Programme de mathématiques: programme de seconde A

MINISTERE DE L’EDUCATION NATIONALE
-------------DIRECTION DE LA PEDAGOGIE ET DE LA FORMATION CONTINUE
REPUBLIQUE DE COTE D’IVOIRE
UNION-DISCIPLINE-TRAVAIL
--------------
--------------
COORDINATION NATIONALE DE MATHEMATIQUES
PROGRAMME DE
MATHEMATIQUES
PROGRAMME DE PREMIERE A
Décembre 1991
COMMENTAIRE GENERAL
La classe de Première A, prolongement logique de la Seconde A,
est aussi un lieu de découverte, d’exploration de situation concrètes, de
consolidation et d’utilisation des acquis antérieurs.
Tout en s’appuyant constamment sur les notions étudiées dans le
premier cycle et en Seconde, on développera, sans grosse théorie, chez
les élèves :
 La formation personnelle : et principalement l’aptitude à
mathématiser une situation à travers l’utilisation de techniques
de présentation (schémas, graphiques), de codage
(organigrammes, diagrammes), activités qui développent
l’esprit critique, la curiosité,…
 La formation sociale, économique et culturelle ; l’outil
mathématique mis en place doit permettre à un élève qui
poursuivra ses études dans les sciences humaines d’appréhender
de façon plus performante des phénomènes socio-économiques,
mais il est illusoire d’espérer qu’un élève fera de lui-même les
transferts nécessaires ; il faut l’y entraîner en introduisant les
différentes activités mathématiques par des motivations tirées
de l’environnement culturel, social, économique et en l’initiant
aux méthodes d’information, d’organisation, de traitement de
donnée…
Il donc souhaitable que le professeur ait toujours à l’esprit ces
objectifs qui, bien sûr, ne relèvent pas tous les contenus mathématiques,
mais plutôt de la façon de présenter certaines notions, de préparer, de
rédiger un travail, de mener une recherche.
Aussi, à l’exposé théorique, préférera-t-on une présentation sous
forme d’activités. Celles-ci seront motivées par des documents, des
enquêtes, des problèmes interdisciplinaires. Afin de ne pas réduire
l’enseignement des mathématiques à un bricolage désordonné, le
professeur veillera à :
 dégager les concepts et les utiliser à l’aide d’exercices pris dans
le contexte d’étude des élèves ;
 faire des synthèses après avoir fait comprendre l’utilité de ces
concepts.
Il est à noter que, durant le cours, les élèves doivent faire un
maximum d’exercices. La synthèse des résultats essentiels se fera
contrôlée régulièrement. Un exemple de trace écrite par chapitre est
d’ailleurs proposé dans le document EM telle qu’elle pourrait figurer
dans le cahier de cours des élèves.
Remarques
1) la progression proposée ne suit pas complètement l’ordre des
chapitres du livre. La présentation des différentes notions dans
le document EM correspond à cette progression mais la
numérotation des chapitres dans l’en-tête des pages rappelle
celle du livre.
2) Le programme qui suit est le même pour toutes les classes de
Première A de la République de Côte d’Ivoire. Cependant, les
élèves de la série A1 disposent d’une heure de plus que ceux
des séries A2 et A3.
En conséquence, les professeurs des classes de Première A1
sont invités à enrichir un peu plus leur cours de mathématiques en
utilisant, au bénéfice de leurs élèves, cette heure pour faire acquérir
non seulement les savoir-faire précisés dans le document EM et qui ne
concernent que les seuls élèves de cette classe, mais pour faire des
exercices
ou
des
activités
supplémentaires
d’un niveau supérieur à celui réservé aux séries A2 et A3.
I-
ORGANISATION DE DONNEES ET DE TACHES
a) Les nombres réels
Coder, classer, ranger, dénombrer, organiser : à partir de situation variées tirées des sciences économiques et sociales, de la géométrie ou de la vie courante, on montrera
la nécessité d’une organisation des données et des tâches à accomplir en utilisant codages, diagrammes, tableaux, arbres,
II

STATISTIQUES
Regroupement de modalités en classes ; représentations graphiques.
histogrammes, diagrammes cumulatifs.


Caractéristiques de dispersion : variance, écart-type
.
Exemples de séries chronologiques.
Caractéristiques de position : mode, moyenne, médiane seulement dans le cas
d’un caractère quantitatif contenu.
III-
SUITES ET FONCTIONS NUMERIQUES
1. Représentations graphiques de fonctions numériques

Etant donnée le représentant graphique d’une fonction f dans un repère
orthonormé, représentations graphiques des fonctions : x→ f(x – a) ;.
x→ f(x) + b ; x→‫׀‬x‫ ׀‬où a et b sont des nombres réels donnés.

Parité, éléments de symétrie de la courbe représentative d’une fonction..

Signe de f(x) suivant les valeurs de x, f désignant une fonction polynôme
du second degré.

Inéquations du second degré.

Problème se ramenant à la résolution de contraintes du second degré.

Equations et inéquation associées aux fonctions homographiques.
2- Fonctions polynômes du second degré

Divers schémas de calcul.

Représentation graphique.

Equations du second degré : diverses méthodes de résolution.
3. Fonctions homographiques

Divers schémas de calcul.

Représentation graphique.

Signe de f(x) suivant les valeurs de x, f désignant une fonction homographe.

Problèmes se ramenant à la résolution de contraintes associées aux
fonctions homographiques.
4. Suites numériques

Etude de suites définies par uη = f(n) et par uη+¹= g(uη)exemples de

Suites monotones.
passage d’une définition à l’autre) ; cas particuliers de suites
arithmétiques et géométriques.

