tableaux de signes 09-10

TABLEAUX DE SIGNES ET INÉQUATIONS
I. INÉQUATION PRODUIT
Exercice 1 Résoudre dans  les inéquations ci-dessous. Contrôler les réponses sur une calculatrice graphique.
( 5 x + 2 ) ( 2 x – 7 ) ≥ 0 ; ( 3 x + 2 ) ( x – 6 ) ( 4 – x ) ≥ 0 ; – 5 x ( 4 x ² – 9 ) > 0 ; (x + 1) 2 < (2 x – 5) 2
3
4
Développer mène ici à chaque fois à une impasse en classe de seconde.
Mise en œuvre pour l’inéquation Une stratégie de résolution
L’inéquation (x + 1) 2 < (2 x – 5) ² est successivement équivalente à
1 On se ramène à une comparaison à 0.
c’est à dire que l’on écrit l’inéquation, par
exemple, sous la forme f (x) < 0.
(x + 1) 2 – (2 x – 5) 2 < 0 ;
2 On factorise ensuite f (x).
(x + 1 + 2 x – 5) – ( x + 1 – 2 x + 5) < 0 ;
( 3 x – 4) ( – x +6 ) < 0
3
On étudie le signe de f (x) à l’aide d’un
tableau de signes.
Étudions le signe du produit ( 3 x – 4) ( – x +6 )
à l’aide d’un tableau de signes.
Pour chaque facteur de la forme ax + b
on détermine les valeurs charnières.
Recherche des valeurs charnières :
3 x – 4 = 0 équivaut à x = 4
3
– x +6 = 0 équivaut à x = 6
On réalise le tableau de signes, en prenant
bien soin de ranger les valeurs charnières
dans l’ordre croissant, à l’aide du cours
sur le signe de ax + b.
4
On donne l’ensemble des solutions.
5
On teste éventuellement la réponse.
III.
INÉQUATION QUOTIENT
x
– 4/3
signe de 3 x – 4
–
signe de – x +6
+
signe de ( 3 x – 4) ( – x +6 )
–
0
0
+
6
+
+
+
0
–
+
0
–
L’ensemble des solutions est S = ] –  ; 4 [ ∪ ] 6 ; +  [
3
0 ∈ S, en effet on a bien 1 ² < ( – 5 ) ²
2 ∉ S, en effet on n’a pas 3 ² < ( – 1 ) ²
Exercice 2 Résoudre dans  les inéquations ci-dessous. Contrôler les réponses sur une calculatrice graphique.
5–7x≥0 ; 5x–3 ≥0 ; 2x–3£4 ; ; 2x–3≥ 4
; 2x–3≥ –4
5–x 3
4
2x+3
4
2x+3
5x+2
4–9x²
Une stratégie de résolution :
1) On cherche les valeurs interdites, c’est à dire les valeurs de x pour lesquelles les dénominateurs sont nuls.
2) On se ramène à une comparaison à 0.
3) On réduit au même dénominateur en prenant le plus petit dénominateur commun.
Ne pas oublier qu’un trait de fraction joue le rôle d’une parenthèse.
4) On écrit le numérateur et le dénominateur sous la forme a x + b ou sous la forme d’un produit de facteurs du type a x + b.
5) On étudie le signe du quotient obtenu à l’aide d’un tableau de signes.
Pour chaque facteur de la forme ax + b on détermine les valeurs charnières.
On réalise le tableau de signes, en prenant bien soin de ranger les valeurs charnières dans l’ordre croissant, à l’aide du cours
sur le signe de ax + b.
On indique les conditions d’existence à l’aide d’une double barre.
6) On donne l’ensemble des solutions S.
7) On teste éventuellement la réponse.
On prend pour cela une valeur de x (souvent 0) qui n’est pas une valeur charnière.
On regarde si cette valeur est ou non dans l’ensemble S. On remplace x par la valeur choisie dans l’inéquation initiale et on
observe si elle est effectivement ou non une solution de l’inéquation.