Correc ction Test t Géométr rie dans l `espace

TS2
2
Ven
ndredi 23 jaanvier 20155
Correcction Testt Géométrrie dans l’espace
Exeercice 1:
ABC
CDEFGH eest un cube. M est le miilieu du seggment [HG]. R est le pooint tel que
p
point
tel quee
et S est le
. Construire la sectionn du
c
cube
par le plan
p (RSM) en la justiffiant.
(SM) est la droite
d
d’inteersection dee (RSM) aveec la
fa (CDHG
face
G). (RSM) va
v donc coupper la face
(A
ABFE) paraallèle à (CD
DHG) par unne droite
p
parallèle
à (S
SM) passannt par R.
P
Pour
obtenirr un autre pooint de l’inttersection dee
(R
RSM) avec la face (BC
CGF) il sufffit de prendrre
l’’intersectionn de la droitte que l’on vient de traacer
e de (FB), ces
et
c deux drooites étant coplanaires.
c
Exeercice 2 :
ABC
CD est un téétraèdre. E est un pointt du segmeent [AB] auttre que A ett B. Construuire la sectioon du tétraèèdre
parr le plan passsant par E et
e parallèle au plan (AC
CD) en la
justifiant.
Sacchant qu’unn plan couppe deux planns parallèless suivant dees
drooites parallèèles, pour troouver la secction du tétrraèdre il sufffit
de construire les
l droites parallèles
p
à (AC)
(
et (AD
D) passant par
p
E.
Exeercice 3 :
ABC
CD est un téétraèdre. I, J et K sont les milieux respectifs de
d [AB], [B
BD] et [JC].
E ett F sont défiinis par
et
.
Méthode 1 :
D
le triang
gle ABD , (AJ)
(
et (DI)) sont des
1. Dans
médianess et le point E est le cenntre de gravvité. Donc E
appartiennt à la médiaane (DI). Onn a alors I, E et D ,alig
gnés.
D,
Dans le trriangle CBD
.
On voit que
q
. Ces deux
d
vecteuurs sont
colinéairees et les poiints D, F et K sont doncc alignés.
nt
2. Lees droites (IIE) et (FK) se coupent en D et son
sécantes donc
d
coplannaires. Par suite
s
I, E, F et K sont
coplanairres.
Métthode 2 :
; ;
;
est un repèère de l’esppace car les 3 vecteurs ne
n sont pas coplanairess.
1.
2. Coordoonnées de to
ous les pointts de la figuure :
A(0 ;0 ;1)
; B(0 ;0 ;0) C(1 ;0 ;00) D(0 ;1 ;00) I(0 ;0 ;0,5) J(0 ;0,5
5 ;0) K(0,5
5 ;0,25 ;0) F(
F ;0 ;0)
Il faut ensuite
e
calcuuler les cooordonnées duu point E sii vous ne poouvez pas lees lire facileement:
2
3
2
3
1
1
3
3
1 1
0; ;
3 3
3. Essayonns de déterm
miner deux réels a et b tels que
.
2
0,5
3
1
0,25
3
1
0,5
0,,5
6
Donc
et
. Ces valeeurs vérifien
nt bien la trooisième équuation. Doncc les vecteuurs ,
sont copplanaires et par suite lees points I, E,
E F et K soont coplanaiires.
Exercice 4 :
1. Dans le repère 0; ; ; de l’espace on donne les points
de représentation paramétrique avec s réel:
1
4
2 2
2; 3; 5 et
D’après son équation paramétrique un vecteur directeur de la droite (d) est
2; 2; 4 . On voit clairement que
appartient-il à (d) ?
0; 1; 1 et la droite (d)
1; 1; 2 et
2 et (AB) et (d) sont donc parallèles. Par ailleurs B
0 1
1 4
1
2 2
On voit qu’il n’existe pas de valeur de s qui vérifient ces 3 équations donc B n’appartient pas à (d) et (AB) et
(d) sont donc strictement parallèles.
2. Dans le repère 0; ; ;
de l’espace on donne les points
2; 3; 5 et
1; 8; 8 .
1; 5; 3 . L’équation paramétrique de (EF) est donc
2
3 5
5 3
Pour déterminer l’intersection de (EF) et (d) il faut donc résoudre le système :
2
1
3 5
4
5 3
2 2
Les deux premières équations nous permettent de trouver par addition
1 6
5 . Donc
1. Par suite
2.
Il faut regarder si ces valeurs vérifient la troisième équation ce qui est le cas. Ainsi les 2 droites sont
sécantes et les coordonnées du point K sont :
2
3
3 5
2
5 3
2
K(3 ;2 ;2)