Problème se ramenant à l’étude de diverses suites numériques (intérêts
simples, intérêts composés, démographie,…)..

déterminations graphiques des termes d’une suite.

Comparaison de suites.
5. Dérivées

Approche intuitive de la notion de nombre dérivé ; équation de la tangente en
un point de la courbe représentative d’une fonction.

Utilisation de la dérivée dans l’étude et la représentation graphique de
fonctions polynômes, de fonctions homographiques*.

Fonction dérivée ; formules usuelles de dérivation (admises).

Aucune notion sur la limite d’une fonction en un point n’est au
programme de cette classe.
PROGRESSION DE PREMIERE A1, A2 ET A3
Semaine
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
2 heures par semaine
1 heure par semaine
Fonctions et représentations graphiques de
fonctions
Organisation des données
10 heures
9 heures
Problèmes du second degré
12 heures
Dérivées
Fonction homographiques
Suites numériques
Statistiques
12 heures
2 heures
6 heures
12 heures
Révisions
12 heures
PROGRAMME DE PREMIERES C ET E
Octobre 1998
ACTIVITES GEOMETRIQUES
I-
GEOMETRIE DE L’ESPACE
CONTENU
Orthogonalité
 Droites orthogonales.

Droites orthogonales à un plan.

Plans perpendiculaires.


Propriétés liant l’orthogonalité et le
parallélisme.
Distance d’un point à un plan.
SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX




Utiliser les propriétés de l’orthogonalité et du
parallélisme pour démontrer que :
- deux droites sont parallèles ;
- deux droites sont orthogonales ;
- une droite est parallèle à un plan ;
- une droite est orthogonale à un plan ;
- deux plans sont perpendiculaires ;
- deux plans sont parallèles.
Démontrer que deux plans sont sécants.
Démontrer que deux droites sont sécantes.
Démontrer que trois points sont alignés.
COMMENTAIRES




Parallélisme dans l’espace a été étudié
en Seconde C.
On visualisera les définitions et
propriétés de l’espace à l’aide de
solides, de maquettes et de
l’environnement de l’élève.
Les dessins seront effectués en
perspective cavalière mais aucune
théorie sur ce point n’est à développer.
On étudiera le plan médiateur d’un
segment en travaux dirigés.
II-
TRIGONOTRIE
CONTENU
Angles orientés
 Angles orientés de vecteurs.
- somme ;
- propriété ;
- relation de Chasles.
 Angles au centre orientés.
 Angles inscrits orientés.
 Double d’un angle orienté.

Caractérisation du cercle.

Cocyclicité de quatre points
Mesures d’un angle orienté
 Définition


SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX
Exploiter la relation de Chasles dans diverses
situations.
Utiliser l’angle orienté double pour démontrer
l’alignement de trois points.




Démontrer que quatre points sont cocycliques.

Un nombre réel étant donné, placer son point
image sur le cercle trigonométrique.
Un point étant donné sur le cercle
trigonométrique donner une mesure de l’angle
orienté associé lorsque cela est possible.
Déterminer la mesure principale d’un angle
orienté dont on connaît une mesure.
Déterminer le sinus, le cosinus, la tangente d’un
angle orienté de mesure donnée à l’aide du
cercle trigonométrique.
Retrouver les formules trigonométriques à l’aide
des formules d’addition.
Utiliser les formules trigonométriques pour
transformer des expressions trigonométriques.


Lignes trigonométriques d’un angle orienté

Formules trigonométriques
 Lignes trigonométriques des angles
associées.
 Formules d’addition ;
 Formules de duplication et de linéarisation.
 Réduction de a cosx + b sinx.




COMMENTAIRES
Les angles
introduits en Seconde C ainsi que les
angles orientés. A partir d’exercices,
consolider ces acquis
On peut établir en travaux dirigés les
propriétés liant :
- les angles orientés et les tangentes ;
- les angles orientés et la bissectrice.
On peut établir en travaux dirigés le
lieu des points M tels que :
→ →
→ →
2)(MA,MB) = (OA, OB) où O, a et B
sont donnés.
La notion de congruence n’est pas au
programme.
A partir des relations entre les angles,
on établit des relations entre les
mesures en ajoutant k2π (kєZ)
CONTENU
Equations trigonométriques



Inéquations trigonométriques


Etude et représentation graphique des fonctions
circulaires

La fonction sinus.

La fonction cosinus.

La fonction tangente.

SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX
a étant un nombre réel donné, résoudre dans IR les
équations du type ;
cos x = cos a, sin x = sin a, tan x = tan a.
Résoudre dans IR les équations du type :
cos x = a, sin x = b , tan x = c.
a cos x + b sin x + c = 0 (a, b et c sont des nombres
réels donnés, (a, b , c) #(o, o, o)).
Représenter sur le cercle trigonométrique les
points images des solutions d’équations
trigonométriques.
Résoudre les inéquations du type
sur un intervalle borné de IR.
Représenter sur le cercle trigonométrique les
points images des solutions d’inéquations
trigonométriques.
Etudier et représenter graphiquement les fonctions
numériques de la variable réelle du type :
x→ sin (ax +b)
x→ cos (ax +b).
COMMENTAIRES

On pourra à cette occasion résoudre
quelques équations trigonométriques se
ramenant aux cas ci-contre.

On pourra à cette occasion résoudre
quelques inéquations trigonométriques
se ramenant aux cas ci-contre.

C’est l’occasion de réinvestir les acquis
sur les fonctions associées et la derive
de la compose de deux fonctions.
III-
OUTIL VECTORIEL
CONTENU
Barycentre de 2, 3 ou 4 points
 Définition.



