Algèbre Linéaire Appliquée - Bioinformatique théorique, Fouille de

Transcription

ALINÉA
Algèbre Linéaire Appliquée pour les
nuls informaticiens
L2S4 Informatique
Valérie1 et Pierre2 Collet
1
Professeur agrégé de Mathématiques
2
Professeur des Universités
Laboratoire des Sciences de l’Image,
de l’Informatique et de la Télédétection
Chef de l'Equipe Fouille de Données et
Bioinformatique Théorique
Plan du cours
Rappel sur les espaces vectoriels et les matrices
Matrices en informatique
Comatrices, déterminants, systèmes linéaires
Polynôme caractéristique, valeurs propres, ss-espace
propre
  Diagonalisation
  Matrices de covariance ?
  ...
 
 
 
 
Pierre Collet : Algèbre Linéaire Appliquée
2
Notion de Corps (nécessaire pour un e.v.)
  Un corps commutatif est un ensemble avec 2 lois
internes (appelées addition et multiplication).
  L'addition est associative, commutative, a un élément
neutre, et tout élement doit avoir un symétrique.
  La multiplication doit aussi être associative,
commutative (car c'est un corps commutatif), avec un
élément neutre, et tout élément doit avoir un
symétrique (sauf 0, car 1/0 n'est pas défini).
  La multiplication doit être distributive par rapport à
l'addition.
  Exemples de corps : Q, R ou C,...
  N est-il un corps ?
N n'est pas un corps car un entier n'a pas d'inverse.
3
Rappel sur les Espaces Vectoriels
  Un Espace Vectoriel (e.v.) est un ensemble avec 2 lois :
  1 loi interne
  1 loi externe faisant intervenir un élément d'un corps
commutatif « à nombres » appelé « scalaire ».
  Un vecteur est un élément d'un espace vectoriel.
4
Loi interne (notée +)
(la loi est « interne » car un vecteur de l'e.v. + un
autre vecteur de l'e.v. donne un vecteur de l'e.v.)
La loi interne d'un e.v. doit être :
 
Associative : (v+u)+w = v+(u+w)
 
Commutative : v+u = u+v
 
Elt neutre (noté 0 du fait que la loi est notée +).
 
Tout elt a un symétrique (ici appelé « opposé » du
fait que la loi est « + »).
5
Loi externe (notée *)
(la loi est externe, car elle fait intervenir un élement
extérieur à l'e.v. (appelé scalaire) qui doit appartenir à
un corps contenant des nombres (cf. 1er transparent)).
  Loi externe : scalaire * vecteur donne vecteur.
  Le scalaire doit être un réel, un rationnel ou un
complexe, car le scalaire doit être dans un corps qui
contient des nombres.
  La loi externe doit :
  posséder un élement neutre (noté 1 du fait que la
loi est notée *),
  être associative,
  être distributive par rapport à la loi interne +.
6
Exercice
  Notation : on dit qu'un vectoriel est « sur X » si X est
le corps auquel appartient le scalaire nécessaire à la
loi externe. On note un vectoriel « sur X » un X-e.v.
  Les vectoriels R, Q et C sont-ils des vectoriels sur R,
sur Q ou sur C ?
  Exemple : R est -il un R-e.v. ? (les vecteurs sont des
réels, et on prend les scalaires sur R).
C R Q
  R est-il un C-e.v. ?
C est-il un
  Remplissez le tableau suivant :
R est-il un
Q est-il un
7
Exemples d'e.v. de base (autres que C R Q)
  Ensemble des suites (qu'on n'utilisera pas).
  Ensemble des fonctions F(R,R) est-il un R-e.v. ?
  Ensemble des matrices (donc une matrice est un
vecteur ! car l'ensemble des matrices est un espace
vectoriel, et on appelle vecteur tout élément d'un espace
vectoriel).
  Ensemble des n-uplets (Rn).
  Ensemble des polynômes.
  ...
8
Espace et sous-espace vectoriel
  Un s.e.v. est un e.v. inclus dans un autre e.v.
  Un s.e.v. doit être « stable » pour les deux lois :
Ex : Dans R3, une droite (passant par 0) est un s.e.v. :
  Un vecteur de cette droite est un vecteur directeur de la
droite.
  Un s.e.v. est « stable » par les deux lois : la somme de
2 vecteurs directeurs est un vecteur directeur, et la
multiplication d'un vecteur directeur par un scalaire est
un vecteur directeur.
9
Rappel sur les matrices
  Tableau de nombres, décomposé en lignes et colonnes
  Les matheux notent les matrices par une majuscule A,
dont les coefficients sont notés avec des minuscules
(ai,j, avec i ligne, j colonne).
  Une matrice carrée a autant de lignes que de colonnes,
donc il suffit de donner un seul des 2 nombres :
matrice de taille 3 = matrice carrée 3x3
  Une matrice diagonale a des 0 partout sauf sur sa
diagonale
  Attention : dans une matrice de mathématicien, il n'y a
qu'une seule diagonale !!!
10
Rappel sur les matrices (2)‫‏‬
  Une matrice triangulaire a des 0 partout dans un des
triangles de la matrice (diagonale non incluse). On
parle de matrice triangulaire inférieure ou supérieure.
  La matrice nulle est une matrice ne contenant que des
0 (c'est l'élement neutre pour l'addition).
  La transposée d'une matrice est une autre matrice dont
les lignes sont les colonnes de la matrice d'origine, et
les colonnes sont les lignes de la matrice d'origine.
123
A=
456
14
TA = 2 5
36
11
Rappel sur les matrices (3)
  Attention : pour les matrices, le mot « symétrique » a
deux sens :
 
