Th`eme : probl`eme avec prise d`initiative L`exercice Le directeur d

Thème : problème avec prise d’initiative
L’exercice
Le directeur d’une salle de spectacle de 8000 places organise un concert. Il souhaite fixer le prix du
billet pour optimiser sa recette. Une étude de marché lui apprend que :
˛ si le prix du billet est de 50 euros, il vend 3000 billets ;
˛ chaque baisse de 0,60 euros sur le prix du billet lui permet de vendre 100 billets supplémentaires.
Déterminer le prix du billet pour que la recette soit maximale.
Solutions :
La recette est égale au prix unitaire d’un billet multiplié par le nombre de billets vendus. Pour une
baisse de k ˆ 0, 60, k P N sur le prix unitaire initial égal à 50 euros, le nombre de billets vendus sera de
3000 ` 100k. Soit une recette :
Rpkq “ p50 ´ 0, 6kqp3000 ` 100kq “ ´60k 2 ` 3200k ` 150000.
Le problème revient donc à déterminer pour quelle valeur de k P N, Rpkq est maximale.
Première solution :
Pour k “ 0 la recette vaut 150000 euros, le maximum de cette recette est donc supérieur (au sens large)
à 15000. Or, pour k ě 60,
Rpkq “ 150000 ` kp3200 ´ 60kq ď 150000 ` 60p3200 ´ 3600q “ 126000.
Le maximum cherché est donc atteint pour une valeur comprise entre 0 et 60. On obtiendra donc cette
valeur en calculant Rpkq, k P v0, 60w, ce qui peut se faire aisément avec une calculatrice (ou a fortiori avec
un ordinateur). On trouve que le maximum est atteint pour k “ 27 et vaut 192660 euros. Il correspond
à la vente de 5700 billets ce qui est acceptable puisque la salle de concert contient 8000 places.
Deuxième solution :
160
7500
80
28900
578000
80
k´
q “ ´60rpk ´ q2 ´
s“
´ 60pk ´ q2 .
3
3
3
9
3
3
80
80
1
La recette est donc maximale lorsque pk ´ q2 est minimal. Mais,
“ 27 ´ et l’entier le plus proche
3
3
3
80
de
est donc 27. D’où le résultat.
3
Troisième solution :
´60k 2 ` 3200k ` 150000 “ ´60pk 2 ´
On trace la courbe représentative de la fonction x ÞÑ ´60x2 ` 3200x ` 150000 avec un grapheur. Une
1
lecture soignée de cette représentation graphique fournit la valeur entière de x qui correspond au maximum de la fonction sur N.
Dans le langage des objectifs généraux du PO de Seconde,
– La première solution utilise le registre numérique/algorithmique (avec un peu d’algèbre quand même
si on veut démontrer que la valeur trouvée est la seule qui a la propriété souhaitée.
– La deuxième solution utilise le registre algébrique. Mais, pour que les élèves la mettent en œuvre il
faudra poser une question qui les aiguille vers la ! décomposition canonique " du trinôme du second
degré.
– La troisième solution utilise le registre graphique.
Objectif général du programme de Seconde
L’objectif de ce programme est de former les élèves à la démarche scientifique sous
toutes ses formes pour les rendre capable de :
‚ modéliser et s’engager dans une activité de recherche ;
‚ conduire un raisonnement, une démonstration ;
‚ pratiquer une activité expérimentale ou algorithmique ;
‚ faire une analyse critique d’un résultat, d’une démarche ;
‚ pratiquer une lecture attentive de l’information (critique, traitement), en
privilégiant les changements de registre (graphique, numérique, algébrique,
géométrique) ;
‚ utiliser les outils logiciels (ordinateur ou calculatrice) adaptés à la résolution d’un
problème ;
‚ communiquer à l’écrit et à l’oral.
Dans la mesure du possible les problèmes posés s’inspirent de situations liées à la
vie courante ouà d’autres disciplines.
Ils doivent pouvoir s’exprimer de façon simple et consise et laisser dans leur
résolution une place à l’autonomie et à l’initiative des élèves. Au niveau d’une
classe de Seconde de détermination, les solutions attendues sont aussi en général
simples et courtes.
Le travail à exposer devant le jury
1- Proposer une résolution de l’exercice par deux méthodes différentes, comme vous l’exposeriez de-
2
vant une classe de Seconde.
Voir ci-dessus.
2- Ciblez précisément les compétences mentionnées dans le programme de Seconde que ces méthodes
de résolution permettent de développer.
– La solution numérique permet de développer une compétence algébrique : opérations et inégalités
et une compétence algorithmique : tester - avec l’aide d’une machine - une suite de quelques
dizaines de valeurs. Cela peut se faire, en écrivant une boucle calculée et en faisant écrire les
valeurs de la cette correspondantes. Ou encore, en indexant une formule sur un tableur.
– La solution purement algébrique permet de développer les compétences relatives au calcul algébrique :
factorisation, identité remarquable et aussi la compétence qui coniste à déterminer l’entier le plus
proche d’un nombre rationnel.
– La solution géométrique consiste à savoir représenter graphiquement une fonction du second degré
et à lire correctement son graphique.
3- Présentez deux ou trois problèmes avec prise d’initiative.
Exercice 1 : voir autre dossier sur le même thème.
Exercice 2 : Pour une classe de Terminale S
On lache un caillou depuis la margelle d’un puits vertical. Entre le moment où le caillou est laché et
celui ou on entend le bruit de son impact dans l’eau, il s’écoule 5 secondes. On suppose que la vitesse
du son dans l’air est égale à 340 m.s´1 et l’accélération de la pesanteur est égale à 9, 81 m.s´2 .
Quelle est la profondeur du puits ?
Solution (rapide) : Il faut connaitre la loi de la chute d’un corps (dans le vide - ici on fera cette
approximation, justifiée par le fait qu’un caillou n’offre que très peu de résitance à l’air). Si on note
par xptq la distance de chute d’un corps qui n’est soumis qu’à son propre poids, à l’instant t, alors
1
xptq “ g t2 ` v0 t ` x0 , où v0 est la vitesse initiale du corps, x0 sa distance à la surface d’impact
2
à l’instant initial et g l’accélération de la pesanteur.
Ici, t0 “ 0, x0 “ h la hauteur cherchée et v0 “ 0, le caillou étant laché sans vitesse initiale.
Alors, le temps écoulé est égal au temps de chute augmenté du temps mis par le son pour remonter
3
jusqu’à la surface. Si vs est la vitesse du son, on a 8 “ tc ` ts , où tc le temps de chute est tel que
d
1 2
2h
h “ gtc ô tc “
2
g
puisque tc est, par définition, positif.
h
On a aussi ts “ , d’où
vs
d
2h
h
` .
g
vs
5“
La hauteur h est donc solution d’une équation du second degré. Avec les valeurs numériques fournies,
on trouve h » 107, 6 mètres.
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