Maths - TD N° 1
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Maths - TD N° 1
S amedi 10 N ovembre 2007 A nnée 2007/2008. U niversité Djiℓℓaℓi L iabès de S idi-Beℓ-A bbès. F acuℓté des S ciences de ℓ’I ngénieur. T ronc C ommun T echnologie. L es S éries N umériques 2ème A nnée I N G . C hapitre N o 1 M ath : T .D. N o 1 E xercice 1 Soient les deux suites (un ) et (vn ), on suppose pour tout n dans N, un = vn+1 − vn . X que un sont de même nature. 1. Montrer que la suite (vn ) et la série 2. Application : Montrer que la série suivante est convergente et calculer sa somme. ∞ X 1 Log 1 − 2 n n=2 . E xercice 2 Sommer les séries suivantes. ∞ X n3 − n + 5 n! n=0 ∞ X (−1)n e−n (πα)n n=0 ; où α > 1, réel donné. E xercice 3 1. De la convergence des séries gences des séries suivantes : X X un et vn à termes réels positifs ; déduire la conver- X √ un v n et X √ un n . (On utilisera l’identité xy ≤ (x2 + y 2 )/2). A-t-on la réciproque ? E xercice 4 Critère Plogarithmique et série de Bertrand : Soit ( un ) une série à termes strictement positifs. ∗ 1.) P On suppose qu’il existe k > 1 tel que : Log (1/un ) ≥ k Log n ∀n ∈ N ; montrer qu’alors ( un ) est convergente. P 2.) On suppose que ∀n ∈ N∗ : Log (1/un ) ≤ Log n, montrer que ( un ) est divergente. 3.) On pose ℓ = lim Log (1/un )/Log n , en déduire que : n→∞ ℓ > 1 =⇒ ( P un ) converge ℓ < 1 =⇒ ( P un ) diverge. 4.) Application : Étudier la série de Bertrand : ∞ X n=2 nα 1 où α et β, sont deux réels donnés. Logβ n 5.) Que peut-on dire si ℓ = 1? Justifier votre réponse. Mr Amroun 1 M r Bouabdaℓℓah S amedi 10 N ovembre 2007 A nnée 2007/2008. E xercice 5 Trouver la nature de la série qui a pour terme général, (k > 0 et α réel, donnés). 1. un = 2n + n3 kn r n2 + sin n 5. un = n5 + cos n kn ch n 4. un = n 2. un = √ α e− n 7. un = Log 10. un = k 2 + nα 1 + nα 8. un = Log n 11. un = n n+1 3. un = ch n + n sh n n + en 6. un = Log −1 1 1+ α n n2 k 1+ 2 +···+ n 9. un = nα α nα + 1 12. un = k n Log5 (n3 + 1) en n! nn 1 1 E xercice 6 Trouver la nature de la série qui a pour terme général, nn 1. n! en 1 3. e − 1 + n 1.4.7 . . . (3n + 1) 2. 3n n! n . E xercice 7 Étudier les séries numériques suivantes : ∞ X (−1)n 1. n(n + 1) n=2 4. ∞ X n=1 √ 2. ∞ X kn n=2 n2 − 1 − n cos nπ n2 ∞ X k∈R n (−1) n 5. 2 +1 n=2 n 3. ∞ X (−1)n n + (−1)n ∞ X (−1)n n − Log n n=2 6. n=2 On donne la formule de Stirling, pour n infiniment grand : n! ∼ nn e−n √ 2nπ. On a aussi pour n infiniment grand, l’équivalent suivant : 1+ 1 1 1 1 + + + · · · + = γ + Log n 2 3 4 n γ est appelée constante d’Euler et vaut à peu près 0,577 ... ... Mr Amroun 2 M r Bouabdaℓℓah