 
 
Le symétrique d'une matrice est la matrice inverse de
cette matrice (au sens où la matrice multipliée par son
inverse = la matrice identité). On verra ça plus tard.
On parle aussi de matrice symétrique, lorsque les
coefficients sont identiques de part et d'autre de la
diagonale.
On parle aussi de matrice antisymétrique, lorsque les
coefficients de part et d'autre de la diagonale sont
opposés. Une conséquence est que tous les coefficients
de la diagonale d'une matrice antisymétrique sont ...
nuls.
12
Somme de deux matrices
  La somme C de deux matrices A et B est une
troisième matrice dont les coefficients sont la somme
des coefficients des matrices A et B.
  ci,j = ai,j + bi,j
  Conséquence : la somme de 2 matrices n'est définie
que si les deux matrices sont de même dimensions
(même nombre de lignes et de colonnes).
  Calculer la somme de :
123
A=
456
et
135
B=
246
13
Multiplication d'une matrice par un réel
  Le réel multiplie chaque coefficient de la matrice.
2x
127
348 =
569
14
Multiplication de 2 matrices
  Chaque coefficient de la matrice produit est la somme
sur k des ai,k bk,j (avec k, numéro de la colonne de la
première matrice).
  Il faut donc que le nombre de colonnes de la première
matrice soit égal au nombre de lignes de la seconde.
  Il existe une disposition permettant de multiplier
facilement des matrices (et même d'enchaîner les
multiplications) : 1 2 7
2
348
569
3
4
123
456
15
Matrice identité et matrice inverse
  La matrice identité est l'élément neutre de la
multiplication entre deux matrices. Il s'agit d'une
matrice diagonale dont les coefficients valent tous 1 :
100
010
001
  La matrice inverse A-1 est celle qui, multipliée par A,
donne la matrice identité. Pour que A ait un inverse, A
doit être carrée.
16
Exercices
-1 4 5
100
1 -1 2
  Soient A = 4 1 3 , B = -3 2 0 , C = 2 1 -1
532
-1 2 3
-1 2 1
  Calculer :
 
 
 
 
 
 
BA + CA et (B + C)A
T(B + A) et TB + TA
T(BA), TBTA et TATB
A2 – B2, (A - B) (A + B) et (A + B) (A – B)‫‏‬
(B – I3) (B – 2I3) (B – 3I3) (1, 2, 3 sont valeurs
propres).
1
Le produit AB et BA pour A= 1 1 1 et B = 1
1
17
Implémentation informatique
  Implémentation d'une matrice en mémoire (différence
C et Fortran).
  Ecrire un programme effectuant :
 
 
 
