Abstract representation theory and the cotangent complex formalism

Abstract representation theory and the cotangent
complex formalism
Yonatan Harpaz∗1
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Département de Mathématiques et Applications (DMA) – CNRS : UMR8553, École normale
supérieure [ENS] - Paris – 45 rue d’Ulm, 75015 Paris, France
Résumé
Abstract:
Given a commutative algebra A over a field k and a representation V of A, one may form a
new algebra whose elements are pairs (a,v) with a in A and v in V, and whose multiplication
rule is given by (a,v)(b,u) = (ab,au+bv). This algebra is known as the square-zero extension of A by V, and carries a natural map to A. One may then show that the formation
of square-zero extensions induces an equivalence between representations of A and abelian
group objects in the category of algebras augmented over A. This abstract approach suggests that if we have a general category C and an object X in C, then we might define a
representation of X to be an abelian group object in the category of objects equipped with
a map to X. For example, when C is the category of associative algebras this reproduces the
notion of an A-bimodule. This point of view is possibly of limited interest in the case of ordinary categories, but exhibits surprising depth when one passes to higher category theory,
linking together such seemingly unrelated notions as the cotangent complex, Hochschild homology, and parametrized spectra, and yielding applications to the classification of homology
theories, deformation theory and obstruction theory. In this talk we will attempt to give a
broad overview of this area, focusing on conceptual framework and examples. If time permits
we will describe some work in progress with Matan Prasma and Joost Nuiten concerning a
model categorical approach to the topic.
Resumé:
Etant donnée une algèbre commutative A sur un corps k, et une représentation V de A, on
peut former une nouvelle algèbre dont les éléments sont des paires (a, v) avec a dans A et v
dans V, et dont la règle de multiplication est donnée par (a, v) (b, u) = (ab, au + bv). Cette
algèbre est connue comme l’extension carré nul de A par V, et porte une flèche naturelle à
A. On peut alors montrer que la formation d’extensions de carré nul induit une équivalence
entre les représentations de A et les objets de groupe abéliens dans la catégorie des
algèbres augmentée sur A. Cette approche abstraite suggère que si nous avons une catégorie
C générale et un objet X dans C, alors nous pourrions définir une représentation de X
comme un objet de groupe abélien dans la catégorie des objets munie d’une felche à X. Par
exemple, lorsque C est la catégorie des algèbres associative cela reproduit la notion d’un
A-bimodule. Ce point de vue est peut-être d’un intérêt limité dans le cas des catégories
ordinaires, mais porte de la profondeur surprenante lorsque on se passe à la théorie de
catégories supérieures, reliant des notions comme le complexe cotangent, l’homologie
d’Hochschild, et les spectres paramétrée, et leur applications à la classification des théories
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Intervenant
sciencesconf.org:smf2016:102542
d’homologie, à la théorie de la déformation et à la théorie de l’obstruction. Dans cet exposé,
nous allons tenter de donner un exposé général de ce domaine, en mettant l’accent sur le
cadre conceptuel et des exemples. Si le temps le permet, nous allons décrire certains travaux
en cours avec Matan Prasma et Joost Nuiten concernant une approche à ce suject qui se
base sur des catégories de modèle.