Isobarycentre.

Propriétés :
- homogénéité (multiplication des
coefficients par un scalaire) ;
- réduction vectorielle ;
a MA + b MA = (a + ) MG (a + b # 0) ;
- barycentre partiel.

Coordonnées du barycentre.

Lignes de niveau de :
- -M→a MA², a + b # o ou a + b = 0 ;
- -M→




SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX
Traduire par une égalité vectorielle qu’un point
est le barycentre de 2, 3 ou 4 points.
Construire le barycentre de 2, 3 ou 4 points
pondérés.
Exprimer un point donné d’une droite graduée
comme le barycentre de 2 points par lecture
graphique.
Démontrer qu’un point est barycentre de 2, 3 ou
4 points à partir d’une relation vectorielle.
Utiliser la réduction vectorielle pour :
- simplifier des relations vectorielles ;
- construire un barycentre ;
- résoudre des problèmes de concours et
d’alignement.
Déterminer et construire les lignes de niveau de :
- -M→ a MA² + b MB², a + b # 0 ou a + b = 0 ;
- M→





COMMENTAIRES
Consolider les acquis des élèves sur le
calcul vectoriel par quelques exercices
(relation de Chasles, construction,
alignement,…).
Etablir à travers des exercices, le lien
avec les autres disciplines (sciences
physiques, statistiques).
Pour les lignes de niveau, se limiter
exclusivement aux lignes citées.
L’étude du barycentre de plus de 4
points n’est pas au programme de
Première C. Elle sera faite en
Terminale C.
On utilisera comme notation du
barycentre :
bar (A,a), (B,b) ou bar
Vecteurs de l’espace
 Vecteurs coplanaires.

Vecteurs colinéaires.

Produit scalaire.

Démontrer que trois vecteurs sont coplanaires.



Il s’agit d’élargir, sans théorie, la
notion de vecteur du plan à l’espace.
On ne développera pas de calculs
formels sur les vecteurs de l’espace.
On ne s’étendra pas sur la définition et
les propriétés du produit scalaire dans
l’espace.
IV-
TRANSFORMATIONS DU PLAN
CONTENU
Symétries et translations
 Composée de deux translations.

SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX

Composée de deux symétries orthogonales.
Homothéties
 Composée de deux homothéties

Rotation
 Composée de deux rotations.

Utiliser la composée de deux symétries
orthogonales ou de deux translations pour :
- démontrer une propriété ;
- construire une figure ;
- déterminer un ensemble de points.
Mettre en évidence une homothétie ou une rotation
pour :
- démontrer une propriété ;
- construire une figure ;
- déterminer un ensemble de points.
Utiliser la composée de deux homothéties ou de
deux rotations pour :
- démontrer une propriété ;
- construire une figure ;
- déterminer un ensemble de points.
COMMENTAIRES





Les symétries orthogonales et les
translations ont été étudiées au niveau 2
en Seconde C.
La décomposition d’une translation ou
d’une rotation n’est pas au programme
de Première C et sera faite en Terminale
C.
On en compose que des transformations
de même nature, en particulier les
similitudes ne sont pas au programme
de Première C mais seront vues en
Terminale C.
En exercice, on déterminera les
expressions analytiques d’une
translation, d’une symétrie orthogonale
d’axe parallèle aux axes de coordonnées
ou d’axe la première bissectrice. La
nation d’isométrie n’est pas au
programme ; elle sera étudiée en
Terminale C.
Dans l’utilisation des composées, les
transformations et leurs composées
doivent être suggérées.
V-
GEOMETRIE ANALYTIQUE
CONTENU
Géométrie analytique du plan
 Vecteur normal à une droite.

Distance d’un point à une droite.
SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX









Déterminer un vecteur normal à une droite.
Déterminer une équation de la droite définie par un
vecteur normal et un point.
Calculer la distance d’un point à une droite
donnée.
Déterminer un repère de l’espace.
Déterminer les coordonnées d’un point dans un
repère donné.
Démontrer que deux vecteurs sont orthogonaux,
deux vecteurs sont colinéaires.
Démontrer que trois vecteurs sont coplanaires.
Utiliser les vecteurs de l’espace ou le repérage
pour :
- démontrer que quatre points sont coplanaires ;
- démontrer que deux droites sont parallèles ou
perpendiculaires ;
‘ démontrer qu’une droite est orthogonale à un
plan ;
- démontrer qu’une droite est parallèle à un plan :
- déterminer une équation cartésienne d’un plan
connaissant un point et un vecteur normal ;
- déterminer une représentation paramétrique d’une
droite connaissant un point et un vecteur directeur ;
- déterminer la position relative d’une droite et
d’un plan connaissant une représentation
paramétrique de la droite et une équation
cartésienne du plan ;
- déterminer la distance d’un point à un plan
connaissant une équation cartésienne de ce plan.

COMMENTAIRES
C’est l’occasion d’entretenir les acquis
de Seconde concernant la géométrie
analytique, mais on n’en abusera pas.
Les représentations paramétriques de
plans et les systèmes d’équations
cartésiennes de droites ne sont pas au
programme.
ACTIVITES NUMERIQUES
I-
CALCUL LITTERAL
CONTENU
Equations et inéquations du second degré
 Discriminant.
SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX




Somme et produit des solutions d’une
équation du second degré.