 
La somme de 2 matrices
La transposée d'une matrice
La multiplication de deux matrices
La multiplication de deux matrices est-elle
parallélisable ?
http://carbon.cudenver.edu/csprojects/CSC5809S01/Simd/parmult.html
18
Multiplication SIMD de 2 matrices
On souhaite multiplier :
A=
-1 4 5
413
532
100
et B = -3 2 0
-1 2 3
-1 4 5
Que valent x, y, z ? : 4 1 3
532
x yz
000
000
x = –1 x 1 + 4 x –3 + 5 x – 1 x y z sont calculables
y = –1 x 0 + 4 x 2 + 5 x 2 en parallèle (pas de
z = –1 x 0 + 4 x 0 + 5 x 3 dépendances)
19
Algorithme parallèle pour C = AxB
  Si l'on dispose de j ALUs capables d'effectuer une opération identique
sur des valeurs différentes (processeur parallèle SIMD)‫‏‬
  Pour i:= 0 jusqu'à n-1 // calcul de la iè ligne de C
C[i,j] := 0; // en parallèle sur j processeurs (0<=j<=n-1)‫‏‬
pour k:= 0 jusqu'à n-1
C[i,j]:= C[i,j] + A[i,k] * B[k,j]; // en parallèle sur j processeurs
20
Bases
  Une combinaison linéaire est une somme de vecteurs ei
multipliés par des scalaires λi : Σλiei.
  Un ensemble de vecteurs (appelé « famille ») est dit libre s'il
est impossible d'exprimer un des vecteurs de la famille en
fonction de l'autre. Dans le cas contraire, la famille est dite
« liée ».
  Une famille engendre un ev si tout vecteur de l'ev peut s'écrire
comme une combinaison linéaire de cette famille. Cette
famille est dite « génératrice » de l'ev.
  Si v = Σλiei, les scalaires λi sont appelés les coordonnées de v
dans la base (e1, e2, ...).
  Une Base d'un ev est une famille libre et génératrice de cet ev.
21
Exemples de bases
  Le vecteur directeur d'une droite est la base de cette droite.
  Deux vecteurs non colinéaires d'un plan forment une base de
ce plan.
  Trois vecteurs non colinéaires d'un plan forment une famille
génératrice du plan (mais pas une base car ils ne sont pas
libres).
  Trois vecteurs non coplanaires forment une base de l'espace
(souvent notée i, j, k).
  Deux vecteurs non colinéaires forment une famille libre de R3.
  Quatre vecteurs de R3 sont forcément liés.
22
Dimension d'un ev
  Dans un ev, toutes les bases ont le même nombre de
vecteurs, qui s'appelle la dimension de l'ev.
  L'espace Rn est de dimension n.
  Certains espaces sont de dimension infinie, comme les
espaces de fonctions (toute fonction n'est pas
exprimable comme une somme finie d'autres
fonctions). Toute fonction pourra éventuellement être
définie comme une somme infinie d'exponentielles.
23
Base canonique
  Dans les ev « génériques » de dimension finie, on
défnit la base canonique (implicite) dont les vecteurs
sont notés ei.
  Pour chaque vecteur ei, une seule coordonnée n'est pas
nulle et vaut 1. Le i représente la position du 1 dans
les coordonnées du vecteur.
  Les vecteurs e1, e2, e3 de la base canonique de R3.
valent respectivement (1,0,0), (0,1,0) et (0,0,1).
  Lorsqu'on ne précise pas la base, on utilise la base
canonique.
24
Polynômes
  Quelle est le degré de ax2+bx+c (avec a non nul) ?
  Quelle est la base de l'ev des polynômes de degré ≤ 2
(de degré 2, de degré 1, de degré 0 et 0)* ? (x2,x,1)
  Quelle est la dimension de l'ev des polynômes de
degré ≤ n ?
n+1
  L'ensemble des polynômes de degré 2 est-il un ev ?
Non, car 0 n'est pas dedans, ou (x2+x) + (-x2)
  ax2+bx+c est un polynôme de degré 2. Quelles sont
