Propriétés de Thalès

Propriétés de Thalès
Propriété directe
Conditions
d'application
Objectif
Conclusion obtenue
Exemple d'exercice
On a deux triangles et deux droites parallèles.
Propriété réciproque
On a établi des alignements dans un certain
ordre et l'égalité de deux rapports de côtés.
On veut, en général, calculer la longueur d'un On veut savoir si deux droites sont parallèles
côté d'un triangle.
( on va démontrer qu'elles le sont ).
Les côtés du premier triangle sont
proportionnels aux côtés du deuxième.
Les droites sont parallèles.
Propriété contraposée
( raisonnement par l'absurde )
On a établi des alignements et démontré que
deux rapports de côtés n'étaient pas égaux.
On veut savoir si deux droites sont parallèles
( on va démontrer qu'elles ne le sont pas ).
Les droites ne sont pas parallèles.
Données de l'énoncé
Données de l'énoncé
Données de l'énoncé
ABC est un triangle ; M ∈ (AB) ; N ∈ (AC) ;
(MN) // (BC) ; AB = 12 cm ; BC = 24 cm ;
CA = 30 cm ; AM = 10 cm .
ABC est un triangle ; M ∈ [AB] ; N ∈ [AC] ; ABC est un triangle ; M ∈ [AB] ; N ∈ [AC] ;
AB = 6 cm ; AC = 15 cm ; AM = 4 cm :
AB = 7 cm ; AC = 10 cm ; AM = 5 cm :
AN = 10 cm .
AN = 8 cm .
Question posée
Question posée
Question posée
Calculer la valeur exacte de AN.
Démontrer que (MN) et (BC) sont parallèles.
(MN) et (BC) sont-elles parallèles ?
Calcul de AN
(MN) // (BC)
(MN) // (BC) ?
Dans les triangles ABC et AMN , on sait que : Dans les triangles ABC et AMN , on sait que Dans les triangles ABC et AMN , on sait que
* les points A, B, M sont alignés,
les points A, B, M sont alignés dans le même les points A, B, M sont alignés dans le même
* les points A, C, N sont alignés,
ordre que les points A, C, N.
ordre que les points A, C, N.
* les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
AN 8 56
AN 10 2
AM 4 2
= =
Or : AM = 5 = 50 et
= =
= =
Or :
et
AC 10 70
AC 15 3
On utilise la propriété de Thalès :
AB 6 3
AB 7 70
Rédaction de la
solution
AM
AN
MN
=
=
AB
AC
BC
Donc :
10
AN
=
12
30
Donc :
AM
AN
=
AB
AC
On peut donc utiliser la propriété réciproque
de Thalès et en déduire que :
les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
D'où : AN = 25 cm .
Donc :
AM AN
≠
AB AC
Si les droites (MN) et (BC) étaient parallèles,
alors on pourrait utiliser la propriété de
Thalès, et on aurait l'égalité des deux rapports
précédents.
Comme cette égalité n'est pas réalisée, on en
déduit donc que : (MN) // (BC) .