Interprétation graphique.
Equations et inéquations se ramenant au second
degré
 Equations et inéquation bicarrées.
 Equations et inéquations irrationnelles.
Systèmes d’équation linéaires dans IR³




Calculer le discriminant d’une équation du second
degré.
Utiliser le discriminant pour :
- prouver l’existence des solutions d’une équation
du second degré.
- factoriser un polynôme du second degré ;
- étudier le signe d’un polynôme du second degré ;
- résoudre une équation du second degré.
Utiliser la résolution des équations ou inéquations
du second degré pour résoudre des problèmes
concrets.
Déterminer deux nombres réels connaissant leur
somme et leur produit.
Utiliser la somme ou le produit des solutions d’une
équation du second degré pour déterminer une
solution connaissant l’autre.
Résoudre graphiquement une équation ou une
inéquation du second degré.
Résoudre des équation ou inéquations bicarrées.
Résoudre des équations et inéquations
irrationnelles du type : √p(x) = q(x), √p(x.) ≤q(x),
√p(x) ≤q(x).
Résoudre des systèmes de trois équations linéaires
dans IR³ ayant une solution unique :
- par la méthode de substitution ;
- par la méthode du pivot de Gaus.
COMMENTAIRES

A propos des équations ou inéquations
paramétriques du second degré éviter
toute étude exhaustive du type
« discuter suivant les valeurs de m… »
et privilégier des situations portant sur
des cas particuliers tels que :
- déterminer les valeurs de m pour que
…»

p et q sont des polynômes tels que d°(p)
≤ 2 et d°(q)≤ 1.

La méthode de pivot de Gauss se fera
sur des exemples sans théorie.
II-
ORGANISATION DES DONNEES
CONTENU
Fonctions et applications
 Restriction d’une fonction.
 Prolongement d’une fonction.
 Composée de fonctions.

Application injective.

Application subjective.

Bijection.


Bijection réciproque d’une bijection.
f étant une bijection de E sur G, f◦f‾¹ = IdG,
f‾¹◦f = IdE.
Opérations sur les fonctions numériques :
somme, produit et quotient de deux
fonctions.






COMMENTAIRES






Fonctions associées :
x→f(x-a) ; x→f(x) + b ;
x→ f(x-a) + b ; x→(-x) ; x→-f(x) ;
x→ f(x)‫׀‬.


Représentation graphique de la réciproque
d’une bijection dans un repère orthonormé.
Comparaisons de deux fonctions.
Majorant, minorant, fonction bornée.
Encadrement d’une fonction par deux
fonctions.




SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX
Déterminer la restriction d’une fonction à un
intervalle.
Déterminer un prolongement d’une fonction sur un
intervalle.
Déterminer l’ensemble de définition d’une
fonction composée.
Composer des fonctions.
Démontrer qu’une application est :
- injective,
- surjective,
Bijective.


Ecrire une fonction comme somme, produit ou
quotient de fonctions lorsque cela est possible.
Déterminer l’ensemble de définition de la somme,
du produit, du quotient de deux fonctions.
Connaissant la courbe représentative de f,
représenter graphiquement les fonctions associées :
x→ f(x-a) ; x→f(x) + b ; x→-f(x - a) + b ;
x→ f(-x) ; x→ - f(x) ; x→‫ ׀‬f(x) ‫׀‬.
La représentation graphique d’une fonction
bijective étant donnée, construire la représentation
graphique de sa bijection réciproque.
Résoudre algébriquement et graphiquement
l’inéquation (f(x) ≤ g(x).
Interpréter graphiquement l’inéquation (f(x) ≤ g(x)
(position relative des représentations graphiques de
f et g)
La construction de quelques points de la
courbe représentative de la composée de
deux fonctions se fera en activité pour
initier les élèves à des manipulations
graphiques qui seront réinvesties dans
les suites numériques.
On fera remarquer qu’une application
bijective est à la fois surjective et
injective.
Démontrer qu’une application est
injective est une occasion d’introduire la
contraposée d’une implication.
CONTENU

Parité :
- définition ;
- interprétation graphique.




Périodicité :
- définition ;
- interprétation graphique.




Axe et centre de symétrie.



Limite et continuité
 Limites des fonctions de référence : x→ k ;
x→ ab + b ; x→ xⁿ ; x→ (n є IN*) ;
x→ √x.






Théorèmes de comparaison.
Opérations sur les limites.
Limite d’une fonction en xο.
Limite à droite, limite à gauche.
Théorèmes : limite en l’infini des fonctions
polynômes et des fonctions rationnelles.
Notion d’asymptotes horizontale et verticale.
CONTENU
SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX
Démontrer qu’une fonction est paire ou impaire.
Connaissant la représentation graphique d’une
fonction paire ou impaire sur un ensemble d’étude,
la construire sur son ensemble de définition.
Conjecturer la représentation graphique d’une
fonction paire ou impaire.
Connaissant la représentation graphique d’une
fonction périodique sur un intervalle d’amplitude p
(p en étant la période) construire sa représentation
graphique sur son ensemble de définition.
Un nombre réel strictement positif p étant donné,
vérifier que p est une période d’une fonction.
Conjecturer la représentation graphique d’une
fonction périodique et en conjecturer la période.
Démontrer que la droite d’équation x = a est un
axe de symétrie de la courbe représentative d’une
fonction dans un repère orthogonal.
Démontrer qu’un point donné est centre de
symétrie de la courbe représentative d’une
fonction.
Conjecturer à partir de la courbe représentative
d’une fonction les éléments de symétrie.

Conjecturer une limite sur une représentation
graphique.

Utiliser les théorèmes de comparaison ou les
opérations sur les limites pour déterminer des
limites de fonctions.
Calculer les limites de fonctions polynômes et des
fonctions rationnelles en l’infini.
Interpréter graphique : lim f(x) = b,
lim (f(x) = ◦◦


x→●
SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX

COMMENTAIRES
Mettre en évidence l’existence de
fonctions ni paires ni impaires.

