FONCTIONS I) Fonction [ ]

FONCTIONS
I) Fonction
Définition : Définir une fonction f sur un intervalle [a ; b], c'est donner un procédé qui, à tout nombre x de l'intervalle
[a ; b], associe un et un seul nombre réel noté f(x).
Remarques : f(x) se lit « f de x » et x s’appelle la variable.
Notations : On note parfois la fonction f de la façon suivante f : [ a; b] → ¡ où « x a f ( x) » se lit « à x, associe f de x ».
x a f( x )
Définitions : Soit f une fonction définie sur l’intervalle [a ; b].
• L’intervalle [a ; b] s’appelle l’ensemble de définition de la fonction f.
• Le réel f(x) s’appelle l’image de x par la fonction f.
• Soit y un nombre réel. La (ou les) valeur(s) de la variable x qui ont pour image y par f, c’est-à-dire telles que f(x) = y,
s’appelle(nt) le (ou les) antécédents de y par f.
1) Fonction définie par une formule
Exemple : « soit la fonction f définie sur [−4 ; 4] par f ( x ) = x2 + 1 » signifie que la fonction f va associer à chaque nombre x de
l’intervalle [−4 ; 4], le nombre f (x) calculé par la formule f ( x ) = x2 + 1 .
[−4 ; 4] est l’ensemble de définition de la fonction f.
a) Calcul d’images
Pour calculer l’image de 3 par f notée f(3), il suffit de remplacer x par 3 dans la formule de f(x). On obtient : f(3) = 10, car
3 2 + 1 = 10 ( f(3) = 10 se lit « f de 3 égale 10 »). L’image de 3 par f est 10.
b) Calcul d’antécédents
Pour déterminer les antécédents de 5 par f, c’est-à-dire les valeurs de x telles que f(x) = 5, on pose l’équation f(x) = 5. On
obtient x 2 + 1 = 5 ; x 2 − 4 = 0 ; ( x + 2)( x − 2) = 0 , d’où x = .2 ou x = 2. Les antécédents de 5 par f sont .2 et 2.
2) Fonction donnée par sa courbe ou représentation graphique
Définitions : Soit f une fonction définie sur l’intervalle [a ; b].
• La représentation graphique Bf ou courbe représentative de f dans un repère est l’ensemble des points de
coordonnées (x ; f(x)) où x est dans l’intervalle [a ; b].
• La représentation graphique Bf de f a alors pour équation y = f(x).
images
Conséquences :
• Un nombre x et son image f(x) sont représentés par le point M
de coordonnées ( x ; f(x) ).
‚ Les valeurs x se représentent en abscisses.
ƒ Les valeurs de f(x) se représentent en ordonnées.
„ Dire qu’un point M de coordonnées (xM ; y M) appartient à Bf
revient à dire que : son abscisse xM est dans [a ; b] et y M = f(xM) ;
l’ordonnée de M est égale à l’image de son abscisse par f.
y = f(x)
f(x)
N(−2 ;1)
Sur l’exemple ci-contre, la fonction f est définie sur l’intervalle
[−3 ; 3].
Le point N(−2 ; 1) appartenant à C f , on a : f(−2) = 1.
M(x ; f(x))
1
antécédents
O
1
x
Cf
Fonctions 1/3
LECTURE D'IMAGE
LECTURE D'ANTECEDENTS
Points d'intersection de C f
avec la droite horizontale
images
f(x)
2
3
y
1
Cf
.4
antécédents
O
x
1
1
.4 a pour image 2
x1
Cf
a pour image
−2
x3
x2 0
3 a pour antécédent −2 ou
−2 est l’antécédent de 3
Pour lire l'image de x :
• on place x sur l'axe des abscisses ;
• on se déplace verticalement pour rencontrer la courbe C f ;
• on se déplace horizontalement vers l'axe des ordonnées pour
lire l'image f(x).