ses coordonnées dans la base canonique de l'ev des
polynômes de degré <=2 ?
*(attention : par convention, pour certaines démonstrations, les polynômes
constants sont de degré 0, et le polynôme nul est de degré -∞).
25
Matrices
  Quelle est la dimension de l'ensemble des matrices 2x3 ?
  Quelle est la base canonique de l'ensemble des matrices 2x3 ?
(pour simplifier, on parlera de vecteur Ei,j pour la matrice où
le 1 est sur la ième ligne et jème colonne)‫‏‬
  Quelle est la dimension de l'ensemble des matrices diagonales
de taille 5 ?
  Quelle est la dimension de l'ensemble des matrices
triangulaires de taille 5 ?
26
Matrices antisymétriques de taille 3
  Elles forment un sev des matrices 3x3.
  Quelle est la dimension de cet espace ?
  Quelle est la base de l'ev des matrices antisymétriques de taille 3
010
-1 0 0 ...
000
Quelles sont les coordonnées de cette première matrice dans la
base canonique des matrices 3x3 ?
010
-1 0 0
000
= 0 E11 + 1 E12 + 0 E13 - 1 E21 + 0 E22
+ ...
27
Déterminant d'une matrice carrée
ab
  Le déterminant de la matrice
vaut ad - bc.
cd
abc
d e f vaut ?
  Le déterminant de la matrice
ghi
aei + dhc + gbf – gec – ahf – dbi
à noter que cela vaut :
a (ei – hf) – b (di – gf) + c (dh – ge),
c.-à-d. :
ef
df
de
a
–b
+c
hi
gi
gh
On « développe » par rapport à la première ligne.
Ca marche aussi pour la 2è ligne et la 3è ligne, (mais aussi pour
chaque colonne) sauf qu'à chaque fois, le signe change.
Le signe par lequel il faut multiplier vaut (-1)i+j
28
Exemple
3 4 -2
  Calculer
en développant par rapport à
2 3 1
1 2 3
la 2è ligne (ne pas oublier de x par -1)
= -2(12+4)+3(9+2)-1(6-4)
29
Calcul de déterminants
  Calculer
  Calculer
123
000
456
016
120
242
016
  Calculer 1 2 0
l3+2l1 2 614
,
120
016
242
,
012
124
602
,
012
3 612
602
=2
3l2
30
Quelques propriétés des déterminants
1)  Si une ligne (ou une colonne) ne contient que des zéros, le
déterminant est nul.
2)  Si l’on permute 2 lignes (ou 2 colonnes), on multiplie le
déterminant par – 1.
3)  La matrice et sa transposée ont le même déterminant (donc
tout ce qui est valable sur les lignes est valable sur les
colonnes).
4)  A une ligne, on peut ajouter une combinaison linéaire des
autres lignes sans changer le déterminant.
5)  Si l’on multiplie une ligne par un réel, on multiplie le
déterminant par ce réel (et si l’on multiplie la matrice par un
réel, on multiplie le déterminant par le réel^taille de la matrice)
31
Calcul de déterminants à la mode matheuse
  Plus tard, on aura besoin d'avoir le résultat d'un déterminant
sous forme d'un produit de facteurs (pour trouver les
solutions d'une équation).
  Pour simplifier, les matheux font apparaître des zéros par la
méthode du Pivot de Gauss (4è propriété précédente).
  Le but est de faire apparaître le maximum de zéros sur une
ligne, puis de développer par rapport à cette ligne.
1 1 -2
-1 3 4
-1 1 8
=
1 1 -2
0 4 2
0 2 6
l2+l1
l3+l1
On peut maintenant
développer par rapport
à la 1è colonne
= 20
  L'intérêt de tout ceci est de se ramener à un déterminant 2x2
32
Déterminants 4x4 et nxn
a b
e f
i j
mn
c
g
k
o
d
h
l
p
= a
f g h
j k l
n o p
e g h
– b i k l + ...
m o p
Ecrivez un algorithme calculant un déterminant nxn
33
Matrices de passage
  Changement de base :
 