L’axe et le centre de symétrie seront
toujours donnés.

Dans l’étude introductive de la notion
de limite, on pourra utiliser la
calculatrice pour conjecturer des limites
de fonctions convenablement choisies.

L’unicité de la limite en un point fera
l’objet d’une remarque.
Pour les limites des fonctions
composées, on s’en tiendra aux
fonctions : x→ f(ax + b) où f est une
fonction de référence.
COMMENTAIRES

Continuité en un point
 Définition de la continuité en un point


Démontrer qu’une fonction est continue en un
point donné.

Les fonctions définies par raccordement
sont hors programme.

Prolonger par continuité une fonction en un point.

Tous ces théorèmes sont admis.

Calculer le nombre dérivé d’une fonction en un
point.

Déterminer une équation de la tangente à une
courbe en un point donné.

Tableau des dérivées des fonctions de
référence : x→ k, x→ ax + b,x→ xⁿ,
x→ (n є IN*), x→ √x, x→ cos x,
x→ sin x, x→ tan x.
Connaissant le nombre dérivé de f en xο, construire
la tangente à la courbe au point d’abscisse xο sans
utiliser une équation de cette tangente.

Utiliser la notion de dérivée pour résoudre des
problèmes d’optimatisation.
Opérations sur les fonctions dérivables
(somme, produit, inverse, quotient).

Déterminer la fonction dérivée d’une fonction sur
un intervalle.
Les fonctions : x→ k, x→ ax + b,
x→ xⁿ, x→
(n є IN*), x→ √x, les
fonctions polynômes et rationnelles sont
continues en tout point de leur ensemble de
défini.

Prolongement par continuité.
Dérivation
 Nombre dérivé en un point.




Interprétation graphique du nombre dérivé
en un point.
Fonctions dérivables sur un intervalle :
- définition.

Théorème (admis) donnant le sens de
variation d’une fonction dérivable sur un
intervalle à partir du signe de sa dérivée.

Extremum relatif d’une fonction.
CONTENU
Représentations graphiques de fonctions
 Fonctions polynômes de degré inférieur ou
égal à trois.

Fonctions homographiques.

Fonctions du type x→ ax + b +

Notion d’asymptote oblique.
SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX



Représenter graphiquement les fonctions
polynômes de degré inférieur ou égal à trois.
Représenter graphiquement les fonctions
homographiques.
Représenter graphiquement les fonctions du type
x→ ax + b +
Donner l’allure de la représentation graphique
d’une fonction à partir de son tableau de
variation.
Dresser le tableau de variation d’une fonction à
partir de sa représentation graphique.
Démontrer qu’une droite donnée est asymptote
oblique à la représentation graphique d’une
fonction.
Interpréter graphiquement lim (f(x) – (ax + b) = 0

Calculer Card (AUB).


Utiliser un arbre de choix, un tableau, un
diagramme,… pour dénombrer.


Calculer le nombre de p-listes d’un ensemble à n
éléments.
Calculer le nombre d’arrangements à p éléments
d’un ensemble à n éléments (n ≥ p).
Calculer le nombre de permutations d’un
ensemble à n éléments.





COMMENTAIRES
Toute étude de fonction doit être guidée.

L’étude d’une fonction comprendre tous
les éléments utiles au tracé de sa
représentation graphique.
Ce thème ne concerne que les ensembles
finis.
La théorie des ensembles n’est pas au
programme.
A travers des exercices simples, établir le
lien entre :
- le nombre de p-listes et le nombre
d’applications d’un ensemble de p
éléments dans un ensemble à n éléments ;
- le nombre d’arrangements et le nombre
bijections.
L’utilisation des n !,
(n ≥ p). ne doit
pas faire l’objet de calculs formels mais
doit s’inscrire dans le cadre d’activités de
dénombrement.
Le triangle de Pascal est utilisé pour
calculer rapidement les C
La formule du binôme est hors
programme
x→◦◦
Dénombrement
 Cardinal d’un ensemble fini.



Produit cartésien.
- p-listes.
- Arrangements.
- Permutations.
- Notation factorielle.

Partition d’un ensemble.
- combinaisons.

Propriétés :

- triangle de Pascal


Utiliser à bon escient les trois notions
fondamentales : p-listes, arrangement,
combinaison.
Calculer :
(n ≥ p).



CONTENU
Suites numériques
 Définition d’une suite numérique :
- par une formule explicite ;
-par une formule de récurrence.

Suites arithmétiques et suites géométriques :
- définition ;
- expression du terme général en fonction
d’un terme quelconque et de la raison ;
- somme de n termes consécutifs.
SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX


Calculer les premiers termes d’une suite.
Représenter graphiquement les premiers termes
d’une suite numérique.

Démontrer qu’une suite est arithmétique ou
géographique.
Calculer la raison d’une suite arithmétique ou
géométrique.
Connaissant un terme quelconque et sa raison,
calculer un terme de rang quelconque.
Calculer la somme de n termes consécutifs d’une
suite arithmétique ou géométrique.



COMMENTAIRES

La convergence d’une suite n’est pas au
programme de cette classe.
CONTENU
Statistiques
 Séries statistiques représentant des
regroupements en classes.
- Effectifs cumulés.
- Fréquences cumulées.
SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX




- caractéristiques de position
- caractéristiques de dispersion : écart,
moyen, variance, écart-type.

Séries statistiques à deux caractères.
- Nuage de points.


- Ajustement linéaire.




