Analyse - TD 10

ESSTIN 2A-S3
Année 2015/2016
Analyse - TD 10
Exercice 1 :
En utilisant le théorème du point fixe, montrer que l’équation x = cos(x) admet une unique solution
(dans R) et trouver une valeur approchée de cette solution à 10−2 près.
Exercice 2 :
En utilisant le théorème du point fixe, montrer que le système d’équations

1
th(x) − 15 cos(y)
 x = 10

y = 21 sin(x) −
3
th(y)
10
admet une unique solution (x, y) ∈ R2 et trouver une valeur approchée de cette solution à 10−2
près.
Exercice 3 :
Montrer qu’il existe une unique fonction g ∈ C([0, 1], R) telle que pour tout x ∈ [0, 1],
Z x
g(x) = 1 +
sin(tg(t))dt.
0
Exercice 4 :
En utilisant le théorème du point fixe, montrer que l’équation x = tan(x) admet une unique solution
dans ] 5π
, 7π
[ et trouver une valeur approchée de cette solution à 10−3 près.
2
2
Exercice 5 :
En utilisant le théorème du point fixe, montrer que le système d’équations

1
sin(x) − 51 cos(y)
 x = 10

y = 12 sin(x) −
3
10
sin(y)
admet une unique solution (x, y) ∈ R2 et trouver une valeur approchée de cette solution à 10−2
près.