corrigé

M. Haguet
Fiche de révisions pour le brevet des collèges
Inéquations
Tester une Solution
Exercice 1:
a) -5 est-il solution de l'inéquation 3x + 9 ⩽ -1 b) 4 est-il solution de l'inéquation 5 – 2x > 2
c) 3 est-il solution de l'inéquation 2x – 10 < -1 – x
3 × (-5) + 9 = -15 + 9
= -6
⩽ -1
donc -5 est une solution de l'inéquation
2 × 3 – 10 = 6 – 10
= -4
5–2×4=5–8
= -3
<2
donc 4 n'est pas une solution de l'inéquation
-1 – 3 = -4
pour x = 3, on a 2x – 10 = -1 – x
donc 3 n'est pas une solution de l'inéquation
Inéquations ↔ Représentations graphiques
Exercice 2:
a) Dessinez la représentation graphique des inéquations ci-dessous :
x<4
0
x ⩾ -6
4
-6
x > 10
0
0
10
b) Traduire les représentations graphiques suivantes par une inégalité :
0
5
0
-4
x<5
0
-3
x > -4
x ⩽ -3
x ⩽ -7
-7
x<0
x ⩾0
0
0
0
(l'ensemble des solutions est repassé en rouge)
0
6
-8
x>6
0
0
x<8
x ⩾0
Résoudre des inéquations
Exercice 3:
Résoudre les inéquations ci-dessous et donnez une représentation graphique des solutions
3x – 9 > 12
-2x + 7 ⩽ 5
3 + 4x < 5 – x
14 – 3x ⩾ x + 1
3x – 9 + 9 > 12 + 9
3x > 21
3x
21
>
3
3
x>7
-2x + 7 – 7 ⩽ 5 – 7
-2x ⩽ -2
−2 x −2
⩾
***
−2
−2
2
x 2 1
3 + 4x – 3 < 5 – x – 3
4x < -x + 2
4x + x < -x + 2 + x
5x < 2
5x
2
<
5
5
x < 0,4
14 – 3x – 14 ⩾ x + 1 – 14
-3x ⩾ x – 13
-3x – x ⩾ x – 13 – x
-4x ⩾ -13
−4 x
−13
⩽
***
−4
−4
x ⩽ 3,25
0
7
0
1
0
0
0,4
3,25
*** = attention on change le sens de l'inégalité quand on divise les 2 membres par un nombre négatif
-4x ⩽ 5 – 3x
x+5>7– x
4x – 2 < 2x + 6
15 – x ⩾ -2x – 3
-4x + 3x ⩽ 5 – 3x + 3x
-1x ⩽ 5
−1 x
5
⩾
***
−1 −1
x ⩾ -5
x+5+x>7–x+x
5 + 2x > 7
5 + 2x – 5 > 7 – 5
2x > 2
2x
2
>
2
2
x>1
4x – 2 + 2 < 2x + 6 + 2
4x < 2x + 8
4x – 2x < 2x + 8 – 2x
2x < 8
2x
8
<
2
2
x<4
15 – x – 15 ⩾ -2x – 3 – 15
-x ⩾ -2x – 18
-x + 2x ⩾ -2x – 18 + 2x
x ⩾ -18
-5
0
0
1
0
4
-18
0
Résolution de problèmes
Exercice 4:
Une société de location de DVD propose à ses clients 2 formules de prix :
Formule abonné : un abonnement de 35 € à l'année, puis 1,50 € par DVD loué.
Formule liberté: 2 € par DVD loué
A partir de combien de DVD loués est-il plus intéressant de choisir la formule abonné ?
Soit x = le nombre de DVD loués par an
alors le prix avec la formule abonné pour x DVD loués est : 35 + 1,50 x
et le prix avec la formule liberté pour x DVD loués est : 2 x
la formule abonné est plus intéressante quand 35 + 1,50 x < 2x
35 + 1,50 x – 1,50x < 2x – 1,50 x
35 < 0,50 x
35 0,50 x
<
0,50 0,50
70 < x
x > 70
conclusion :
La formule abonné est plus
intéressante quand on loue plus
de 70 DVD par an
Exercice 5:
Arthur est un supporteur du club de football de Lille.
Pou la nouvelle saison il hésite entre :
◦ Prendre une carte d'abonnement coûtant 120 € et lui permettant d'assister gratuitement à tous les matchs de championnat.
◦ Payer simplement sa place 9 €, à chaque fois qu'il va assister à un match.
A partir de combien de matchs est-il plus intéressant de choisir l'une ou l'autre des formules ?
Soit x = le nombre de matchs vus dans une année
alors le prix avec la carte d'abonnement est : 120 €
et le prix avec sans abonnement est : 9 x
la carte abonnement devient intéressante quand 120 ⩽ 9 x
120 9 x
⩽
9
9
40
⩽ x
3
la carte d'abonnement devient intéressante quand le nombre de matchs vu est supérieur ou égal à
or
40
≈ 13,33
3
40
3
donc il faut assister à 14 matchs dans l'année pour que la carte d'abonnement soit rentable.
Exercice 6:
2 écureuils, Tic et Tac, ont fait leur réserve de noisettes pour manger lorsque l'hiver arrive.
