Optimisation numérique

Optimisation numérique
Inéquation d'Euler
Daniele Di Pietro
A.A. 2013-2014
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Fonctions numériques sur un intervalle fermé
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Inéquation d'Euler, cas convexe
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Inéquation d'Euler, cas général
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Fonctions numériques sur un intervalle fermé
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Inéquation d'Euler, cas convexe
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Inéquation d'Euler, cas général
Une remarque élémentaire I
Soit J : [a, b] → R une fonction dérivable sur [a, b] ⊂ R
Soit x un minimiseur local de J sur [a, b], à savoir
∃δ > 0, ∀y ∈ [a, b], |x − y| < δ =⇒ J(x) ≤ J(y)
On a trois cas de gure
a
(a)
a
b
x ∈ (a, b), J 0 (x) = 0
(b)
b
x = a, J 0 (x) ≥ 0
a
(c)
b
x = b, J 0 (x) ≤ 0
Figure: Minimiseur d'une fonction numérique dérivable sur un intervalle
Une remarque élémentaire II
En eet, si x ∈ [a, b) pour h > 0 susamment petit x + h ∈ [a, b] et
J(x) ≤ J(x + h) = J(x) + hJ 0 (x) + o(h)
En divisant par h et en faisant tendre h → 0+ ,
o(h)
J(x + h) − J(x)
= lim+ J 0 (x) +
= J 0 (x)
0 ≤ lim+
h
h
h→0
h→0
Si x = b pour h > 0 susamment petit x − h ∈ [a, b] et
J(x) ≤ J(x − h) = J(x) − hJ 0 (x) + o(h)
En divisant par h et en faisant tendre h → 0+ ,
J(x + h) − J(x)
o(h)
0 ≤ lim+
= lim+ −J 0 (x) +
= −J 0 (x)
h
h
h→0
h→0
Une remarque élémentaire III
On peut formuler ces conditions de manière plus synthétique :
x minimiseur local de J sur [a, b] =⇒ ∀y ∈ [a, b], J 0 (x)(y − x) ≥ 0
Si x = a on a forcement y ≥ x et J 0 (x) ≥ 0
Si x = b on a forcement y ≤ x et J 0 (x) ≤ 0
Enn, si x ∈ (a, b) on peut avoir soit (y − x) > 0 soit (y − x) < 0 et
donc l'inégalité est vériée uniquement si J 0 (x) = 0
Par la suite nous allons généraliser cette remarque à des
fonctionnelles plus complexes
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Fonctions numériques sur un intervalle fermé
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Inéquation d'Euler, cas convexe
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Inéquation d'Euler, cas général
Inéquation d'Euler, cas convexe I
Par la suite on note V un EHR et K ⊂ V
On considère le problème de minimisation sous contrainte
inf J(v)
v∈K
Un première généralisation des résultats ci-dessus est simple à
obtenir si K est un convexe fermé non vide
Un point clé pour généraliser ultérieurement ce résultat consistera à
identier des directions admissibles
Inéquation d'Euler, cas convexe II
Théorème (Inéquation d'Euler, cas convexe)
Soit K un convexe fermé non vide, J continue sur un ouvert contenant
K et diérentiable en u. Alors, si u est un minimiseur local de J sur K ,
(∇J(u), v − u)V = hJ 0 (u), v − uiV 0 ,V ≥ 0 ∀v ∈ K.
(IE)
Si u vérie (IE) et J convexe, alors u est minimiseur global de J sur K .
