Chapitre n°9 : « Racines carrées »

3ème3
2009-2010
Chapitre n°9 : « Racines carrées »
I. Activités
La notion de « racine carrée » a déjà été abordée dans le chapitre sur le théorème de
Pythagore. En fin de calcul, on avait par exemple :
AB2 =36
AB=  36
AB=6 .
On a cherché le nombre dont le carré est égal à 36 .
De même :
 49=7 car 7×7=49 ;  81=9 car 9×9=81 ;  10 000=100 ;  1=1 ;  0=0
Mais ce n'est pas toujours aussi facile...
 10 ne se calcule pas de tête ; on peut juste donner un encadrement entre deux entiers
consécutifs. Puisque 10 est compris entre 3×3=9 et 4×4=16 , on a 3  104
La calculatrice donne 3,16227766 qui est une valeur approchée !
De même :
7 528 ; 31100032 ; 4  205 .
II. Racine carrée d'un nombre positif
Définition
a représente un nombre positif.
La racine carrée de a est le nombre qui mis au carré (ou multiplié par lui-même) donne a .
On le note  a
Exemples
 3600=60 car 60 2=3600
 0,01=0,1 car 0,1×0,1=0,01
25 5
5 5 5×5 25 .
= car × =
=
81 9
9 9 9×9 81
22 4
2
0,2 =
=
=0,04 .
10 100
 0,04=0,2 car

Remarques
Le symbole
 ... s'appelle « radical ».
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Conséquence importante de la définition
a représente toujours un nombre positif. On a :
2
 a =a ou  a×  a=a
On a traduit mathématiquement « La racine carrée de a est le nombre dont le carré est égal à
a ».
A connaître par cœur
0 2=0 ; 12 =1 ; 2 2=4 ; 32 =9 ; 42 =16 ; 52 =25 ; 6 2=36 ; 72 =49 ; 82 =64 ; 92 =81 ;
102 =100 ; 112 =121 ; 122 =144 ; 132 =169 ; 142 =196 ; 152 =225
Remarque
Attention :
 0,09=0,3 ;  0,36=0,6 ; etc.
Faire la différence entre : « Carré, racine carrée, double et moitié »
a
carré de
a
double de
a
a
2a
2
a
2
a
moitié de
racine carrée
a
de
a
9
81
18
4,5
3
4
16
8
2
2
1
1
2
0,5
1
2
4
4
1
 2≈1,41
36
1296
72
18
6
III. Racines carrées et opérations
Activité
On remarque que :
1 = 1
1 1
= et
•
4 2
 4 2 ; la racine carrée semble « compatible » avec la division.
•  9  16=34=7 et  916=  25=5 ; on obtient un résultat différent.
•  36×  144=6×12=72 et  36×144=  5184=72 ; la racine carrée semble
« compatible » avec la multiplication aussi.
• Etc.

Propriété
a et b représentent deux nombres positifs. On a :
a a
=
;  a×b=  a× b
b b

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Exemples
 12,5× 2= 12,5×2=  25=5
 50=  25×2=  25× 2=5×  2=5  2
2 = 2 = 1 = 1
 50 50 25 5
2
2
2
=  =
121  121 11

