(Chap 6 triangle milieux et parallèle)

TRIANGLES
MILIEUX et PARALLELES
I Droites des milieux :
0) Démonstration :
Un triangle ABC a été tracé (ses mesures sont sans
importance).
Sur celui-ci, place les points I et J milieux respectifs
des côtés [AB] et [AC], et trace la droite (IJ) .
Quelles remarques peux-tu faire ?
…………(IJ) // (BC) et IJ = ½ BC …………….Nous allons le prouver.
Construis le point M symétrique du point I par rapport à J. Tu obtiens les quadrilatères AMCI et IMCB.
1) Quelle est la nature de AMCI ? ……#……………………………Prouvons le :
On a les données suivantes : J milieu de [AC] et J milieu de [MI]
Or…si les diagonales d’un quadrilatère se coupent en leur milieu alors c’est un #……………………….
…………………………………………………………………………………………………………………
Donc : AMCI est un parallélogramme.
2) Quelle est la nature de IMCB ? ……#……………………………Prouvons le :
On a les données suivantes : AMCI est un parallélogramme.
Or…un # est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux…………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………
.…si un quad est un # alors ses côtés opposés sont de même longueurs……………………………….
Donc : AI = MC et (AI) // (MC).
(AI) // (MC) et puisque I milieu de [AB], I ∈ AB donc (IB) // (MC)
AI = MC et puisque I milieu de [AB] , AI = IB donc IB = MC
On a les données suivantes : (IB) // (MC) et IB = MC.
Or…si un quad a 2 côtés opp de même longueur et parallèle alors c’est un #………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………
Donc : IMCB est un parallélogramme.
3) Conclusion :
On a les données suivantes : IMCB est un parallélogramme.
Or…un # est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux…………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………
Donc : (IM) // (BC) et de plus puisque J milieu de [IM] , J ∈ (IM), donc (IJ) // (BC).
:
Dans un triangle si une droite passe par les milieux de 2 côtés alors elle est parallèle au support du 3ème côté
A
…I milieu de [AB] et J milieu de [AC]………
I
alors d’après la propriété, on peut conclure
J
…(IJ) // (BC)…………..
B
C
Il reste à démontrer que IJ = 1 BC
2
On a par hypothèse : IMCB est un parallélogramme.
Or.…si un quad est un # alors ses côtés opposés sont de même longueurs……………………………….
Donc …IM = BC…………………….
On a …J milieu de IM… et ……IJ = ½ IM……. donc IJ = 1 BC.
2
On pourrait aussi démontrer que IJ =
1
BC à l’aide des propriétés des parallélogrammes.
2
Dans un triangle, si un segment joint les milieux de 2 côtés alors sa longueur est égale à la moitié de la longueur
du 3ème côté
A
…I milieu de [AB] et J milieu de [AC]………
I
alors d’après la propriété, on peut conclure
J
…IJ =
B
1
BC…………..
2
A
C
4) Exercice type 1 :
2
a) Démontre que les droites (IJ) et (BC) sont parallèles.
b) Calcule la longueur du segment [IJ].
3
I
2
Hypothèses ou données : ABC triangle, I milieu de [AB] et J milieu de [AC]
B
J
3
5
C
a) On a : I milieu de [AB] et J milieu de [AC]
Or : Dans un triangle si une droite passe par les milieux de 2 côtés alors elle est parallèle au support du 3ème
côté
Donc : les droites (IJ) et (BC) sont parallèles.
b) On a : I milieu de [AB] et J milieu de [AC]
Or : Dans un triangle, si un segment joint les milieux de 2 côtés alors sa longueur est égale à la moitié de la
longueur du 3ème côté
1
Donc : IJ =
BC et IJ = 2,5
2
II Milieux et parallèles :
1) Démonstration :
On a tracé un triangle ABC.
Place le milieu I du segment [AB].
Trace la droite (D) passant par I et parallèle à (BC).
Elle coupe le segment [AC] en K.
Que peux-tu dire du point K ?
……K est le milieu de [AC]……………
On pourrait aussi le démontrer à l’aide des propriétés des parallélogrammes et de la droite des milieux
Pour le démontrer, tu vas construire le point J milieu de [BC].
Tu vas d’abord démontrer que IKCJ est un parallélogramme.
On a par hypothèse : (IK) // (BC) et J ∈ [BC] car J est le milieu de [BC] par suite (IK) // (JC).
On a par hypothèse : ..…I milieu de AB et J milieu de BC……………………………………………..….…..
Or dans un triangle si une droite passe par les milieux de 2 côtés alors elle est parallèle au support du 3ème côté
Donc…IJ // AC…………………………………………………………………………
et puisque K ∈ (AC) on a donc…IJ // KC………………………………………….
On a démontré que : ……. IJ // KC et ……(IK) // (JC).……………………………………….…..
Or…un # est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux…………………………….
Donc IKCJ est un parallélogramme.
On a démonté que : IKCJ est un parallélogramme.
Or.…si un quad est un # alors ses côtés opposés sont de même longueurs……………………………….
Donc IJ …=…… KC.
On a par hypothèse : ABC est un triangle, I milieu de [AB] et J milieu de [BC].
Or dans un triangle, si un segment joint les milieux de 2 côtés alors sa longueur est égale à la moitié de la longueur du 3ème côté
Donc IJ …= 1/2…… AC.
On a démonté que : IJ = KC et IJ = ½ AC
donc KC = ½ AC et puisque K ∈ [AC] alors K est le milieu de [AC].
:
Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d'
un côté et est parallèle au support d'
un autre côté alors elle
ème
coupe le 3 côté en son milieu
A
…… I milieu [AB] et (IK) // (BC)…………
alors d’après la propriété, on peut conclure
I
K milieu de [AC].
B
C
1) Exercice type 2 :
R est le milieu de [AM] et les droites (d) et (BC) sont parallèles.
a) Démontre que S est le milieu du segment [AB]
b) Démontre que T est le milieu du segment [AC]
c) Démontre que ST =
1
BC
2
Hypothèses : R est le milieu de [AM] et (d) // (BC) et S ∈ (AB) , S ∈ (d) , T ∈ (AC) , T ∈ (d)
a) On a : R est le milieu de [AM] et (d) // (BC) et S ∈ (AB) , S ∈ (d)
Or : Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d'
un côté et est parallèle au support d'
un autre côté
alors elle coupe le 3ème côté en son milieu
Donc : S est le milieu du segment [AB]
b) On a : R est le milieu de [AM] et (d) // (BC) et T ∈ (AC) , T ∈ (d)
Or : Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d'
un côté et est parallèle au support d'
un autre côté
ème
alors elle coupe le 3 côté en son milieu
Donc : T est le milieu du segment [AC]
c) On a : S est le milieu du segment [AB] et T est le milieu du segment [AC]
Or : Dans un triangle, si un segment joint les milieux de 2 côtés alors sa longueur est égale à la moitié de la
longueur du 3ème côté
1
Donc : ST = BC
2