Inéquation d'Euler, cas convexe III
Pour tout v ∈ K et h ∈ (0, 1], u + h(v − u) ∈ K par convexité de K
De plus, pour h susamment petit,
0 ≤ J(u + h(v − u)) − J(u) = hhJ 0 (u), v − uiV 0 ,V + o(h)
=⇒ hJ 0 (u), v − uiV 0 ,V +
o(h)
≥0
h
L'inégalité (IE) suit en faisant tendre h → 0+
Si J convexe sur K , nous avons prouvé (2e séance) que
∀v ∈ K,
J(v) ≥ J(u) + hJ 0 (u), v − uiV 0 ,V ,
ce qui montre que u est minimiseur global car hJ 0 (u), v − uiV 0 ,V ≥ 0
Inéquation d'Euler, cas convexe IV
Dans certains cas (IE) se réduit à l'équation d'Euler
(EE)
J 0 (u) = 0
Si K = V , v − u décrit V lorsque v décrit V car, pour obtenir un
élément générique w ∈ V il sut de prendre
v =w+u
La même conclusion s'impose si u est un point intérieur de K
Inéquation d'Euler, cas convexe V
Exemple (K sous-espace ane fermé de V )
Soit V de dimension nie et K ⊂ V sous-espace ane fermé de la forme
K = u0 + P,
P = {v ∈ V | (ai , v)V = 0 ∀i ∈ J1, mK} ,
avec (ai )1≤i≤m famille libre de vecteurs de V . Prouver, à partir de (IE),
la caractérisation suivante d'un minimiseur u ∈ K :
∃λ1 , . . . , λm ∈ R,
∇J(u) +
m
X
i=1
λi ai = 0.
Inéquation d'Euler, cas convexe VI
L'inégalité (IE) établit que
hJ 0 (u), v − uiV 0 ,V ≥ 0 ∀v ∈ K
Comme u ∈ K , u = u0 + ũ avec ũ ∈ P
Lorsque v = u0 + ṽ décrit K , w = v − u = ṽ − ũ décrit P à savoir,
hJ 0 (u), wiV 0 ,V ≥ 0 ∀w ∈ P
Comme P est un sous-espace vectoriel, w ∈ P =⇒ −w ∈ P , et
hJ 0 (u), wiV 0 ,V = 0 ∀w ∈ P,
Inéquation d'Euler, cas convexe VII
Par dénition, cela signie que
∇J(u) ∈ P ⊥ = span ((ai )1≤i≤m )
Comme (ai )1≤i≤m est une base de P ⊥ , on a donc
∇J(u) = −
m
X
i=1
λi ai =⇒ ∇J(u) +
m
X
λi ai = 0,
i=1
avec (−λi )1≤i≤m coordonnées de J 0 (u) dans la base (ai )1≤i≤m
Les réels λi , 1 ≤ i ≤ m sont appelés multiplicateurs de Lagrange
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Fonctions numériques sur un intervalle fermé
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Inéquation d'Euler, cas convexe
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Inéquation d'Euler, cas général
Inéquation d'Euler, cas général I
Si K est convexe, toute direction v reste innitésimalement dans K
Si ce n'est pas le cas il faudra dénir l'ensemble
K(u) = {directions v ∈ K qui restent innitésimalement dans K}
Ces directions sont dites admissibles
Inéquation d'Euler, cas général II
Dénition (Directions admissibles)
Soit V un EHR et K ⊂ V . Pour tout v ∈ K on dénit le cône des
directions admissibles
K(v) :=
w ∈ V | ∃(vn ) ∈ K N , ∃(n ) ∈ (R∗+ )N ,
limn→+∞ vn = v, limn→+∞ n = 0, limn→+∞
vn −v
n
=w
En termes imagés, on peut dire que K(v) est l'ensemble des vecteurs qui
sont tangents à une courbe contenue dans K et passant par v
Inéquation d'Euler, cas général III
De manière équivalent, w ∈ K(v) ssi il existent (wn ) ∈ V N et
(n ) ∈ (R∗+ )N t.q.
lim wn = w,
n→+∞
lim n = 0,
n→+∞
v + n wn ∈ K
Pour s'en convaincre, poser wn := (vn − v)/n
Cela donne une façon d'approcher v en restant dans K
On observe, pour conclure, que
w ∈ K(v) =⇒ λw ∈ K(v) ∀λ ≥ 0,
car il sut de remplaçer n ← n /λ
∀n ∈ N
Inéquation d'Euler, cas général IV
Théorème (Inéquation d'Euler, cas général)
Soit V un EHR, K ⊂ V , u minimiseur local de J sur K et J
diérentiable en u. On a
(∇J(u), v)V = hJ 0 (u), viV 0 ,V ≥ 0 ∀v ∈ K(u).