OG SD 2017 - Mathématiques Télécharger: Format pdf

CONCOURS SUR ÉPREUVES D’ADMISSION
À L’ÉCOLE DES OFFICIERS DE LA
GENDARMERIE NATIONALE
ouvert aux sous-officiers de carrière de gendarmerie titulaires d'une licence de l'enseignement
supérieur général
ou technologique, d’un autre titre ou diplôme
classé au moins au niveau II,
d'un titre ou diplôme reconnu comme équivalent à ces derniers
ou d'un titre professionnel dont la liste est établie
par arrêté du ministre de l'intérieur
- OG SD SESSION 2017
ÉPREUVE À OPTION : MATHÉMATIQUES
(Durée : 03 heures – Coefficient : 15 - Note éliminatoire < 5/20)
Toutes les calculatrices sont autorisées, y compris programmables, alphanumériques ou à écran
graphique, à condition que leur fonctionnement soit autonome (pas de connexion) et qu'il ne soit pas
fait usage d'imprimante.
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Exercice n° 1
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O , ⃗
u,⃗
v ) (unité graphique: 2 cm).
On considère les points A, B et C d'affixes respectives:
3
√3 ; z = z ; z = − 3.
z A =− + i
B
A
C
2
2
Partie 1
1° ) Dessiner les points A, B et C dans le repère (O ,⃗
u,⃗
v ).
2° ) Démontrer que le triangle ABC est équilatéral.
3 ° ) Ecrire les nombres complexes z A ; z B et zC sous forme exponentielle.
Partie 2
1
Soit f l'application qui, à tout point M du plan d'affixe z , associe le point M' d'affixe z '= ⋅i⋅z ².
3
On note A', B' et C' les points respectivement associés par f aux points A, B et C.
1° )a) Déterminer la forme exponentielle des affixes des points A', B' et C'.
b ) Démontrer l'alignement des points O, A et B' ainsi que celui des points O, B et A'.
c )Placer les points A', B' et C' dans le repère (O , ⃗
u,⃗
v ).
2° )Déterminer les points invariants par f , c'est-à-dire les points M d'affixe z tels que z '=z .
On donnera leurs affixes sour la forme algébrique.
3 °)Démontrer que si M appartient à la droite (AB) alors M' appartient à la parabole d'équation :
1
3
y=− x ² + .
3
4
Tracer cette parabole dans le repère (O , ⃗
u ,⃗
v ).
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Exercice n° 2
Lors d’un gala de base-ball, un batteur est soumis à un certain nombre de lancers.
Des expériences précédentes ressortent les éléments suivants :
• si le batteur a réussi à frapper la balle lors du nième lancer, la probabilité qu’il réussisse sa
frappe lors du lancer suivant (le n+1ième lancer) est de 0,8 ;
• si le batteur a laissé passer la balle lors du nième lancer, la probabilité qu’il réussisse sa
frappe lors du lancer suivant est de 0,6 ;
• enfin la probabilité qu’il réussisse sa frappe lors du 1er lancer est de 0,85.
Conventions de notation :
Dans tout l’exercice, si E et F sont des événements, on notera :
- p(E) la probabilité de l’événement E,
- E l’événement contraire de E,
- PF (E) la probabilité conditionnelle de l’événement E sachant que F est réalisé.
Pour la suite de l’exercice, nous définissons An comme l’événement « le batteur réussit à frapper la
balle lors du nième lancer ».
1° )a) Donner pour n≥1, les valeurs de p A ( A n+1 ) et p A (A n+1 ).
n
n
b ) Exprimer p( An +1∩ An ) et p( A n+1∩ A n) en fonction de p( An ).
c )En déduire que, pour tout entier n≥1 , on a : p( A n+1 )=0,2 p ( A n )+ 0,6 .
2° )On pose à présent, pour n≥1, pn= p( A n) et un= pn −0,75 .
a ) Démontrer que (u n) est une suite géométrique de raison 0,2 ; c'est-à-dire que l'on a:
u n=u1⋅(0,2)(n−1) , pour tout entier n≥1 .
b ) En déduire une expression de pn en fonction de n.
c )Montrer que ( pn ) admet une limite que l'on calculera lorsque n→+∞ .
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Exercice n° 3
Partie 1
On considère la fonction numérique g définie sur ]0 ;+∞[ par : g( x)=x ²−2⋅ln (x).
1 °)Etudier le sens de variation de g .
2 °)En déduire le signe de g (x )sur ]0 ;+∞[ .
Partie 2
x (1+ln(x ))
On considère la fonction numérique f définie sur ]0 ;+∞[ par : f ( x)= +
.
2
x
On appelle(C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O , ⃗i , ⃗j ).
1° )Déterminer la limite de f en 0 . Interpréter graphiquement le résultat.
2° )a) Déterminer la limite de f en +∞ .
x
b ) Déterminer sur ]0 ;+∞[ , la position de (C ) par rapport à la droite (Δ) d'équation y = .
2
Montrer en particulier que ( Δ) coupe (C ) en un point A que l'on déterminera.
3 ° )Etudier le sens de variation de f .
Dresser le tableau de variation de f .
4 ° )Montrer qu'il existe un point B, et un seul, de la courbe(C)où la tangente (T ) à ( C)est parallèle à ( Δ).
Préciser les coordonnées de B.
5 ° )Montrer que l'équation f (x )=0 a une solution unique α .
Justifier l'encadrement: 0,34<α <0,35 .
Partie 3
On considère la suite numérique (x n) définie par x n =e
n −2
2
pour tout nombre entier naturel n .
1° )a) Montrer que (x n) est une suite géométrique; c'est-à-dire que l'on a:
x n=x 0⋅q(n) pour tout entier n, où l'on déterminera x 0 et q .
b ) Montrer que (x n ) est une suite croissante.
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x n+ 1
(
2° )Pour tout entier naturel n , on pose : an = ∫ f ( x )−
xn
x
dx .
2
)
a ) Donner une interprétation graphique de an .
2 n+1
, pour tout nombre entier naturel n.
8
En déduire que (an ) est une suite arithmétique; c'est-à-dire que l'on a:
a n=a 0+ n⋅r pour tout entier naturel n , où l'on déterminera a 0 et r .
b ) Montrer que a n=
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