démonstration du théorème de la droite des milieux

D ÉMONSTRATION DU THÉORÈME DE L A DROITE DES MILIEUX
Dans le triangle ABC ci-contre :
A
• le point I est le milieu du côté [AB],
• le point J est le milieu du côté [AC].
On veut démontrer, prouver que la droite (IJ) est pa-
I
J
rallèle à la droite (BC). Pour cela, placer sur la figure le
point K, symétrique du point I par rapport au point J,
C
B
et répondre aux questions suivantes :
1. a) Compléter le schéma de démonstration suivant :
b) Compléter le texte suivant :
D’une part, comme K est le symétrique de I par rapport à J, on peut affirmer que . . . est le milieu
de [. . . . . . ].
D’autre part, d’après l’énoncé, . . . est également le milieu de [. . . . . . ].
Le quadrilatère AKCI a donc ses diagonales ([. . . . . . ] et [. . . . . . ]) qui se coupent en leur milieu (. . . ).
Le quadrilatère AKCI est donc un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Or, dans un parallélogramme, les côtés opposés sont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
et de même . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nous pouvons donc affirmer que (KC) est parallèle à (. . . . . . ) et que KC= . . . . . . .
2. a) Compléter le schéma de démonstration suivant :
4ème
Activité CH 2
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b) Compléter le texte suivant :
On sait que I est le milieu de [AB], et donc on peut affirmer que AI= . . . . . .
Par ailleurs, on a vu dans la question 1 que AI= . . . . . .
Par conséquent, on a . . . . . . = . . . . . .
De plus on a vu dans la question précédente que (. . . . . .) est parallèle à (. . . . . .).
Comme les points A, I et B sont alignés, cela revient à dire que les droites (. . . . . .) et . . . . . .) sont
parallèles.
Pour résumer, on a KC=IB d’une part, et (KC) est parallèle à (IB) d’autre part ; autrement dit, le
quadrilatère IBCK a deux côtés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . et de même . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . :
IBCK est donc un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Terminons cette démonstration :
Puisque IBCK est un parallélogramme, ses côtés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
et de la même . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
En particulier, on a IK= . . . . . ., et de plus les droites (IK) et (. . . . . . ) sont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IK . . . . . .
Or, J étant le milieu de [IK], on sait que IJ =
=
.
2
2
Enfin, les points I, J et K étant alignés, on peut affirmer que (IJ) est parallèle à (. . . . . . ).
Nous avons réussi à démontrer que,
dans le triangle ABC, en prenant I le milieu de [AB] et J celui de [AC] :
• la droite (IJ) est parallèle à (BC),
BC
• et que de plus IJ =
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