Existence de triangles Question Réponse

Question du jeudi #67
Culture Math
Existence de triangles
Question
À quelle condition sur trois réels strictement positifs x 6 y 6 z peut-on avoir un triangle
dont les côtés ont des longueurs valant xn , yn et zn , et ce pour tout entier n > 1 ?
Réponse
Un exemple évident est le cas où x = y = z. En effet, on a alors xn = yn = zn pour tout
n > 1, et il existe bien des triangles équilatéraux de toutes les tailles.
Triangles équilatéraux de côtés (1,4)n , pour n variant entre 1 et 5.
√
2
et z = 1, il existe certes un triangle (isocèle
En revanche, si l’on prend x = y =
2
rectangle) de côtés x, y et z, mais on voit que quand n sera grand, zn vaudra toujours 1 alors
que xn = yn tendra vers 0. Au bout d’un moment, il sera donc impossible de construire un
triangle de côtés xn , yn et zn .
y
z
zn
yn
xn = 1
x=1
On peut en fait répondre une fois pour toutes à la question : à quelle condition trois
nombres réels strictement positifs ξ 6 η 6 ζ sont-ils les longueurs d’un triangle ? La condition
nécessaire et suffisante est que ζ 6 ξ + η. En effet, cette inégalité n’est autre que l’inégalité
triangulaire dans ce cas. Réciproquement, si ξ 6 η 6 ζ vérifient ζ 6 ξ + η, on peut placer
deux points dans le plan A et B à distance ζ l’un de l’autre et tracer les cercles de centre
1
A et de rayon ξ et de centre B et de rayon η. La condition ζ 6 ξ + η montre alors que
ces cercles s’intersectent, et si C est un des points d’intersection, les longueurs des côtés du
triangle ABC sont bien AC = ξ, BC = η et AC = ζ. Dans le cas-limite ζ = ξ + η, le triangle
est d’ailleurs plat.
ξ
η
ζ
Ainsi, on s’est ramené à la question suivante :
À quelle condition sur les trois nombres 0 < x 6 y 6 z a-t-on
∀n > 1,
zn 6 xn + yn ?
Nous allons montrer que la réponse à la question est qu’il faut et il suffit que y = z,
c’est-à-dire que les deux plus grands nombres soient égaux.
En effet, si y = z, on a automatiquement, pour tout n > 1, zn = yn 6 xn + yn .
Réciproquement, supposons y < z. On a alors x/z < 1 et y/z < 1. On en déduit que
x n y n
+
−−−−→ 0.
n→+∞
z
z
x n0 y n0
En particulier, il existe n0 tel que
+
< 1. Pour ce n0 , on a donc
z
z
xn0 + yn0 < zn0 ,
et il n’existe pas de triangle de côtés xn0 , yn0 et zn0 .
2