Courbes paramétrées par l`angle polaire

Courbes paramétrées par l'angle polaire
Christian CYRILLE
"Il ne s'agit ni de rire, ni de pleurer mais de comprendre"
Spinoza
1 Dénition
Soit le plan P muni du repère orthonormé (O;~i, ~j). Soit la fonction vectorielle
suivante
F : I ⊂ R 7→ P~
−−−→
→
θ 7→ OM = ρ(θ)−
u
θ
où
−
→
u
θ
θ
cos(θ)
sin(θ)
dans la base (~i, ~j).
L'arc paramétré (I, F~ )s'appelle une courbe paramétrée par l'angle polaire θ.
On peut résumer la donnée de F~ par celle de la fonction ρ : θ 7→ ρ(θ).
O s'appelle le pôle et (Ox) l'axe polaire.
2 Propriétés
2.1
Propriété
−−→
→, on a :
En notant M (ρ, θ) le point M tel que OM = ρ(θ)−
u
θ
M (ρ, θ) = M (−ρ, θ + π)
1
M 0 (−ρ, π − θ) = M 0 (ρ, −θ) est symétrique de M (ρ, θ) par rapport à (Ox)
M ”(−ρ, θ) = M ”(ρ, θ + π) est symétrique de M (ρ, θ) par rapport à 0
M ”0 (−ρ, −θ) = M ”0 (ρ, π − θ) est symétrique de M (ρ, θ) par rapport à (0y)
2.2
Propriété
→ est de classe C ∞ avec
1. L'application θ 7→ −
u
θ
cos(θ)
−
→
uθ
sin(θ)
→) − sin(θ)
d(−
u
θ
→
−
vθ =
cos(θ)
dθ
et
→
d(−
vθ )
− cos(θ)
−
→
= −uθ
− sin(θ)
dθ
→, −
→
2. Le repère mobile (Mθ ; −
u
θ vθ ) est un repère orthonormal direct appelé le
repère polaire.
−−→ −−−−−−−
π→
(n)
3. on démontre par récurrence que ∀n ∈ N on a uθ = u(θ + n )
2
2.3
Propriété
Si θ 7→ ρ(θ) est susamment dérivable alors
→ est susamment dérivable .
la fonction vectorielle F~ : θ 7→ ρ(θ)−
u
θ
−
→
−−0−→
−
→
→+ρ(θ) d(uθ ) qu'on abrège en F~ 0 = ρ0 ~u + ρ~v .
On a donc : F (θ) = (ρ(θ)uθ )0 = ρ0 (θ)−
u
θ
dθ
−−−→
d~v
0
0
De même, F ”(θ) = ρ”~u + ρ ~v + ρ ~v + ρ
d'où F~” = (ρ” − ρ)~u + 2ρ0~v
dθ
2.4
Point stationnaire
Une courbe paramétrée par un angle polaire a un seul point stationnaire ou
singulier : le point O car
F 0~(θ) = ~0 ⇐⇒ ρ0 ~u + ρ~v = ~0 ⇐⇒ ρ(θ) = 0 et ρ0 (θ) = 0
2
Donc étudier les points statiionnaires équivaut ici à étudier les éventuels passages
en 0. les valeurs de θ telles que ρ(θ) = 0 et ρ0 (θ) = 0 s'appellent des valeurs
singulières.
3 Passage en M 6= O
On a alors
−−0−→
F (θ)
ρ0
6= ~0
ρ
−−−→
donc la courbe admet en Mθ une tangente dirigée par F 0 (θ) = ρ0 ~u + ρ~v .
Si l'on note V = (~u\
, F 0 (θ)) on a
1. si ρ0 6= 0 alors tan(V ) =
2. si ρ0 = 0 alors V =
ρ
ρ0
π
2
3
4 Passage en O le seul point stationnaire
Supposons que M (θ0 ) = O . On suppose ∃k ∈ N∗ tel que ρ(k) 6= 0.
−−−→
On prend alors p = Inf {k ∈ N∗ /ρ(k) 6= 0} donc F (p) (θ0 ) = ρ(p) (θ0 )u(θ0 ) est le
premier vecteur dérivé non nul et va donc diriger la tangente en O.
−−−→
−−−→ (p)
−−−→
−−−→
du(θ0 )
(p+1)
(p+1)
Alors F
(θ0 ) = ρ
(θ0 )u(θ0 )+ρ (θ0 )
= ρ(p+1) (θ0 )u(θ0 )+ρ(p) (θ0 )v(θ0 )
dθ
donc
(p)
ρ
ρ(p+1) = (ρ(p) )2 6= 0
det(F (p) , F (p+1) ) = 0
ρ(p) donc la famille est libre donc 2 cas :p pair et q = p + 1 impair ou p impair et
q = p + 1 pair. en fait
ou bien ρ s'annule et ne change pas de signe.
ou bien ρ s'annule et change de signe.
4
5 4 cas de Branches innies
1. ou bien lim ρ = 0 alors la courbe admet O comme point-asymptote.
θ7→∞
2. ou bien lim ρ = +∞ alors la courbe admet une branche en spirale.
θ7→∞
3. ou bien lim ρ = ρ0 alors la courbe admet comme asymptote le cercle de
θ7→∞
centre O et de rayon ρ0
4. ou bien lim ρ = ∞ alors l'arc admet toujours une direction asymptotique
θ7→θ0
−−−→
dirigée par u(θ0 )
(a) ou bien lim ρ sin(θ − θ0 ) = ∞ alors on a une branche parabolique.
θ7→θ0
(b) ou bien lim ρ sin(θ − θ0 ) = h alors on a une asymptote D : Y = h
θ7→θ0
dans le repère (OX, OY ). Pour connaître la position de la courbe par
rapport à cette asymptote, on étudie le signe de ρ sin(θ − θ0 ) − h.
5