 
 
 
Soit un e.v. de dimension finie avec 2 bases (base
canonique + autre base).
On cherche la représentation d'un vecteur de la
première base dans la deuxième base.
Ex dans R3 : la base canonique (e1, e2, e3) et la base f1=
(-1, 0, 1), f2=(2, -1, 2), f3=(1, -1, 1)
On écrira la matrice de passage (de la base canonique
vers la base f ) en colonne :
f1 f2 f3
-1 2 1
P(e1, e2, e3)→(f1, f2, f3) = 0 -1 -1
1 2 1
34
X(1,2,-1), bases e (canonique) et f (f1,f2,f3)
e1
e2
1
0
0
0
1
0
e3!
f1
0!
0!
1!
-1
0
1
X (1,2,-1)
Quelles sont les coordonnées de X dans la base f ?
f2
2
-1
2
f3!
1!
-1!
1!
Utilisation de la matrice de passage
  Soit un vecteur de coordonnées (x1, x2, x3). Ses
coordonnées dans la base B ' seront (x'1, x'2, x'3).
  Attention : la matrice de passage fonctionne... « à
l'envers ». On aura :
X = P X'
ou encore : (x1, x2, x3) = P (x'1, x'2, x'3)
  Le problème, c'est qu'on veut X' en fonction de X, et
pas X en fonction de X'. Il nous faut donc l'inverse de
la matrice pour écrire :
X' = P-1 X
36
Calcul de l'inverse d'une matrice
  L'inverse d'une matrice est (tA*) / det(A).
  On commence par calculer le déterminant (s'il est nul,
c'est fini !)
  A* est la matrice des cofacteurs (comatrice). C'est une
matrice dont les coefficients sont (-1)i+jDij où Dij est le
déterminant de la matrice dont on a supprimé les
lignes i et j.
*
-1 2 1
1 -1 1
0 -1 -1 = 0 -2 4
1 2 1
-1 -1 1
Le déterminant vaut -2
Inverse :
1 0 -1
Transp: -1 -2 -1
1 4 1
-1/2 0 1/2
1/2 1 1/2
-1/2 -2 -1/2
37
Exemple d'utilisation de la matrice de passage
  Soit un vecteur X ayant pour coordonnées (x,y,z) dans
la base canonique.
  Quelles sont ses coordonnées dans la base f1=(-1,0,1),
f2=(2, -1, 2), f3=(1, -1, 1) ?
X'=
-1/2 0 1/2
1/2 1 1/2
-1/2 -2 -1/2
x
y
z
38
Ecrire une fonction inversant une matrice
39
Passage de B à B' et de B' à B
  A noter que si, pour calculer X' sachant X = P X', on a
inversé l'équation en X' = P-1 X, cela signifie que si P
permet de passer de B à B', alors, P-1 permet de passer
de B' à B.
40
Application linéaire
  Une application K-linéaire est une application d'un K-e.v. E
dans un autre F qui « transmet » les deux lois :
  ∀ x,y ∈E, f(x +E y) = f(x) +F f(y) (l'image de la somme est la
somme des images).
  ∀ x,y ∈E, f (λ*Ex) = λ*Ff(x) (l'image du produit par un
scalaire est le produit de l'image).
  f de R4 dans R3 tq f(x1,x2,x3,x4) = (2x1-5x3, 3x2,4x3-5x4) est-elle
une application linéaire ?
  g, de R dans R tq g(x) = x+1 est-elle une application linéaire ?
  h, de R dans R tq h(x) = x2 est-elle une application linéaire ?
41
Rappel surjection injection bijection
Application : surjective
injective
Bijective
Seule une application bijective peut mettre
en relation deux ensembles isomorphes
42
Isomorphismes
  Application linéaire bijective, impliquant que les e.v. de
départ et d'arrivée ont la même structure.
  Pour information, il existe un isomorphisme entre tout
espace vectoriel de dimension n et Rn, donc on peut
toujours travailler sur Rn.
  L'isomorphisme est la transformation (de représentation)
qui permet de passer d'un espace à un autre.
  Ex : R4 est isomorphe à l'e.v. des matrices 2x2 de réels.
43
Représentation matricielle d'applications linéaires
  Soit une application linéaire entre 2 e.v. de dimension finie
(ex. de Rn dans Rp). Grâce à la notion d'isomorphisme, on
peut représenter cette application linéaire par une matrice
dont les colonnes sont les images des vecteurs de la base de
l'e.v. de départ.
  Ex : f de R4 dans R3 tq f(x1,x2,x3,x4) = (2x1-5x3, 3x2,4x3-5x4)‫‏‬
  Représentation matricielle. f(e1) = (2,0,0), f(e2) = (0,3,0), f
(e3) = (-5,0,4), f(e4) = (0,0,-5), ce qui donne la matrice :
isomorphisme
2 0 -5 0
f(x1,x2,x3,x4) = 0 3 0 0
0 0 4 -5
x1
x2
x3
x4
44
Matrices et applications linéaires
