I Théorème de l`énergie cinétique
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I Théorème de l`énergie cinétique
LES THEOREMES DE L’ENERGIE ET LES APPLICATIONS I Théorème de l’énergie cinétique Si on cherche à calculer les variations de l’énergie cinétique au cours du temps, on a vu que : r r r d Ec dv r m v ma v dt dt Si on se place dans un référentiel galiléen, on a : r ur ma F , donc : ur r ur r d Ec F v F .v P dt (0.1) Théorème de l’énergie cinétique : Dans un référentiel galiléen, la dérivée par rapport au temps de l’énergie cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances des forces. On peut écrire ce théorème sous forme différentielle : d Ec P dt W (0.2) Dans un référentiel galiléen, la différentielle de l’énergie cinétique correspond à la somme des travaux élémentaires des forces Ou sous forme de variation : Ec Ec (t f ) Ec (ti ) WAB Dans un référentiel galiléen, entre l’instant initial (0.3) ti où le point matériel est en A et le temps t f où le point matériel est en B , la variation de l’énergie cinétique correspond à la somme des travaux des forces de A à B Exemple (1) On étudie un point matériel M(m) dans un référentiel du laboratoire supposé galiléen. (2) Les puissance (ou travaux ) en jeu sont : (3) P(mg ) mg.v mg sin P(T ) T .v 0 Théorème de l’énergie cinétique dEc P dt 1 g d ( m ² ²) sin 0 2 m ² mg sin d’où dt Remarque : on peut aussi W mg ( xf xi) mg ( cos ) Ec g sin 0 m ( ² ² v0 ²) que l’on dérive pour obtenir 2 II Théorème de l’énergie mécanique Soit un point matériel M soumis à des forces conservatives potentielle Ep ,et des forces non conservatives ur F C qui dérivent d’une énergie ur F NC qui ne dérivent pas d’une énergie potentielle. W WC WNC dEp WNC Le théorème de l’énergie cinétique donne : d Ec W d Ep WNC Le travail élémentaire des forces s’écrit : Soit : d Em d Ec Ep d Ec d Ep WNC (0.4) Dans un référentiel galiléen, la différentielle de l’énergie mécanique correspond au travail élémentaire des forces non conservatives. Ou : d Em PNC dt (0.5) Dans un référentiel galiléen, la dérivée par rapport au temps de l’énergie mécanique d’un point matériel est égale à la somme des puissances des forces non conservatives. Ou encore : Em Em (t f ) Em (ti ) WANC B Dans un référentiel galiléen, entre l’instant initial (0.6) ti où le point matériel est en A et le temps t f où le point matériel est en B , la variation de l’énergie mécanique correspond au travail des forces non conservatives de A à B . Propriétés : Intégrale première de l’énergie : Si le point matériel n’est soumis qu’à des forces conservatives, ou que le travail des forces non conservatives est nul alors dans ce cas, l’énergie mécanique est constante au cours du mouvement. En présence de forces non conservatives, en général WAB 0 donc Em (t f ) Em (ti ) Que devient l’énergie disparue ? énergie interne et chaleur Contrairement aux travaux les énergies sont des fonctions d’état. NC Exemple On étudie le solide ramené à son barycentre dans le référentiel lié au solide supposé galiléen. Le contact solide-solide se fait avec un frottement de coefficient, on cherche la vitesse initiale nécessaire pour arriver en haut. Bilan des travaux en jeu : W ( RT ) RT h avec RT fRN fmg cos (en projetant sin le PFD sur l’axe la normale). Théorème de l’énergie mécanique : Emf Emi Ecf Epf Eci Epi 0 mgh v0 2 