Énergie d`un pendule simple

Chapitre 1– Exercice 1
Énergie d’un pendule simple
1. Comme g a la dimension d’une longueur divisée par une durée au carré, le rapport (l/g)1/2 a celle
d’une durée. La période du pendule simple dépend donc directement des caractéristiques l et g du système par
l’intermédiaire de ce rapport.
2. L’énergie mécanique du pendule simple est la somme de son énergie cinétique et de l’énergie potentielle de
pesanteur :
Em = Ek + Ep,g
avec
Ek =
1 2 2
ml u̇
2
et
Ep,g = −mg · OA + Cte = −mgl cos u
si l’on choisit la constante nulle. On en déduit l’équation différentielle du mouvement :
1 2 2
ml u̇ − mgl cos u = Cte
2
Les faibles oscillations, caractérisées par u petit, sont harmoniques ; en effet, on a :
1 2 2
u2
ml u̇ − mgl 1 −
2
2
≈= Cte
soit ü + v20 u = 0 avec
v20 =
g
l
en dérivant. La solution de cette équation est bien connue (cf. Mécanique) : u = A cos(v0 t + w) , les constantes A
et w étant déterminées par les conditions initiales. La période T0 vaut :
T0 =
2p
= 2p
v0
l 1/2
g
La longueur du pendule simple qui bat la seconde est :
l=g
T02
≈1m
4p2