Exercices d`annales sur les nombres complexes Terminale STI GE

Exercices d’annales sur les nombres complexes
Terminale STI GE
L’exercice 1 sera traité le 26/01
L’exercice 2 sera traité le 19/01
L’exercice 3 : 1) et 2) à faire pour le 20/01. L’exercice sera fini le 20/01
L’exercice 4 sera traité le 20/01
L’exercice 5 est à faire en devoir à la maison pour le 19/01
E XERCICE 1
5 points
³ →
− →
−´
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct O, u , v .
π
On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d’argument .
2
p
1. Soit A le point d’affixe z A = 1 + i 3.
a. Déterminer le module et un argument du nombre complexe
zA .
b. Écrire le nombre complexe z A sous la forme r eiθ où r est un
nombre réel strictement positif et θ un nombre réel compris
entre −π et π.
³ →
− →
−´
c. Placer le point A dans le repère O, u , v en prenant comme
unité graphique 2 cm.
π
2. Soit B l’image du point A par la rotation de centre O et d’angle .
3
On appelle z B l’affixe du point B.
a. Déterminer l’écriture du nombre complexe z B sous la forme
r eiθ (où r est un nombre réel strictement positif et θ un nombre
réel compris entre −π et π).
b. Écrire le nombre complexe z B sous forme algébrique.
³ →
− →
−´
c. Placer le point B dans le repère O, u , v .
3. Montrer que le triangle AOB est équilatéral.
π
4. Soit C le point d’affixe z C = z A ei 4 .
a. Par quelle transformation géométrique le point C est-il l’image
du point A ? Préciser les éléments caractéristiques de cette
transformation.
³ →
− →
−´
b. Placer le point C dans le repère O, u , v .
c. Écrire le nombre complexe z C sous forme trigonométrique.
Ãp
p !
2
2
.
+i
d. Établir que z C = z A
2
2
En déduire l’écriture du nombre complexe z C sous forme algébrique.
7π
e. Déduiree des resultats précédents les valeurs exactes cos
12
7π
et de sin .
12
1
E XERCICE 2
5 points
π
On note i le nombre complexe de module 1 et d’argument .
2
Partie A
³ →
− →
−´
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal O, ı ,  .
On prendra pour unité graphique 2 cm sur chaque axe.
Soit P le polynôme défini par :
P (z) = z 3 − z 2 − 2z − 12
1.
2.
a. Calculer P (3). Que peut-on en déduire pour le polynôme P ?
¡
¢
b. Déterminer les réels a, b et c tels que P (z) = (z−3) az 2 + bz + c .
a. Résoudre dans l’ensemble C des nombres complexes l’équation :
z 2 + 2z + 4 = 0.
b. En déduire les solutions de l’équation P (z) = 0 dans l’ensemble C des nombres complexes.
Partie B
Soit A, B, C et D les points du plan complexe d’affixes respectives :
³ p ´
p
−2i π3
z A = −1 + i 3 ; z B = 2e
; zC = 3 − 3 3 i ; zD = 3
1.
a. Calculer le module et un argument de z A puis écrire z A sous
forme trigonométrique.
b. Écrire z B sous forme algébrique.
2. Placer sur la feuille
de papier
millimétré les points A, B, C et D
³ →
− →
−´
dans le repère O, ı ,  .
−−→ 3 −−→
a. Montrer que : DC = AB .
2
b. En déduire la nature du quadrilatère ABCD.
E XERCICE 3
6³ points ´
→
− →
−
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct O, u , v
d’unité graphique 1 cm. On désigne par i le nombre complexe de moπ
dule 1 et d’argument .
2
1. Résoudre dans l’ensemble C des nombres complexes l’équation :
p
z 2 − 4z 3 + 16 = 0.
2. On considère les points A, B et C d’affixes respectives :
p
p
π
z A = 2 3 + 2i z B = 2 3 − 2i et z C = 4e−i 2 .
a. Donner la forme algébrique du nombre complexe z C .
b. Determiner le module et un argument de chacun des nombres
complexes z A , z B et z C .
c. En déduire que les points A, B et C appartiennent à un cercle
de centre O dont on précisera le rayon.
³ →
− →
−´
d. Placer les points A, B et C dans le repère O, u , v .
2
e. Démontrer que le triangle ABC est un triangle isocèle.
3. On considère la rotation r de centre O qui transforme A en B.
zB
π
a. Vérifier que
= e−i 3 . En déduire l’angle θ de la rotation r .
zA
b. Préciser alors la nature du triangle OAB.
c. Établir que le point C est l’image du point B par la rotation r .
d. Préciser la nature du quadrilatère OABC.
E XERCICE 4
5 points
³ →
− →
−´
Le plan complexe est muni du repère orthonormal O, u , v d’unité
graphique 2 cm.
1. Soient A et C deux points
! Ãcomplexe,
! d’affixes respectives
à p du plan
p
3 1
3 1
−
+ i.
+
z A = −1 + i et z C =
2
2
2
2
a. Déterminer le module de z A et le module de z C .
b. Donner un argument de z A .
2.
p
zC
1−i 3
a. On pose Z = . Démontrer que Z =
.
zA
2
π
b. Démontrer que Z = e−i 3 .
c. En déduire que le point C est l’image du point A par la rotaπ
tion de centre O et d’angle − (en radian).
3
3. Placer le point A puis construire le point C en utilisant le résultat
de la question précédente. Décrire la construction.
Toute rédaction, même partielle, sera prise en compte dans l’évaluation.
−−→
4. Soit B l’image du point O par la translation de vecteur CA .
Construire le point B et démontrer que OCAB est un losange.
3
E XERCICE 5
5 points
π
On note i le nombre complexe de module 1 et d’argument .
2 ³
→
− →
−´
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct O, u , v ,
unité graphique : 3 cm.
1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation
³
p ´¡
¢
iz + 1 + i 3 z 2 − 2z + 4 = 0,
et donner les solutions sous la forme algébrique.
2. On considère les nombres complexes
p
p
a = 1 + i 3 et b = − 3 + i
et on appelle A et B les points d’affixes respectives a et b.
a. Déterminer la forme trigonométrique de a et b.
³ →
− →
−´
b. Construire les points A et B dans le repère O, u , v .
c. Démontrer que le triangle OAB est rectangle isocèle.
d. Soit K le milieu du segment [AB]. Placer K et déterminer son
affixe k.
3. On considère le complexe
p
p
c = (1 − 3) + i(1 + 3),
et on appelle C le point du plan d’affixe c.
a. Montrer que K est le milieu du segment [OC] puis placer C.
b. Démontrer que le quadrilatère OACB est un carré.
4