )
A l'aide d'un logiciel, on trouve
2
f (x) = x 2 + ln x .
Le problème revient à cherche le minimum de la fonction
x ≈ 0,65 .
Drôle de somme
On se donne un triangle ABC tel que
! = arctan(2) .
! = arctan(1) et C
B
Soit D le pied de la hauteur issue de A. On pose AD = 1, donc BD = 1 et CD =
En appliquant le théorème de Pythagore, on a :
En appliquant le théorème d’Al Kashi, on a :
On a finalement :
AB = 2 et AC =
cos( Â) =
1
10
soit
5
.
2
sin( Â) =
! = arctan(2) et !A = arctan(3) .
! = arctan(1) , C
B
La somme des angles d’un triangle vaut
π , d’où le résultat.
2. Solutions des tâches complexes
http://www.maths-et-tiques.fr/index.php/prob-ouverts/taches-complexes
A partir de la classe de Sixième
Vente de gâteaux
2 x Nombre de parts par gâteau (à évaluer) x Nombre de familles x 0,50 €
Géographie
1) Strasbourg, Paris et Lyon par exemple.
2) Le Mans, Troyes, Périgueux et St Etienne par exemple.
Grande Ourse
1
.
2
9
10
et donc
tan( Â) = 3 .
Statistiques
L'auteur de l'article a fait construire des disques dont le diamètre est proportionnel au taux. C'est la surface du
disque qui doit être proportionnel au taux.
A partir de la classe de Cinquième
L'Antarctique
Les élèves peuvent tracer des morceaux de disques et/ou des polygones recouvrant le continent. Ils effectuent alors
des calculs d'aires à partir de ces figures pour obtenir par un calcul d'échelle une approximation de la surface de
2
l'Antarctique. La surface officielle est d'environ 14 100 000 km .
Yaourts jetés à la poubelle
Nombre de yaourts en 1 min (par ex) x 60 x 24 x 365
Naissances et décès en temps réel
Population actuelle + (Nombre de naissance en 1 min (par ex) – Nombre de décès en 1 min) x 60 x 24 x 365 x
Nombre d’années.
A partir de la classe de Quatrième
Sortie des classes
On mesure sur la carte la distance par route séparant le collège de la gare. A l'aide de l'échelle, on calcule la
distance réelle.
En appliquant la formule v=d/t, on calcule le temps mis pour effectuer ce trajet. Les élèves devront évaluer la vitesse
d'un piéton.
Le téléphérique
Les élèves devront chercher les altitudes de Chamonix (1035 m) et du Mont Blanc (4810 m) ainsi que la distance
vue par satellite séparant Chamonix du Mont Blanc (10 km).
En appliquant le théorème de Pythagore, on trouve :
( 4810 − 1035)
2
+ 100002 ≈ 10700m
A partir de la classe de Troisième
Réduction
Les élèves devront rechercher le principe des formats officiels des feuilles : A3, A4, A5, …
Le rapport cherche est
1
2
, soit environ 71 %.
29 février
Les élèves devront rechercher la population française et évaluer la part née un 29 février.
65 000 000/(3x365+366)
≈ 44 500 personnes
3. Solutions des problèmes ouverts en vidéo
http://www.maths-et-tiques.fr/index.php/prob-ouverts/problemes-en-video
A partir de la classe de Sixième
Triangles
On peut évaluer que la boîte contient 300 cure-dents (en comptant un secteur).
Avec 273 cure-dents, on peut fabriquer 13 étages soit 169 petits triangles identiques.
Pastèques
Avec une pyramide de base un carré 10 x 10 pastèques, il faut 385 pastèques en tout pour la pyramide.
Pyramide
On estime qu’un petit paquet de pièces constitué de 10 pièces.
Pour une pyramide de base un carré 40 x 40 paquets, il faut 22140 paquets soit 221400 pièces soit encore 2214 €.
