- Fiche résumé sur les complexes Fichier

Nombres Complexes
Tout ce qu’il faut savoir sur les nombres complexes.
1. Calculer le module et l’argument d’un nombre complexe écrit sous forme algébrique :
2. Donner l’écriture trigonométrique ou l’écriture exponentielle d’un nombre complexe :
3. Donner le conjugué d’un nombre complexe : sous forme algébrique, sous forme exponentielle :
4. Module et argument d’un produit zz 1 et d’un quotient
z
:
z1
5. Résoudre une équation du second degré avec a, b et c réels :
6. Différentes caractérisations du fait que z est réel :
a) avec l’écriture algébrique :
b) avec l’argument :
c) avec le conjugué :
7. Différentes caractérisations du fait que z est imaginaire pur :
a) avec l’écriture algébrique :
b) avec l’argument :
c) avec le conjugué :
8. Calculer une longueur avec des complexes : AB =
ÝÝÑ ÝÝÑ
9. Calculer des angles avec des complexes : pAB; CD q 10. Montrer que deux droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires :
11. Montrer que trois points A, B et C sont alignés :
12. Traduire que ABC est rectangle isocèle en B :
13. Traduire que ABC est équilatéral :
14. Ecriture complexe des transformations :
a) translation :
b) rotation :
c) homothétie :
Fiche issue de http://www.ilemaths.net
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Correction
1. Calculer le module et l’argument d’un nombre complexe écrit sous forme algébrique :
z a? ib (avec a et b deux nombres réels)
|z| a2 b2
et un argument de z est donné par :
cos θ
|az| ?
a
a2
ou
b2
sin θ
|zb| ?
b
a2
b2
2. Donner l’écriture trigonométrique ou l’écriture exponentielle d’un nombre complexe :
z
ρpcos θ
i sin θq
et
z
ρeiθ avec ρ |z|
3. Donner le conjugué d’un nombre complexe : sous forme algébrique, sous forme exponentielle :
z̄
a ib
et
z̄
ρeiθ
4. Module et argument d’un produit zz’ et d’un quotient
|zz’| = |z| |z’|
arg zz 1
arg z
arg z 1 p2π q
et
et
arg
z
:
z1
z |z |
1 1
z
|z |
z
arg z arg z1 p2πq
z1
5. Résoudre une équation du second degré avec a, b et c réels :
Soit l’équation az 2
bz c 0, avec a, b et c réels
∆ b2 4ac
si ∆ ¡ 0, alors l’équation admet deux solutions réelles distinctes : z1
si ∆ 0, alors l’équation admet une solution : z 2ab
si ∆ 0,
?
b i ∆
b ?
∆
2a
alors l’équation admet deux solutions complexes conjuguées : z1
et z2
b
?
∆
2a
?
b i ∆
2a
et z2
2a
6. Différentes caractérisations du fait que z est réel :
a) avec l’écriture algébrique : z = a (donc b = 0) [ou encore z = ρ cos θ]
b) avec l’argument : z P R ðñ pz 0 ou argpz q 0pπ qq
c) avec le conjugué : z z̄
7. Différentes caractérisations du fait que z est imaginaire pur :
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a) avec l’écriture algébrique : z ib ou encore z iρ sin θ
π
b) avec l’argument : pz P iR ðñ pz 0 ou arg z pπ qq
2
c) avec le conjugué : z z̄
8. Calculer une longueur
avec des complexes :
a
AB |zB zA | pxB xA q2 pyB yA q2
9. Calculer des angles avec des complexes :
ÝÝÑ ÝCD
ÝÑq arg zD zC p2πq
pAB;
zB zA
10. Montrer que deux droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires :
Si l’argument du rapport vaut pi/2 (mod pi) (ou si le rapport appartient à i.R).
ÝÝÑ ÝÝÑ
On montre que AB CD 0
11. Montrer que trois points A, B et C sont alignés :
Si l’argument du rapport vaut 0 (mod pi) (ou si le rapport appartient à R).
ÝÝÑ
ÝÝÑ
ÝÝÑ ÝÝÑ
Donc si il existe un réel k tel que AB k BC, alors les vecteurs AB et BC sont colinéaires.
12. Traduire que ABC est rectangle isocèle en B :
ÝÝÑ
ÝÝÑ
ÝÝÑ ÝÝÑ
On montre que BA BC 0 et que ||BA|| ||BC ||
zA zB
ou encore que
ei π2 i dans le cas où ABC est un triangle rectangle direct en B.
zC zB
13. Traduire que ABC est équilatéral :
On montre que |zB zA | |zC zB | |zC zA |
zC zA
ou encore que
ei π3 dans le cas où ABc est un triangle équilatéral direct.
zB zA
14. Ecriture complexe des transformations :
Ñ
a) translation de vecteur Ý
u non nul, d’affixe γ : z 1 z γ
b) rotation de centre Ωpω q et d’angle θ : z 1 ω eiθ pz ω q ou encore z 1 eiθ pz ω q ω
c) homothétie de centre Ωpω q et de rapport k (réel non nul) : z 1 ω k pz ω q ou encore z 1 k pz ω q ω
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