LES RACINES CARREES

LES RACINES CARREES
I ) Racine carrée d’un nombre positif
Définition : Soit a un nombre positif : la racine carrée de a est le nombre positif dont le carré est a .
On le note : a .
Le symbole .... est appelé radical.
Exemples :
9 = 3 car 3² = 9
25 = 5 car 5² = 25
9
3
32 9
= car   = ;
4
2
2 4
2 ≈ 1,414.... . Ce nombre ne peut pas s’écrire autrement : ce n’est pas un nombre décimal, ni une
fraction. (on dit qu’il est irrationnel).
c) Ecrire a n’a de sens que si a est positif ou nul ; de plus cela représente un nombre positif.
De plus, on a les propriétés suivantes (mises en évidence dans l’activité) :
( a )² = a
et a² = a si a > 0
On dit que la racine carrée " défait " le carré
II ) Rangement de racines carrées
a) Propriété : Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés et dans le même
ordre que leurs racines carrées.
Cela signifie que :
si a et b sont positifs, alors :
si a < b , alors a² < b² ;
si a < b , alors a < b
Les racines de deux nombres sont rangées dans le même ordre que les nombres.
exemple :
5 > 3 donc 25 > 9 et 5 > 3
b) Application : on veut comparer 11 et 2 3 .
( 11 )² = 11
et
(2 3 )² = 4 × 3 = 12
12 > 11 donc : 2 3 > 11 .
III ) Propriétés
a) Racine carrée d’un produit :
Quels que soient les nombres positifs a et b , on a :
exemples :
9×4 = 9× 4
=3×2
=6
a×b = a × b
10 × 5 = 10 × 5
= 50
ATTENTION :
propriétés…..
a+b ≠ a + b
a – b ≠ a – b , en général. Ne pas inventer de
et
Par exemple, 16 + 9 ≠ 25
b) Racine carrée d’un quotient :
Quels que soient les nombres positifs a et b (b ≠ 0) , on a :
exemples :
16
4
=
25
5
50
=
2
a
=
b
a
b
50
2
= 25 = 5
c) exercices d’application directe de ces deux formules.
IV ) Calculs sur les racines carrées
a) Faire sortir/entrer un entier du radical :
12 = 4 × 3 = 2 3 . On dit que l’on a fait sortir 4 du radical.
3 5 = 3 × 5 = 9 × 5 = 45 . On dit que l’on a fait entrer 3 sous le radical.
b) Sommes algébriques de racines carrées
On veut calculer 8 + 32 – 18 et donner le résultat sous la forme a b où b est le plus petit entier
positif possible.( on dit que l’on a réduit l’écriture en racine)
8 + 32 – 18 = 4×2 + 16×2 – 9×2
=2 2+4 2–3 2
= 2( 2 + 4 – 3) = 3 2
autre exemple :
2 12 – 4 75 + 3 27 = 2 4×3 – 4 25×3 + 3 9×3
= 4 3 – 20 3 + 9 3
= -7 3
c) Développer des produits
exemples : ( 1 + 2 )( 3 + 2 ) = 3 + 2 + 6 + 2 et on s’arrête.
• ( 2 3 – 2 )(3 3 – 4 2 ) = 18 – 8 6 – 3 6 + 8 = 26 – 11 6 .3
• ( 5 + 2 6 )² = 29 + 4 30
V ) Résolution de l’équation x² = a
On considère l’équation
: x² = a :
- Si a < 0 , l’équation n’a pas de solution ( un carré n’étant jamais négatif ! ),
- Si a = 0 , alors x = 0 (une seule solution),
- Si a > 0 , l’équation admet deux solutions opposées : a et - a .
exemples : a) x² = 4 alors il y a deux solutions : 4 et - 4 , soit 2 et -2.
b) x² + 1 = 0 alors x² = -1 donc pas de solution.
25
25
25
5 -5
c) 4x² = 25 alors x² =
donc 2 solutions :
et , soit et .
4
4
4
2
2
VI ) Ecrire un quotient avec un dénominateur entier
1
1+ 2
et B =
5
3
Il faut écrire A et B avec un dénominateur “ sans racine carrée ”.
On donne par exemple : A =
A=
B=
1× 5
5
=
5
5× 5
(1 + 2) × 3
3+ 6
=
3
3× 3
VII ) Quelques applications en géométrie
a) Théorème de Pythagore : Soit ABC un triangle rectangle en A, alors on a :
AB² + AC² = BC²
Exemple : RST est rectangle en S , RS = 4 cm et ST = 5 cm. Calculer RT
SR² + ST² = RT²
RT² = 16 + 25 = 41 donc RT = 41 ≈ 6,4 cm.
b) Soit ABCD un carré d’aire 27 cm². Quel est son périmètre ?
Soit x la longueur inconnue du côté du carré : on a x² = 27 donc x = 27 = 3 3
Le périmètre est donc égal à : p = 4 × 3 3 = 12 3 ≈ 20,78 cm.
c) Longueur d’une diagonale d’un carré de côté c :
ABC est rectangle en C, donc d’après le théorème de Pythagore :
AC² = AB² + BC²
= c² + c² = 2c² donc : AC = 2c² = c 2
On a donc :
DIAGONALE = COTE × 2