  A noter que toute matrice représente une application linéaire.
  La matrice précédente a 4 colonnes, donc l'espace de départ
peut être n'importe quel e.v. de dimension 4 (car ils sont
isomorphes), donc par ex, l'e.v. des polynômes de degré <=3.
  La matrice a 3 lignes, donc l'e.v. d'arrivée est de dimension 3,
donc par exemple, prenons, l'e.v. R3 (mais on pourrait prendre
ce qu'on veut).
a
  u(a0+a1x+a2
x2+a
3)
x
3
= ? 2 0 -5 0
0 3 0 0
0 0 4 -5
0
a1
a2
a3
= (2*a0-5*a2, 3*a1, 4*a2-5*a3)‫‏‬
45
Matrices de rotation
  Rotation de Pi/2 autour de l'axe des Z.
  r(e1) = ? r(e2) = ? r(e3) = ?
  La matrice est donc :
0 -1 0
1 0 0
0 0 1
r(e1) = (0,1,0)
r(e2) = (-1,0,0)
r(e3) = (0,0,1)
  Quelle est l'image du vecteur (1,2,3) par cette
matrice ?
0 -1 0
1 0 0
0 0 1
1
2
3
-2
= 1
3
A noter que le déterminant d'une matrice de rotation vaut 1.
46
Avec un autre angle...
  Rotation de θ autour de l'axe des Z.
  r(e1) = (cos θ, sin θ, 0) , r(e2) =(-sin θ, cos θ,0),
r(e3) = (0, 0, 1)
  Quelle est la matrice ?
cos θ -sin θ 0
sin θ cos θ 0
0
0
1
  Quelle est l'image du vecteur (1,2,3) par cette
matrice ?
cos θ -sin θ 0
sin θ cos θ 0
0
0
1
1
2
3
...
= ...
...
47
Composition de matrices
  Soit u,v 2 applications linéaires ayant pour matrices
respectives U et V,
  uov a pour matrice UxV.
  On peut donc faire des rotations autour de plusieurs
axes en composant des rotations autour d'un seul axe.
48
Changement de base pour une a.l.
  Soit une application linéaire u entre 2 e.v. E et F ayant
chacun 2 bases : D et D' dans l'espace de départ E et A et
A' dans l'espace d'arrivée F (D et A sont canoniques).
  Si la matrice U entre les 2 bases canoniques D et A des 2
espaces est notée M(u,D,A), quelle sera cette matrice
expression si on change la base d'arrivée, M(u,D,A') ?
Rappel : X' = P-1 X
  Si l'on note PA→A' la mat de passage de A à A', et PA'→A la
matrice de passage de A' à A, alors, on peut écrire :
X' = P-1A→A' X, mais aussi X' = PA'→A X car on a vu
précédemment que PA'→A est la matrice inverse de PA→A'
49
M(u,D,A) → M(u,D,A’)
  Soit X l'image du vecteur (x1,x2,x3,x4) par u. Dans les bases
canoniques D et A de E et F, on note U: M(u,D,A).
X= U
x1
x2
x3
x4
X' = P-1A→A' U
Or, X'=M(u,D,A')
x1
x2
x3
x4
x1
x2
x3
x4
= PA'→AM(u,D,A)
x1
x2
x3
x4
donc tout comme on avait X'=P-1X,
on a : M(u,D,A') = P-1A→A'M(u,D,A) = PA'→AM(u,D,A)‫‏‬
50
M(u,D,A) → M(u,D',A), M(u,D,A)→ M(u,D',A')‫‏‬
  De même :
M(u,D',A) = M(u,D,A) PD→D'
  et lorsqu'on change les 2 bases en même temps :
M(u,D',A') = PA'→Α M(u,D,A) PD→D'
  Cas particulier : lorsque la matrice est carrée, et que
les e.v. de départ et d'arrivée sont identiques, alors, les
bases canoniques sont les mêmes (D = A) et les
nouvelles bases sont les mêmes (D' = A').
  La formule devient : M(u,D',D') = P-1 M(u,D,D) P
ou : M' = P-1 M P (à retenir pour la diagonalisation des matrices)‫‏‬
51
Pivot de Gauss
  Soit un système de n équations à n inconnues dont on
veut trouver les solutions : x +y+z = 1
3y+z
2z
= 2
= 8
  Si le système n'est pas triangulaire, le « trigonaliser »:
x+2y+z = 2
2x+y+z = -1
x-3y+2z = -1
52
Cas particuliers
  1 ligne disparaît (les autres variables s'expriment en
fonction de z).
x - y+2z = 1
2x-3y+ z = 4
x -3y- 4z = 5
  0z = 4 : il n'y a pas de solutions.
2x - y+3z = 1
x +y - z = 2
x -2y+4z = 1
53
Programmer un Pivot de Gauss
54
Inversion de matrice (le retour)
e'1 e'2 e'3
  Si l'on considère la matrice -3 1 0 comme une
matrice de passage, alors,
2 0 1 la première
colonne contient les coor1 2 -1 données du
nouveau vecteur.
  On a donc e'1 = -3e1 +2e2 + e3, e'2 = e1 + 0e2 + 2e3 et
e'3 = 0 e1 + e2 – e3.
  Si l'on écrit e1 e2 e3 en fonction de e'1 e'2 e'3 (ce que
permet de faire le pivot de Gauss) alors, on a inversé
la matrice !
e1 e2 e3
  La matrice inverse vaut alors :
?
55
Inversion de matrice par pivot de Gauss
