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Cours fondamental Master 2, 2013/14, 1er semestre Johannes Huebschmann : Initiation à la géométrie algébrique La géométrie algébrique remonte aux Grècs. C’est une des branches classiques en mathématiques pures; elle étudie les ensembles décrits par des équations polynômiales. Parmi ceux-ci, les plus simples sont les courbes planes, une courbe plane étant décrite par une équation polynômiale de la forme f (x, y) = 0 (courbe affine), où f (x, y) est un polynôme de degré d; ajouter les points à l’infini (courbe projective) et travailler sur un corps algébriquement clos comme les nombres complexes simplifie la théorie. Par exemple une courbe projective complexe plane de degré d lisse est homéomorphe à une surface réelle orientée compacte de genre g = (d − 1)(d − 2)/2 (tore avec g trous). En particulier cela signifie qu’une cubique lisse, telle que celle décrite par l’équation x3 + y 3 = 1, regardée sur les nombres complexes, est homéomorphe à un tore. La géométrie algébrique est une branche mathématique très active et en forte interaction avec d’autres domaines, y compris la physique et même la musicologie. Dans la pratique, on s’en sert, par exemple, pour simplifier des calculs sur ordinateur. Programme 1. Un peu de géométrie algébrique classique: La concoı̈de de Nicomède, le théorème de Pappus, le théorème de l’hexagone de Pascal 2. Discussion élémentaire des courbes 3. Variétés affines 4. Variétés projectives 5. Morphismes 6. Morphismes rationnels 7. Singularités et variétés non singulières 8. Éclatements 9. Courbes non singulières 10. Multiplicité d’intersection, théorème de Bézout 11. Éventuellement: Remarques sur les surfaces References [1] M. F. Atiyah and I. G. Macdonald. Introduction to commutative algebra. Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont., 1969. [2] N. Bourbaki. Éléments de mathématique. Fasc. XXXI. Algèbre commutative. Chapitre 7: Diviseurs. Actualités Scientifiques et Industrielles, No. 1314. Hermann, Paris, 1965. [3] Phillip A. Griffiths. Introduction to algebraic curves, volume 76 of Translations of Mathematical Monographs. American Mathematical Society, Providence, RI, 1989. Translated from the Chinese by Kuniko Weltin. [4] Robin Hartshorne. Algebraic Geometry. Springer-Verlag, New York, 1977. Graduate Texts in Mathematics, No. 52. [5] F. Kirwan. Cohomology of quotients in symplectic and algebraic geometry. Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1984. [6] Hideyuki Matsumura. Commutative algebra, volume 56 of Mathematics Lecture Note Series. Benjamin/Cummings Publishing Co., Inc., Reading, Mass., second edition, 1980. [7] David Mumford. The red book of varieties and schemes, volume 1358 of Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, expanded edition, 1999. Includes the Michigan lectures (1974) on curves and their Jacobians, With contributions by Enrico Arbarello. [8] Daniel Perrin. Géométrie algébrique. Savoirs Actuels. [Current Scholarship]. InterEditions, Paris, 1995. Une introduction. [An introduction]. [9] I. R. Shafarevich. Basic algebraic geometry. Springer-Verlag, Berlin, study edition, 1977. Translated from the Russian by K. A. Hirsch, Revised printing of Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Vol. 213, 1974. [10] B. L. van der Waerden. Algebra. Vol. I. Springer-Verlag, New York, 1991. Based in part on lectures by E. Artin and E. Noether, Translated from the seventh German edition by Fred Blum and John R. Schulenberger. [11] B. L. van der Waerden. Algebra. Vol. II. Springer-Verlag, New York, 1991. Based in part on lectures by E. Artin and E. Noether, Translated from the fifth German edition by John R. Schulenberger. 2