gh(1 f cot an ) 1 mv0 ² 0 2 III Etude des états d’équilibre d’un système à un degré de liberté V1 Position du problème De nombreuses études en physique où l’énergie mécanique est constante ,se ramènent à l’étude d’un problème à un degrés de liberté (r,x,,T..) dont on connaît l’énergie potentielle Ep(x) (mouvement des planètes, molécule diatomique , ionisation , solide en rotation autour d’un axe ..). Quand cette énergie potentielle est une fonction complexe, l’équation différentielle du mouvement obtenue avec le théorème de l’énergie est très peu souvent soluble. On peut pourtant procéder à une étude qualitative du mouvement et des ses états intéressants : les états d’équilibres. On part du principe Em cte Ec Ep Ep car Ec 0 connaissant Ep Exemple : ici énergie potentielle d’une comète qui subit l’attraction solaire ou énergie d’interaction entre deux atomes d’une molécule diatomique. (1) Em 0 x x1 on parle d’état libre (comète qui s’échappe de l’influence du soleil ou molécule séparée) (2) Em E0 ,0 x x2 , x3 on parle d’état lié(comète qui tourne autour du soleil ou molécule excitée) (3) Em E0 x x0 on parle d’état lié d’équilibre stable (comète qui tourne autour du soleil sur une trajectoire circulaire ou molécule au repos) Propriété : d ² Ep dEp 0 et 0 correspondent aux états d’équilibre dx ² dx Les minima de l’énergie potentielle stable d’un système et les maxima aux états instables. Démonstration : Si x0 est un minimum de Ep alors : Ep( x ) Ep( x0 ) ( x x0 ) ( x x0 )² d ² Ep ( x x0 )² dEp ( x0 ) ( x0 ) Ep( x0 ) K avec K > 0. dx 2 dx² 2 Rappel :une fonction f(x) définie continue dérivable autour de x 0 admet en x0 un minimum (resp maximum) ssi Alors df d² f d² f ( x0 ) 0 et ( x0 ) 0 resp ( x0 ) 0 dx dx ² dx ² ur d E ( x) r r 0 si x x0 F p e x K ( x x0 )ex équivalente à une force de rappel (car K > 0 si x x0 dx 0) qui « ramène » x vers x0 d’où l’équilibre stable. D’autre part le PFD « proche » de x0 devient alors mx K ( x x0 ) x K K x x0 x(t ) x0 X m cos(t ) où est la pulsation des m m petites oscillations autour de l’équilibre. A contrario , Si x0 est un maximum de Ep alors l’équilibre est instable. VI-2 Exemple : le pendule simple a) Position du problème On étudie un point matériel M(m) dans un référentiel du laboratoire supposé galiléen de vitesse initiale v0. Calcul de l’énergie potentielle fonction de : dEp P.dr mgdx Ep mgx cte mgl cos cte mgl(1 cos ) si Ep(0)=0 La puissance des forces non conservative est nulle. Théorème de l’énergie mécanique Em Ec Ep cte 1 ml ² ² mgl (1 cos ) et 2 dEm g 0 mgl sin ml d’où sin 0 équation différentielle insoluble. dt b) Etude qualitative C’est un problème à un degré de liberté à énergie mécanique constante . Traçons Ep(). Em 0.5mv0 2 (1) Em 2mgl Tous les angles sont atteints (état libre) Em 0, 2mgl oscillation (non sinusoïdale) entre 1 et 2. (3) Em 0 0 on parle d’état lié d’équilibre stable. (2) (4) Impossible. dEp 0 0, d 0 si 0 état d ' équilibre stable d ² Ep mgl cos Stabilité de ces états : 0 si état d ' équilibre instable d ² Etats d’équilibre : extréma de Ep Période des petites oscillations autour des positions d’équilibre : e d ² Ep 0 si e 0 2 d ² 0 si e 1 e Em( ) cte ml ² ² Ep( e) K d’où Ep( ) Ep( e) 0 d’où 2 2 K K K e (t ) e A cos t si K 0 ml ml ml Ici l’état d’équilibre stable est 0 : g t l (t ) A cos En = la solution est exponentielle.