Cours 3°6
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Cours 3°6
3ème6 2010-2011 Chapitre 3 : « Inéquations du 1er degré » I. Inéquation 1/ Symboles à connaître • • • • est le symbole « supérieur à » ou « strictement supérieur à » est le symbole « inférieur à » ou « strictement inférieur à » est le symbole « supérieur ou égal » est le symbole « inférieur ou égal » Exemples x7 représente l'ensemble des nombres qui sont supérieurs à 7 sans pour autant être égaux à 7. – 5 x représente les nombres qui sont supérieurs ou bien égal à – 5 . 2/ Inéquations Description On considère l'inéquation x8– 72 x . Elle est composée : • de nombres, d'opérations ; • d'une inconnue x ; • d'un membre de gauche x8 , d'un membre de droite – 72 x . Objectif L'objectif est de déterminer toutes les valeurs de x telles que le membre de gauche soit inférieur ou égal au membre de droite. 3/ Tester une inéquation Exemple/Méthode Avec la même équation x8 – 72 x …. • Est-ce que x=10 est une solution ? x8=108=18 – 72 x=– 72×10=– 720=13 18 n'est pas inférieur ou égal à 13 , donc x=10 n'est pas une solution. 3ème6 2010-2011 • Idem x=15 ? x8=158=23 – 72 x=– 72×15=– 730=23 2323 donc x=15 est une solution. 4/ Inéquations « simples » Résoudre mentalement les inéquations suivantes : x27 x – 5– 3 – x25 x5 x2 x– 3 2 x6 x3 – 2 x6 x– 3 5/ Représentation des solutions sur une droite graduée x13 x2 Pour représenter les nombres inférieurs ou égal à 2 , on trace une droite graduée et on repasse en rouge la partie correspondante. x57 x2 Dans ce cas aussi, on obtient la même partie repassée en rouge. Dans les deux, on obtient une même représentation des solutions. Cela ne suffit pas pour distinguer x2 de x2 . Pour faire la différence, on introduit un crochet placé au niveau de 2 : • [ « crochet droite » • ] « crochet gauche » Donc x2 donne la représentation suivante : On oriente le crochet vers la partie rouge pour indiquer que 2 fait partie des solutions. 3ème6 2010-2011 Et pour x2 , cela donne : On oriente le crochet dans la direction opposée au trait rouge pour indiquer que 2 ne fait pas partie des solutions. Autres exemples Représente par une droite graduée les solutions des inéquations suivantes • x– 2 • x1,5 • – 1,5 x • – 3 x • – 1 x 6/ Résolution d'inéquations dans le cas général Exemple/Activité On va résoudre l'inéquation suivante : 7 x – 52 x3 7 x – 5 – 2 x 2 x3 – 2 x « On retranche – 2 x » 5 x – 53 5 x – 5535 « On ajoute 5 » 5 x8 5x 8 5 5 « On divise par 5 » 8 x 5 Exemples de changement d'ordre Parfois, il y a un petit changement à faire... 3ème6 2010-2011 – 2 x6 –2x 6 –2 –2 x– 3 2 x10 2 x 10 2 2 x5 – 3 x – 15 – 3 x – 15 –3 –3 x5 7– 3 x 7 –3x –3 – 3 7 x –3 2 x – 6 2 x –6 2 2 x– 3 – 82 x –8 2x 2 2 – 4 x Il faut regarder le coefficient de x . S'il est positif, l'ordre n'est pas modifié. Par contre, s'il est négatif, on va modifier l'ordre dans l'inéquation. Propriété fondamentale des inéquations Lorsqu'on divise chaque membre d'une inéquation par un nombre négatif, il faut inverser l'ordre : ce qui était plus grand devient plus petit et inversement. Application Cette propriété permet de finir correctement la résolution d'une inéquation. – 5 x2– 5 7 x3 x7 – 5 x2 – 2– 5 – 2 7 x – 3 x3 x 7 – 3 x – 5 x – 7 4 x7 Le coefficient de l'inconnue est 4 . Puisqu'il Le coefficient de x est – 5 . Puisqu'il est négatif, on divise par – 5 et on change l'ordre est positif, on divise par 4 sans modifier de l'inéquation. l'ordre. –5 x –7 4x 7 –5 –5 4 4 7 7 x x 5 4 3ème6 2010-2011 Exemple (type Brevet : n°58 p81) 4 x2 3 1/ a. On considère D= . Calculer D pour x= . 5 4 3 4× 2 4 32 5 D= = = =1 5 5 5 3 3 b. Puisque 1 , x= est une solution de l'inéquation. 4 4 2/ Résoudre l'inéquation 4 x2 3 5 4 x2 15 5 5 On peut multiplier l'inéquation par 5 sans changer les solutions car c'est un nombre positif. 4 x2 15 ×5 ×5 5 5 4 x215 4 x2 – 215 – 2 4 x13 4 x 13 4 4 13 x 4 A savoir refaire 5 x –2 – 4 7 5 x –2 ×7 – 4×7 7 5 x – 2– 28 5 x – 22 – 282 5 x– 26 5 x – 26 5 5 26 x– 5 3ème6 2010-2011 II. Résolution de problèmes : mise en inéquation. Méthode sur un exemple Les étapes sont les mêmes que pour une mise en équation : • choix de l'inconnue ; • mise en inéquation ; • résolution de l'inéquation ; • conclusion qui répond au problème. Dans un magasin, on propose deux formules : • abonné : 60 euros par an et 5,50 euros par DVD ; • libre : 8 euros par DVD. A partir de combien de DVD la formule abonné est plus avantageuse que la formule libre ? • x représente le nombre de DVD par an. • abonné : 605,5 x ; libre : 8 x ; inéquation : 605,5 x8 x . • résolution : 605,5 x8 x 605,5 x – 5,5 x8 x – 5,5 x 602,5 x 60 2,5 x 2,5 2,5 24 x • Conclusion : la formule abonné est plus avantageuse à partir de 25 DVD ! Pour lundi 8 novembre • Apprendre le cours • n°83 page 83 Pour mardi 9 novembre Contrôle 1h sur le chapitre 3 et chapitre 1 (équations et inéquations)