De 10 à 15
10 objets coûtent 22€ donc 15 objets coûtent 22 + 11 = 33€
Règle de trois
2,42 x 14 : 4 = 8,47 €
Cartables
14/42x100 = 33%
10€
La stratégie de Chloé consiste à prêter à Antoine et à le rembourser avec le même billet de 10€.
Les cavaliers
Explication du paradoxe dans le vidéo suivante : http://youtu.be/HcUvd-v6x0o
Carré plié
Par reports, on montre facilement que le périmètre de la figure formée des 4 triangles et égal au périmètre du carré
soit 4 x 21 = 84 cm.
Châtaignier
D = 50 : Pi ≈ 15,9 m
Peinture
Surface à peindre
≈ 2 x 2 x [ 2 x 28,5 x 33 + 2 x 28,5 x 45 + 33 x 45 – 11,5 x 13 ] = 23126,5 cm2 ≈ 2,3 m2
2
Le pot de 2 m ne suffit pas !
Pi Day
Une solution est donnée à la fin de la vidéo : environ 10200 dominos.
Il a fallu 13 heures pour poser les dominos. Soit 10200 : 13 : 60
≈ 13 dominos par minute.
Lambada
A partir de la classe de Cinquième
Œufs
Il suffit de multiplier toutes les quantités par 6 cinquièmes.
Blob World Record
En prenant comme unité la taille de la personne sur le tremplin, le saut a pour hauteur 11,5.
En évaluant la taille de la personne à 1,75 m, on en déduit la hauteur du saut égal à 11,5 x 1,75 ≈ 20 m.
Les tontons flingueurs 6 briques = 500 x 12 sacs = 6000 sacs.
6 x 15 = 90 briques.
30 x 15 = 450 briques.
450 + 90 = 540 briques = ½ milliard d’anciens francs.
Pour résumer :
1000 sacs = 1 brique = 1 million d’anciens francs = 10 000 francs = 1 500 €.
Le texte en € :
RAOUL : Ramasser les miettes, vous appelez ça la sécurité vous ? Vous savez combien il nous a coûté le Mexicain
en quinze ans ? Vous savez combien qu’il nous a coûté ? Oh, dis leur Paul, moi j’peux plus.
PAUL : A 750 € par mois, rien que de loyer, ça fait 9 000 € par an : 135 000 € en 15 ans.
RAOUL : Plus 45 000 € de moyenne par an sur le flambe. Vous savez à combien on arrive ? 810 000 € !
Le pixel
Corrigé : http://www.maths-et-tiques.fr/telech/pixels.pdf
Bidon
Le bidon est un prisme droit dont la base est le trapèze visible. On raisonne alors sur le trapèze visible à l’écran en
considérant les dimensions prises sur l’écran (variables suivant la résolution de l’écran).
h
Photo de gauche :
Aire « trapèze » = (2,3 + 4) x 5,6 : 2 = 17,64 cm
Aire « eau » = (2,3 + 3,8) x 4,7 : 2 = 14,335 cm
2
2
On cherche donc la hauteur h sur la photo de droite telle que le triangle rectangle du haut non recouvert d’eau ait
2
pour aire : 17,64 – 14,335 = 3,305 cm .
Plusieurs solutions sont envisageables : algébriques ou expérimentales. On trouve h = 1,4 cm.
Les champs
er
1 champ :
L = 68 x 0,85 = 57,8 m et l = 96 x 0,85 = 81,6 m.
2
A1 = 57,8 x 81,6 = 4716,48 m pour 4 balles de foin.
e
2 champ :
2
A2 = 4716,48 x 11 : 4 = 12970,3 m pour 11 balles de foin (par proportionnalité sur les balles de foin).
Popcorn Picker
212 × 29,7
29,7 2 × 21
V1 =
≈ 1042,28cm3 et V2 =
≈ 1474,08cm3
4π
4π
Plus grande tasse du monde En prenant repère sur les personnes entourant la tasse, on peut évaluer ses dimensions par proportionnalité :
Diamètre de la bade = 2m ; hauteur = 2,25 m.