Construire l’histogramme d’une série statistique
représentant un regroupement en classes données,
d’amplitudes différentes.
Déterminer les effectifs, les fréquences, les
effectifs cumulés, les fréquences cumulées d’une
série statistique regroupée en classes.
Construire les polygones correspondant aux
effectifs cumulés et aux fréquences cumulées.
Une série statistique représentant un
regroupement en classes étant donnée ;
- déterminer une classe modale ;
- déterminer la médiane :
- graphiquement,
- algébriquement (interpolation linéaire) ;
- calculer la moyenne ;
- calculer l’écart moyen, la variance et l’écarttype ;
- interpréter ces paramètres.
Représenter une série statistique à deux
caractères par un nuage de points.
Représenter une série statistique à deux
caractères par un tableau à double entrée.
Calculer la covariance et le coefficient de
corrélation linéaire.
Déterminer les droites d’ajustement linéaire (les
droites de régression) par la méthode des
moindres carrés.
Construire les droites d’ajustement linéaire.
Apprécier la fiabilité d’une estimation en
fonction du coefficient de corrélation.
COMMENTAIRES

Les classes ne sont pas nécessairement de
même amplitude.

L’élève a déjà travaillé sur ces notions
dans le cas des séries à variables
discrètes. On lui fera remarquer qu’il
suffit ici de remplacer dans les calculs les
modalités par les centres des classes.

Ces séries seront étudiées sur des
exemples concrets.

Détermination des droites d’ajustement
linéaire (lorsque le nuage de points le
suggère) par la méthode des moindres
carrés sera privilégiée en première C.
PROGRAMME DE PREMIERE D
Octobre 1998
I-
GEOMETRIE DE L’ESPACE
CONTENU
Droites orthogonales
Droites et plans orthogonaux
 Propriétés.



Orthogonalité et parallélisme.
Plans perpendiculaires

Projection orthogonale sur un plan
 Image d’un point, d’une droite, d’un
segment.


Propriété de l’image du milieu d’un
segment.
SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX
Sur une configuration donnée ;
- conjecturer deux droites orthogonales ;
- justifier que deux droites sont orthogonales.
Sur une configuration donnée :
- conjecturer l’orthogonalité d’une droite et d’un
plan ;
- justifier qu’ne droite et un plan, ou deux droites
ou deux plans sont parallèles.
Sur une configuration donnée :
- conjecturer la perpendicularité de deux plans ;
- justifier que deux plans sont perpendiculaires.
Sur un pavé droit déterminer le projeté de points,
de droites, de segments.


COMMENTAIRES
On visualisera les définitions et les
propriétés de l’espace à l’aide de solides,
de maquettes et de l’environnement de
l’élève.
Les dessins seront effectués en
perspective cavalière mais aucune théorie
sur ce point n’est à développer.
II-
TRIGONOMETRIE
CONTENU
Mesures d’un angle orienté
 Relation de Chasles.

Ensemble de mesures
SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX



Fonctions sinus, cosinus, tangente
 Définition du sinus, du cosinus, de la
tangente d’un nombre réel.

Propriétés du sinus, du cosinus, de la
tangente d’angle orientés associés.

Représentation graphique des fonctions
sinus, cosinus et tangente.
Equations trigonométriques






Formules usuelles de transformation
 Formules d’addition.

Formules de duplication.

Réduction de a cos x + b sin x.


Déterminer la mesure principale d’un angle
orienté dont on connaît une mesure.
Utiliser la relation de Chasles pour déterminer
une mesure de la somme de deux angles orientés.
Justifier que deux nombres réels donnés sont des
mesures d’un même angle orienté.
Déterminer le sinus, le cosinus, la tangente d’un
nombre réel.
Utiliser les lignes trigonométriques des angles
associés pour :
- calculer de nouvelles mesures ;
- transformer des expressions trigonométriques.
Résoudre graphiquement les inéquations
trigonométriques du type : cos x ≤ a, sin x ≤b,
tan ≤ c (a, b, c sont des nombres réels donnés).
a étant un nombre réel donné, résoudre dans IR
les équations du type : cos x = cos a, sin x = sin a,
tan x = tan a.
Résoudre dans IR les équations du type ;
cos x = a, sin x = b, tan x = c (a, b, et c sont des
nombres réels donnés).
Représenter sur le cercle trigonométrique les
points images des solutions d’équations
trigonométriques.
COMMENTAIRES

Les mesures des angles orientés sont
exprimées en radians.

On entraînera les élèves à retrouver ces
formules d’angles orientés a l’aide du
cercle trigonométrique ou d’une figure.

,on pourra à cette occasion résoudre
quelques équations trigonométriques se
ramenant aux cas ci-contre.

Utiliser les formules d’addition et de duplication
pour :
- calculer des lignes trigonométriques ;
- transformer des expressions trigonométriques.
Résoudre l’équation a cos x + b sin x + c = 0
(a # 0 et b # 0).
III-
OUTIL VECTORIEL
CONTENU
Barycentre de 2 ou 3 points pondérés
 Barycentre de 2 points pondérés.

Barycentre de 3 points pondérés.
- Barycentre partiel.

Isobarycentre :
- caractérisation vectorielle du milieu d’un
segment ;
- caractérisation du centre de gravité d’un
triangle.