Tic a un stock de 720 noisettes, et en mange 5 par jours durant l'hiver, alors que Tac n'a
économisé que 580 noisettes, mais n'en mange que 3 par jours durant l'hiver.
Au bout de combien de jours la réserve de noisettes de Tac sera plus grande que celle de tic ?
soit x = le nombre de jours écoulés.
au bout de x jours écoulés , la réserve de Tic contiendra 720 – 5x noisettes et la réserve de Tac contiendra 580 – 3x noisettes
On veut donc que :
580 – 3x > 720 – 5x
580 – 3x > 720 – 5x
580 – 3x – 580 > 720 – 5x – 580
-3x > 140 – 5x
-3x + 5x > 140 – 5x + 5x
2x > 140
2x
140
>
2
2
x > 70
conclusion :
La réserve de noisttes de Tac
sera plus grande que celle de
Tic au bout de 70 jours
Annales du brevet des collèges
Exercice 7: partie d'un problème sur les fonctions (Guyane septembre 2006)
Un cinéma propose 2 tarifs :
◦ Tarif 1 : 7,50 €la place.
◦ Tarif 2 : 5,25 € la place sur présentation d'une carte d'abonnement de 27 € valable 1 an.
1. Remplir le tableau suivant :
Nombre de places achetées en un an
4
20
36
Prix avec le tarif 1
30
150
270
Prix avec le tarif 2
48
132
216
2. On note x le nombre de places achetées au cours d'une l'année.
On note P1 le prix payé avec le tarif 1 et P2 le prix payé avec le tarif 2.
P1 (x) = 7,5 x et
Exprimez P1 et P2 en fonction de x.
P2 (x) = 5,25 x + 27
3.a. En dépensant 52,50 € avec le tarif 1, combien de places
a t-on achetées ?
Justifiez la réponse par un calcul.
b. En dépensant 84,75 € avec le tarif 2, combien de places
a t-on achetées ?
Justifiez la réponse par un calcul.
7,5 x = 52,50
7,5 x
52,50
=
7,5
7,5
x=7
avec 52,50 €, on peut acheter 7 places avec le tarif 1.
5,25 x + 27 = 84,75
5,25x + 27 – 27 = 84,75 – 27
5,25x = 57,75
5,25 x
57,75
=
5,25
5,25
x = 11
avec 84,75 €, on peut acheter 11 places avec le tarif 2.
7. Pour combien de séances le tarif 1 est-il plus avantageux que la tarif 2 ?
le tarif 1 est moins cher que la tarif 2 quand
7,5x – 5,25x < 5,25x + 27 – 5,25x
2x < 27
2x
27
<
2
2
x < 13,5
7,5 x < 5,25 x + 27
conclusion :
le tarif 1 est plus avantageux si
on assiste à moins de 14 séances
par an
Exercice 8: (Polynésie septembre 2005)
On considère l'inéquation : 2x – 5 ⩽
3
– 11x
2
1. Le nombre 0 est-il solution de cette inéquation?
3
3
2 × 0 – 5 = 0 – 5 = -5
– 11 × 0 =
= 1,5
2
2
-5 < 1,5 donc 0 est solution de l'inéquation
2. Le nombre 1 est-il solution de cette inéquation?
3
2 × 1 – 5 = 2 – 5 = -3
– 11 × 1 = 1,5 – 11 = -9,5
2
-3 > -9,5 donc 1 n'est pas solution de l'inéquation
3.a. résoudre l'inéquation 2x – 5 ⩽ 3/2 – 11x
3
2x – 5 ⩽
– 11x
2
2x – 5 ⩽ 1,5 – 11x
2x – 5 + 5 ⩽ 1,5 – 11x + 5
2x ⩽ -11x + 6,5
2x + 11x ⩽ -11x + 6,5 + 11x
13x ⩽ 6,5
13 x
6,5
⩽
13
13
x ⩽ 0,5
b. Représenter les solutions sur une droite graduée.
0
0,5
Exercice 9: (Amérique du nord Juin 2006)
1.a. 60 est-il solution de l'inéquation 2,5x – 75 > 76 ?
2,5 × 60 – 75 = 150 – 75 = 75 et 75 < 76
donc 60 n'est pas solution de l'inéquation
b. Résoudre l'inéquation et représenter les solutions sue un axe.
hachurer la partie de l'axe qui ne correspond pas aux solutions.
2,5x – 75 > 76
2,5x – 75 + 75 > 76 + 75
2,5x > 151
2,5 x
151
>
2,5
2,5
x > 60,4
0
60,4
2. Pendant la période estivale, un marchand de glaces à remarqué qu'il dépensait 75 € par semaine pour faire en moyenne 150 glaces.
Sachant qu'une glace est vendue 2,50 €, combien doit-il vendre de glaces, au minimum, dans la semaine pour avoir un bénéfice
supérieur à 76 € ?
Soit x le nombre de glaces vendues par semaine
le bénéfice est alors de 2,50 x – 75
On veut donc 2,50x – 75 > 76
d’après le 1, cette inéquation a pour solutions : x > 60,4
Le marchand doit donc vendre au minimum 61 glaces