56
Notion de valeurs propres
  Soit (e1, e2, e3) la base canonique de R3.
  Soit la projection orthogonale sur le plan (e1, e2).
  La matrice de cette projection est :
1 0 0
A=
0 1 0
0 0 0
  Une valeur propre représente un facteur multiplicatif le long
d'un vecteur appelé vecteur propre.
x
  Ici, A y va multiplier x par 1, y par 1 et z par 0.
z
  Les valeurs propres 1 donnent une isométrie sur le plan (e1, e2).
  La valeur propre 0 donne une projection le long de la droite
engendrée par (e3)
57
Valeurs propres d'autres transformations
  Soit une matrice de transformation (rotation, symétrie,
homothétie, projection...). On peut détecter si, dans la
transformation, il y a symétrie ou homothétie par rapport à
un point ou un axe en déterminant les valeurs propres λ.
  Une valeur propre de 2 représente un grossissement x2.
Une valeur propre de -1/2 représente une symétrie avec
homothétie d'un facteur 1/2.
58
Détermination d'une valeur propre
  On dit que λ est valeur propre si on peut trouver des
vecteurs tels que :
A
x
y
z
= λ
x
y
z
  Si les vecteurs sont invariants, la valeur propre est 1.
  Si les vecteurs se transforment en leur opposé
(symétrie), on a une valeur propre de -1.
59
Exemple
1 -2 -2
A = 1/3 -2 1 -2
-2 -2 1
  Pour cela, il faut trouver toutes les valeurs de λ pour lesquelles
AX = λX . Cela revient à chercher λ tq (A–λI ) X = 0.
  Trouver les valeurs propres de :
  Pour que ce système possède plusieurs solutions (une pour X=0
et une non nulle), il faut que son déterminant soit nul (qu'1 ou
plusieurs vecteurs soient liés).
  det(A–λI)=0 est appelée l'équation caractéristique de A. C'est le
polynôme caractéristique de A dont les racines sont les valeurs
Si on fait c3=c3-c2,
propres de A.
1/3–λ –2/3 –2/3
P(λ) = –2/3 1/3–λ –2/3
–2/3 –2/3 1/3–λ
puis l2=l2+l3, on a :
1/3–λ –2/3 0
–4/3 –1/3–λ 0
–2/3 –2/3 1–λ
1/3–λ –2/3
= (1–λ) –4/3 –1/3–λ
= (1–λ)(λ2–1)
= (1–λ)(λ–1)(λ+1)
60
Résultat...
  On a : (1–λ)(λ–1)(λ+1)
  -1 est valeur propre : on a donc une symétrie.
  1 est valeur propre d'ordre 2 (double) : on a donc peutêtre un plan invariant.
  Pour en trouver l'équation, résoudre AX=λX pour 1 et -1:
1/3 x – 2/3 y –2/3 z = x
–2/3 x + 1/3 y –2/3 z = y
–2/3 x – 2/3 y + 1/3 z = z
Pour λ=1, on trouve, le plan ayant pour équation : x+y+z=0
Pour λ= -1, on trouve la droite le long de laquelle on a la
symétrie.
61
Exercice
  Quelle transformation effectue la matrice :
A = 1/3
2 -1 2
2 2 -1
-1 2 2
Rotation autour de (1,1,1), mais de quel angle ?
Prendre un vecteur orthogonal à l'axe de rotation (dont le produit scalaire
avec l'axe est nul car ||u||*||v||*cos(u,v))
Vecteur suggéré : (1,-1,0) Quelle en est l'image par A ?
(1,0,-1) ? u.v = ||u||*||v||*cos(u,v).
Quelle est la valeur de cos(u,v) ? 1/2
Angle de rotation : Pi/3 ? Dernière chose : sens de la rotation !
On le connaît grâce au signe du déterminant.
62
Détermination des valeurs propres
2/3–λ –1/3 2/3
2/3 2/3–λ –1/3
–1/3 2/3 2/3–λ
l1-l2
–λ –1+λ
1
2/3 2/3–λ –1/3
–1/3 2/3 2/3–λ
c2+c1
l2-l3
c2+c3
–λ
–1
1
2/3 4/3–λ –1/3
–1/3 1/3 2/3–λ
–λ
2/3
–1/3
–λ
1
–1/3
–(1–λ)
0
1
0 –1+λ
1–λ 2/3–λ
0
1
1–λ –1/3
1–λ 2/3–λ
–λ
1
1 –1+λ
(λ–1) (λ–λ2–1)
Vp=1 donc un axe, mais Δ<0 donc pas d’autre vp.
Diagonalisation d'une matrice
  Diagonaliser une matrice, c'est trouver une matrice
inversible P tq (P-1A P) soit diagonale.
2 2 0
  Ex : Soit A la matrice de u de R3 → R3: 1 2 1
0 2 2
  (x,y,z) → (2x+2y, x+2y+z, 2y+2z).
  La matrice diagonale (P-1A P) sera toujours la matrice
de u, mais dans une autre base.
λ1 0 0
  Dans cette base, u aura pour matrice :
0 λ2 0
0 0 λ3
où λ1, λ2, λ3 sont les valeurs propres.
  Le premier vecteur de la nouvelle base vérifiera :
u(f1) = λ1f1 : c'est donc un vecteur propre associé à λ1.
64
Diagonalisation : 2 étapes
  Pour diagonaliser une matrice, il faut donc :
 