Coordonnées du barycentre.
IV-
SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX





Construire le barycentre de 2 ou 3 points
pondérés donnés.
A partir d’une écriture vectorielle, nommer un
barycentre.
Justifier qu’un point donné est barycentre de 2 ou
3 points pondérés donnés.
Soit A, B et G trois points alignés.
Déterminer des nombres réels a et β pour que G
soit barycentre des points pondérés (A, a) et (B,β)
COMMENTAIRES

Mettre en œuvre la notion de barycentre
dans des problèmes concrets.
Calculer les coordonnées d’un barycentre dans un
repère donné.
TRANSFORMATIONS DU PLAN
CONTENU
Homothétie – Rotation
 Translation.

Homothétie.

Rotation.

Composée d’homothétie de même centre.

Composée de rotations de même centre.
SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX

Utiliser l’homothétie ou la rotation pour :
- démontrer des propriétés ;
- résoudre des problèmes de construction ;
- déterminer des lieux géométriques.

Construire l’image d’un point, d’un segment,
d’une droite, d’un triangle par la composée de
deux homothéties de même centre ou de deux
rotations de même centre.
Utiliser les propriétés, pour justifier un résultat.


Reconnaître des images de points par la
composée de deux homothéties de même centre
ou de deux rotations de même centre sur des
configurations données.
COMMENTAIRES

Renforcer les savoir-faire de niveau 1 vus
en seconde en ajoutant les savoir-faire de
niveau 2.
ACTIVITES NUMERIQUES
I-
CALCUL LITTERAL
CONTENU
Equation et inéquation du second degré
 Discriminant.


SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX

Utiliser le discriminant pour :
- résoudre une équation du second degré ;
- étudier le signe d’un polynôme du second
degré ;
- factoriser un polynôme du second degré.
Somme et produit des solutions d’une
équation du second degré.

Utiliser la somme ou le produit des solutions
pour trouver une solution connaissant l’autre.
Déterminer deux nombres connaissant leur
somme et leur produit.
Interprétation graphique.


Résoudre une inéquation du second degré.
Résoudre graphiquement une équation ou une
inéquation de second degré.



Equation et inéquation irrationnelles
Systèmes de 3 équations linéaires dans IR³
Système d’inéquations dans IR³

COMMENTAIRES

On préférera la terminologie « zéro »
d’un polynôme à « racine » d’un
polynôme.
Résoudre une équation du type : √p(x) = q(x).
Résoudre une inéquation du type : √p(x) ≤ q(x).

P et q sont des polynômes tels que d°(p)≤
2 et d°(q) ≤ 1.
Résoudre un système de trois équations linéaires
dans IR³, ayant une unique solution.

Aucune théorie sur la méthode du pivot
de Gauss n’est exigible.
On privilégiera la méthode de
triangularisation (ou trigonalisation).


On traitera 1 ou 2 problèmes de
programmation linéaire sans exigence de
savoir-faire.
II-
ORGANISATION DES DONNEES
CONTENU
Généralités sur les fonctions
 Restriction d’une fonction : définition.
 Comparaison de deux fonctions.
SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX


Comparer deux fonctions définies par leurs
représentations graphiques.
Comparer deux fonctions définies par leurs
formules explicite.
Déterminer les extremums relatifs d’une fonction à
l’aide de sa représentation graphique.
Interpréter graphiquement l’inéquation, f(x) ≤ g(x)
(positions relatives des représentations graphiques
de f et g).


Extremums relatifs.
Opérations sur les fonctions : somme,
produit, quotient de deux fonctions.


Composition de deux fonctions : ensemble
de définition.

Bijection, bijection réciproque,
représentation graphique de la bijection
réciproque d’une bijection dans un repère
orthonormé.


Représentation graphique des fonctions
associées : x→ f(x – b) ; x→ f(x) + b ;
x→ f(x – a) +b . x→ f(-x) ; x→ - f(x) ;
x→ ‫׀‬f(x)‫׀‬.

Connaissant la courbe représentative de f,
représenter graphiquement les fonctions associées :
x→ f(x – a) ; x→ f(x) + b ;
x→ f(x – a) + b ; x→ f(-x) ; x→ - f(x) ;
x→ ‫ ׀‬f(x)‫׀‬.

Parité :
- définition ;
- interprétation graphique.


Démontrer qu’une fonction est paire ou impaire.
Connaissant la représentation graphique d’une
fonction paire ou impaire sur un ensemble d’étude,
la construire sur son ensemble de définition.
Conjecturer la représentation graphique d’une
fonction paire ou impaire.





COMMENTAIRES
Déterminer l’ensemble de définition de la
composée de deux fonctions.
Déterminer la formule explicite de la composée de
deux fonctions.

Dans les composées de deux fonctions,
on se limitera à des fonctions simples.

On limitera les choix de la fonction f aux
fonctions de référence. Dans le cas
contraire, on fournira la courbe
représentative de f.

Mettre en évidence l’existence de
fonctions ni paires ni impaires.
Conjecturer la représentation graphique d’une
bijection.
Construire la courbe représentative de la bijection
réciproque d’une bijection dans un repère
orthonormé.

CONTENU
Périodicité :
- définition
- interprétation graphique




Axe et centre de symétrie.



Limite et continuité
 Approche intuitive de la notion de limite
finie et infinie.

Opérations sur les limites.

Limites de fonctions de référence.

Continuités d’une fonction en un point.



SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX
Connaissant la représentation graphique d’une
fonction périodique sur un intervalle d’amplitude p
(p en étant la période) construire sa représentation
graphique sur son ensemble de définition.
Un nombre réel strictement positif p étant donné,
vérifier que p est une période d’une fonction f.
Conjecturer la représentation graphique d’une
fonction périodique et en conjecturer une période.
COMMENTAIRES
Démontrer que la droite d’équation x = a est un
axe de symétrie de la courbe représentative d’une
fonction dans un repère orthogonal.
Démontrer qu’un point donné est centre de
symétrie de la courbe représentative d’une
fonction.
Conjecturer à partir de la courbe représentative
d’une fonction les éléments de symétrie.