V = π × 12 × 2,25 ≈ 7m 3
Saut à ski
A partir de la classe de Quatrième
Énorme Fail
L’augmentation est de (56-15)/15 ≈ 2,73 soit 273 %.
Le journaliste a évalué à 25 % car 15 est environ égal au quart de 56 !!!
Usain Bolt
Sa vitesse est de 34,87 km/h.
Autoroute
Scénario : http://webpeda.ac-montpellier.fr/mathematiques/IMG/pdf/cr_experimentation__quelle_vitesse.pdf
Volcan
Le son arrive 15 secondes après l’éruption.
15x1000/3600 ≈ 4 km.
Le plus grand train d’Europe
Le train parcourt 1500 m en 1 min environ. Sa vitesse est donc égale à 90 km/h.
Star Wars
En se décalant vers la gauche, certains vaisseaux sont représentés en plus petit.
Le tableau à télécharger http://www.maths-et-tiques.fr/images/M_images/starwars.pdf présente les vaisseaux qui ont
été réduits et les coefficients correspondants. Ce tableau a été établi en effectuant des mesures à l’écran.
En multipliant tous les coefficients, on obtient environ 56189. Cela signifie que le premier personnage de la vidéo (le
Storm Trooper) a une hauteur qui a été divisée par 56189 à la fin de la vidéo.
On mesure ensuite à l’écran le Storm Trooper (au début de la vidéo) et l’Etoile Noire (à la fin de la vidéo). En
supposant que le Storm Trooper mesure 1,80 m dans la réalité, on trouve par proportionnalité que l’Etoile Noire a un
diamètre d’environ 127 km.
Echiquier
2
3
Nombre de pièces = 1 + 2 + 2 + 2 + … + 2
63
Pliage
L’épaisseur d’une feuille est environ égale à 0,1 mm.
L’épaisseur du pliage est donc égale à 0,1 x 2
20
≈ 105 m.
Y a un truc !
Soit n le nombre de départ. Le jeu consiste à effectuer
n + n + 1+ 9
−n=5
2
A partir de la classe de Troisième
Photocopies
Les dimensions d’un billet de 10€ sont 127 mm x 67 mm.
Le billet est réduit trois fois de suite à 75% soit 0,75
3
≈ 0,42.
Le dernier billet réduit a donc pour dimensions : 42% de 127 mm x 42% de 67 mm soit environ 53 mm x 13 mm.
Polytechnique
Les pourcentages ne s’additionnent pas, ils se multiplient.
5
1,06 ≈ 1,34 soit 34% et non 30%.
Les lunettes de soleil
0,55 x 0,45 = 0,2475. Oui, les rayons du soleil sont filtrés à 75,25 %.
Nounours
Le grand nounours a une hauteur environ 14 fois plus grande que le petit. Donc 2744 petits nounours forment un
3
grand. (Agrandissement : 14 = 2744)
Tapago
http://www.pedagogie.ac-nantes.fr/mathematiques/enseignement/groupe-de-recherche/actions-nationales-20132015/tapago-885273.kjsp?RH=1396357228816
A partir de la classe de Seconde
Digicode
2
10
2 lettres et 10 chiffres donnent 26 x 10 = 6 760 000 000 000 combinaisons soit environ 7 000 milliards de
combinaisons et non pas 4 milliards comme dans la chanson.
Monopoly
Nombre de possibilité de tomber sur un hôtel = 3 (somme des dés vaut 4) + 5 (somme des dés vaut 6) = 8
Probabilité de ne pas s’arrêter sur un hôtel = (36 – 8) /36 soit environ 78%.
Les prises
12 x 11 x 10 = 1320.
P = 1/1320
A partir de la classe de Première
Décibels
Le problème se résout très bien avec un tableur.
20
Il faut 2 = 1 048 576 téléphones