 
Remarque
Le symbole × disparaît devant le symbole radical
 . Par exemple : 7 – 3×  2=7 – 3  2 .
Carrés parfaits
Ce sont les résultats des nombres entiers au carré : 225 ; 144 ; 49 ; 10 000 ...
IV. Réduire une expression
1/ Exemples de base
• A= – 3  28  5 – 6  2 – 9  5
Il faut faire le lien avec le calcul littéral. En effet, on peut voir les choses ainsi :
A' =– 3 x8 y – 6 x – 9 y
A' =– 9 x – 1 y
A' =– 9 x – y
De la même façon :
A= – 9  2 – 1  5
A= – 9  2 –  5
• A1=7  3 – 5  11 – 12  318  11
A1= – 5  313  11
• B=  25 – 3  2 – 8  2
B=  2×5  2×– 3  2 – 8  2
B=5  2 – 3×  2× 2 – 8  2
B=5  2 – 3×2 – 8  2
B= – 6 – 3  2
B 1 = 3 4 –  35  3
B 1 = 3×4 –  3× 35  3
B 1 =– 34  35  3
B 1 =– 39  3
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• C= – 8  53  52
C= – 24  5 – 16152  5 (où
C= – 1 – 22  5
 5×3  5=3  5×  5=3×5=15 )
2/ Mettre sous la forme a  b
Mettre D=– 6  72 sous la forme a  b signifie que b doit être le plus petit possible.
Comment faire ???
• On décompose 72 : il y a plusieurs possibilités !
72=6×12 ; 72=8×9 ; 72=2×36
• Laquelle choisir ?
Les deux dernières font apparaître les carrés parfaits 9 et 36 . On va choisir
72=2×36 afin d'obtenir un b le plus petit possible.
• Calculons :
D=– 6  72
D=– 6  36×2
D=– 6  36×  2 (on applique  a×b=  a× b )
D=– 6×6  2
D=– 36  2
• On a donc a=– 36 et b=2 .
Exemples
 12= 4×3=  4×  3=2  3
 98= 49×2=  49  2=7  2
 150=  25×6= 25  6=5  6
 108= 4×27=  4×  27=2  27=2  9×3=2×3×  3=6  3 (il y a plus simple !)
5  96=5  16×6=5×4  6=20  6
Cas général
• E=3  82  50 –  128
On décompose chaque nombre situé sous un radical en faisant apparaître le plus grand
carré parfait.
• E=3  4×22  25×2 –  64×2
On utilise la formule  a×b=  a× b
• E=3  4× 22  25×  2 –  64×  2
On calcule les racines carrés des carrés parfaits
• E=3×2  22×5  2 – 8  2
E=6  210  2 – 8  2
On calcule les termes de « même nature »
• E=8  2
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V. Équation
Exemple
Trouve les solutions de x 2=36 .
On trouve facilement que pour x=6 , on a 6 2=36 ; donc 6 est une solution.
2
Il y a une autre solution moins visible, c'est – 6 . En effet : – 6 = – 6× – 6=36 .
Justification :
x 2=36
2
x – 36=36 – 36
x 2 – 36=0
2
2
(on reconnaît a – b =aba – b )
x 2 – 6 2=0
 x6 x – 6=0 (on a une équation produit)
Si un produit de facteurs est nul, l'un de ces deux facteurs est égal à zéro.
• Soit x6=0
x=– 6
• Soit x – 6=0
x=6
On retrouve les deux solutions.
Propriété
a représente un nombre positif.
Les solutions de l'équation x 2=a sont
 a et –  a .
Exemples
Il y a deux types d'exemples.
• Soit a est un carré parfait : les solutions de x 2=144 sont 12 et – 12 .
• Soit a n'est pas un carré parfait : les solutions de x 2=13 sont
VI. Remplacer dans une expression
Exemple 1
On considère A= – 2 x 27 x – 8 . Calcule A pour x= 2 .
2
A= – 2  2 7  2 – 8
A= – 2×27  2 – 8
A= – 47  2 – 8
A= – 127  2
 13 et –  13
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VII. Rappels sur les puissances (exemples)
Exemple 1
A=2 – 5×4 3×85
A=2 – 5×2 2 3×23 5
–5
6
15
A=2 ×2 ×2
A=2 – 5615
A=216
Règles de calcul
a n×a p=a n p
an
an
n– p
n p
=a
ou encore – p =a
p
a
a
n p
np
a  =a
Exemple 2
49×10 3×6×10 – 8
B=
14×10 – 2
49×6 103×10 – 8
B=
×
14
10 – 2
7×7×2×3 10 – 5
B=
× –2
2×7
10
–3
B=21×10
B=0,021 (écriture décimale)
B=2,1×101 ×10 – 3 (on remplace 21 par 2,1×101 )
B=2,1×101 – 3
B=2,1×10 – 2 (écriture scientifique)
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