L’axe et le centre de symétrie seront
toujours donnés.
Justifier qu’une fonction est continue en un point.
Conjecturer graphiquement qu’une fonction est
continue en un point ou non.
Utiliser les opération sur les limites pour calculer
les limites éventuelles de certaines fonctions.

La calculatrice peut être une aide pour
l’approche intuitive de la notion de limite.
CONTENU
Dérivée
 Fonction dérivable en un point, nombre
dérivé.
 Interprétation géométrique du nombre
dérivé, équation de la tangente.






Fonction dérivable sur un intervalle ouvert.
Fonctions dérivées des fonctions de
référence.
Opérations sur les fonctions dérivables
(somme, produit, inverse, quotient).
Fonction dérivée de la fonction
x→ f(ax + b) où f est une fonction de
référence.
Lien entre le signe de la dérivée et le sens de
variation d’une fonction sur un intervalle.
Lien entre dérivée et extremum.
Extension de la notion de limite
 Limite à l’infini d’une fonction polynôme,
d’une fonction rationnelle.
 Asymptotes verticales et horizontales.
Etude et représentation graphique d’une fonction
 Fonctions polynômes de degré inférieur ou
égal à 3.

Fonctions rationnelles :
- fonctions homographiques ;
- fonctions du type x→ ax + b +

Asymptotes obliques.
SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX








Calculer le nombre dérivé d’une fonction en un
point ;
Déterminer une équation de la tangente.
Construire la tangente en un point de la courbe
représentative d’une fonction sans utiliser une
équation de la tangente.
Déterminer la fonction dérivée d’une fonction sur
un intervalle.
x→ xⁿ (n є IN*) ;
x→ ;
x→ cos x ;
x→ sin x ;
x→ tan x ;
x→

(n є IN*) ;
On ne demandera pas de justifier qu’une
fonction est dérivable sur un intervalle.


Démontrer qu’une droite donnée est asymptote
verticale ou horizontale à une représentation
graphique d’une fonction donnée.

Une fonction polynôme ou rationnelle f étant
donnée par une formule explicite, déterminer,
après avoir trouvé son ensemble de définition :
- le tableau de variation de f ;
- les extremums relatifs éventuels de f ;
- les asymptotes verticales ou horizontales à la
courbe de f.
Utiliser les représentations graphiques des
fonctions f et g pour résoudre graphiquement des
équations ou des inéquations du type : f(x) = gx),
f(x) ≤ g(x).

x→√x ;
Utiliser les opérations sur les fonctions dérivables
et les dérivées des fonctions de référence pour
calculer des fonctions dérivées.
Utiliser le signe de la dérivée d’une fonction pour
déterminer son sens de variation sur un intervalle
donné.
Utiliser la dérivée pour chercher un extremum
d’une fonction.
COMMENTAIRES
Les fonctions de référence considérées ici
sont les suivantes :
x→ ax + b ;

Lorsque la fonction est paire ou impaire,
on le suggérera à l’élève.
CONTENU
Suites numériques
 Définition.
 Suite déterminée par :
- une formule explicite ;
- une formule de récurrence.
 Suites arithmétiques, suites géométriques.
- Expression du terme général en fonction
d’un terme quelconque et de la raison.
- Somme de n termes consécutifs.
SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX





Dénombrement
 Card(A B) = Card(A) + Card(B) –
Card(A ).
 Card (A x B) = Card (A) x Card (B).
 Card (Ap) = (Card A)p, P є IN*.
 Listes à p éléments : p-listes.
 Nombre de p-listes d’un ensemble à n
éléments (répétition) : n°
 Nombre de p-listes d’un ensemble à n
éléments (sans répétition) ou parrangements) : A ,
 Nombre de combinaisons à p éléments d’un
ensemble à n éléments (n ≥ p) :
Calculer les premiers termes d’une suite.
Représenter graphiquement les premiers termes
d’une suite.
Justifier qu’une suite est arithmétique,
géométrique.
Déterminer ma raison d’une suite arithmétique ou
géométrique.
Calculer une somme de termes consécutifs d’une
suite arithmétique, géométrique.

Utiliser ces égalités pour résoudre des problèmes
de dénombrement.

Utiliser un arbre de choix, un tableau, un
diagramme, … pour dénombrer.

Résoudre un problème de dénombrement en
justifiant la démarche.
COMMENTAIRES


Les suites arithmétiques et géométriques
doivent être introduites à partir de
problèmes concrets (économie,
démographie, biologie, etc).
La convergence d’une suite est hors
programme.
CONTENU
Statistiques
 Séries statistiques regroupées en classes.

SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX

Représentation graphique : histogramme,
courbe cumulative, polygones des effectifs et
des fréquences.


Classes modales.


Caractéristiques :
- de position ( moyenne, médiane ) et de
dispersion (variance, écart-type) ;
- des séries statistiques regroupées en
classes.



Regrouper les modalités en classes données,
d’amplitudes différentes.
Construire l’histogramme des effectifs et des
fréquences d’une série statistique regroupée en
classes d’amplitudes différentes.
Construire des courbes cumulatives.
Construire des polygones des effectifs et des
fréquences.
Déterminer une classe modale d’une série
statistique regroupée en classes d’amplitudes
différentes.
Calculer les paramètres de position et de dispersion
d’une série statistique regroupée en classes.
COMMENTAIRES

Les séries statistiques à deux caractères
sont hors programme.