 
Trouver les valeurs propres, qui seront les valeurs de la
matrice diagonale.
Trouver les vecteurs propres dont les coordonnées
seront les coefficients des colonnes de P.
 Attention : toutes les matrices ne sont pas
diagonalisables.
 Toute matrice symétrique est diagonalisable (mais
l'inverse n'est pas vrai).
65
Revenons à l'exemple
  Matrice A =
2
1
0
2
2
2
0
1
2
Quelles en sont les vp ?
  L'équation caractéristique est det(A–λI)=0.
Valeurs propres de A
2–λ 2 0
1 2–λ 1
0 2 2–λ
c1=c1-c3 :
2–λ 2 0
l3=l3+l1 : 0 2–λ 1
0 4 2–λ
2–λ 2 0
0 2–λ 1
λ–2 2 2–λ
= (2–λ) 2–λ 1
4
2–λ
= (2–λ)((2–λ)2–4)
= (2–λ)(λ2–4λ) = (2–λ) λ (λ–4) donc 3 vp : 0, 2, 4, qui seront
la diagonale de la matrice de u dans la base de vp à déterminer.
67
Détermination des vecteurs propres
  Il faut choisir une matrice diagonale, qui déterminera l'ordre des
vecteurs propres de la base :
0
0
0
0
2
0
0
0
4
2
0
0
ou
0
0
0
0
0
4
ou
4
0
0
  Supposons qu'on prenne la 2è.
  Pour la 1è vp (2) on aura :
2x + 2y
= 2x
x + 2y + z = 2y
2y + 2z = 2z
A
2y = 0
x+z =0
2y = 0
0
2
0
x
y
z
0
0
0
ou ...
= λ
x
y
z
C'est normal qu'on ait
une infinité de solutions
car il y a une infinité de
vecteurs le long de l'axe.
Ce qui donne y = 0 et z = – x
68
Notion de sous-espace propre
  Tous les vecteurs de la forme (x, 0, -x) sont associés à
la vp 2. L'ensemble de ces vecteurs est appelé le sousespace propre associé à 2, noté Eλ=2 ou E2.
1
  On choisira un vecteur de cet espace pour fabriquer f1 0
  Quels sont les vecteurs propres pour 0 et 4 ?
-1
Pour 0, on trouve z = – y et x = – y, donc on pourra prendre f2
-1
1
-1
Pour 4, on pourra prendre f3
1
1
1
69
Résultat de la diagonalisation
  Soit A la matrice de u de R3 → R3:
  (P-1A P) vaudra :
1 -1 1
  Avec P = 0 1 1
-1 -1 1
2
0
0
0
0
0
0
0
4
2
1
0
2
2
2
0
1
2
70
Autre exercices
  A =
5 1 -1
2 4 -2
1 -1 3
  Moins simple : A =
P=
101
011
110
(P-1A P) =
400
020
006
3 -1 1
-1 3 1
2 2 2
  Le polynôme caractéristique est (4 – λ) λ (λ – 4)
  Pour 0, pas de pb (on trouve (1, 1, –2)), mais 4 est vp double. Il
faudra donc trouver 2 vecteurs propres. L'équation trouvée pour
4 est z = x + y ce qui est bien l'équation d'un plan.
  E4 = {(x, y, x+y) / x,y ∈ R} = {x(1,0,1)+ y(0,1,1) / x,y ∈ R}
400
10 1
on a P = 0 1 1
Pour (P-1A P) = 0 4 0
000
1 1 -2
71
Cas où cela ne fonctionne pas...
  A =
1 -3 4
4 -7 8
6 -7 7
les vp sont 3 et – 1 qui est double
  Pour –1, on trouve E–1 = {(z, 2z, z) / z ∈ R}
  Ce n'est que de dimension 1, alors que comme –1 est
valeur propre double, on aurait dû trouver un plan...
  Pas de base possible, donc la matrice n'est pas
diagonalisable.
72
Projet à rendre pour le ?? décembre
  Programme qui effectue :
 
Transposée d’une matrice
 
Somme de 2 matrices
Multiplication de 2 matrices de tailles différentes.
 
 
 
 
 
Résolution d’un système par pivot de Gauss
Déterminant d'une matrice de taille quelconque.
Inversion d’une matrice :
–  Par la comatrice
–  Par pivot de Gauss
Calcul des valeurs propres d’une matrice (détermination de
l’équation caractéristique = det (A – λI) puis résolution par pivot.
  N'oubliez pas de m'envoyer un petit rapport sous LaTeX
expliquant comment fonctionnent vos programmes.
73

Algèbre Linéaire Appliquée - Bioinformatique théorique, Fouille de

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