Pour lire les antécédents de y par f :
• on place y sur l'axe des ordonnées ;
• on trace une horizontale passant par cette valeur ;
• à partir des points d'intersection de cette droite avec C f , on
se déplace verticalement vers l'axe des abscisses pour lire les
antécédents.
3) Fonction donnée par un tableau de valeurs
x
f(x)
−1
−1,4
−0,8
−1,6
−0,6
−1,8
−0,4
−2
−0,2
−2
0
−1,8
0,2
−1,6
0,4
−1,2
0,6
0
0,8
0,6
Le tableau donne la correspondance entre un nombre x et son
image f(x).
Sur le tableau de notre exemple :
• −0,6 a pour image −1,8 ce qui peut s’écrire f(−0,6) = −1,8 ;
• le réel −2 a deux antécédents −0,4 et −0,2.
1
1,4
Cf
1
O
1
Remarque : en plaçant les 11 points de coordonnées ( x ; f(x) )
dans un repère, on obtient une esquisse de la courbe
représentant la fonction f sur l’intervalle [−1 ; 1]. Pour avoir plus
de précision, il faudrait disposer de plus de valeurs...
II) Sens de variation ; tableau de variation
1) Fonction croissante
Exemple 1 : f est croissante sur l'intervalle [−2 ; 4] .
Cf
f(x1) < f(x2)
(4 ; 5)
f(x2 )
x
−2
4
5
Variation de
f
−4
f(x1 )
−2
O
x1
<
x2
4
Remarque : Lorsque les valeurs de x augmentent, les valeurs de f(x)
augmentent.
( −2 ;−4)
Fonctions 2/3
Définition : Dire que f est une fonction croissante sur l’intervalle [a ; b] signifie que pour tous réels x1 et x2 de [a ; b] :
si x1 < x2 alors f(x1) < f(x2).
Remarque : Une fonction croissante conserve l’ordre ; en effet l’inégalité ne change pas de sens quand on passe aux images.
2) Fonction décroissante
Exemple 2 : g est décroissante sur l'intervalle [−3 ; 3] .
−3
3
x
(−3 ; 3)
3
Variation de
g
Cg
x1
−3
<
−4
x2
O
3
Remarque : Lorsque les valeurs de x augmentent, les valeurs de f(x)
diminuent.
g(x1)
g(x2 )
(3 ;−4)
g(x1 ) > g(x2)
Définition : Dire que f est une fonction décroissante sur l’intervalle [a ; b] signifie que pour tous réels x1 et x2 de [a ; b] :
si x1 < x2 alors f(x1) > f(x2).
Remarque : Une fonction décroissante inverse l’ordre ; en effet l’inégalité change de sens quand on passe aux images.
III) Extremum d'une fonction
Exemple 3 : Sur l'intervalle [−3 ; 4], la fonction h admet un
minimum pour x = 1. Ce minimum vaut h(1) = −2.
Exemple 4 : Sur l'intervalle [−4 ; 3], la fonction k admet un
maximum pour x = −1. Ce maximum vaut k(−1) = 4.
( −3 ; 5)
( −1 ; 4)
4
Ch
(4 ; 2)
C
k
−4
O
O
−3
−2
1
−3
5
(−4 ;−1)
4
(1 ; −2)
(3 ;−5)
h est une fonction décroissante sur l'intervalle [−3 ; 1] et
croissante sur l'intervalle [1 ; 4].
x
3
1
4
k est une fonction croissante sur l'intervalle [−4 ; −1] et
décroissante sur l'intervalle [−1 ; 3]
x
−4
2
Variation de
h
−1
3
4
Variation de
k
−2
−1
−5
Définitions :
• Dire que f(c) est le minimum de f sur l’intervalle [a ; b] signifie que f(c) est la plus petite valeur de la fonction sur l’intervalle
[a ;b] : pour tout x de [a ; b], f(x) ? f(c).
• Dire que f(d) est le maximum de f sur l’intervalle [a ; b] signifie que f(d) est la plus grande valeur de la fonction sur l’intervalle
[a ;b] : pour tout x de [a ; b], f(x) ; f(d).
Fonctions 3/3