Probabilités, cours, première S - MathsFG

Probabilités, cours, classe de première S
Probabilités, cours, première S
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Expériences aléatoires
Dénitions :
• Une expérience est dite
lorsqu'elle a plusieurs issues aussi
possibles dont on ne peut pas prévoir laquelle
aléatoire
appelées éventualités
sera réalisée.
• L'ensemble de toutes les éventualités constitue
possibles.
l'univers
de tous les
Remarque :
On ne considèrera dans ce cours que des univers constitués d'un ensemble ni d'issues possibles.
Exemple :
Le lancer d'un dé à six faces constitue une expérience aléatoire d'issue xi pour i allant de 1 à 6 et
correspondants à la sortie de la face i du dé. Il y a donc 6 issues ou éventualités possibles.
Dénition :
Soit E = {x1 ; x2 ; . . . ; xr } l'ensemble des issues d'une expérience aléatoire,
on dénit une loi de probabilité sur E en associant à chaque issue xi un
nombre pi tel que :
• pour tout entier i tel que 0 6 pi 6 1 ;
• p1 + p2 + . . . + pn = 1.
pi est appelée probabilité de l'issue xi .
Propriété :
Si on répète une expérience aléatoire dont les issues sont {x1 ; x2 ; . . . ; xn }
un nombre n de fois, alors
• les fréquences fi d'apparition des xi vérient f1 + f2 + . . . + fr = 1 et
0 6 fi 6 1 ;
• si n devient grand, les fréquences se stabilisent autour de la probabilité
pi (loi des grands nombres).
Exemple :
On jette un dé 100 fois et on note la face apparue à chaque lancer. Si le 1 apparaît 12 fois la fréquence
12
de sortie est 100
= 0, 12. On a f1 + f2 + . . . + f6 = 1.
Si le nombre de lancers devient grand, les fréquences se stabilisent autour de 16 , probabilité d'apparition du 1.
Exemple :
Une pièce de monnaie est truquée de sorte que la probabilité d'obtenir pile est le double de celle d'obtenir
face. On appelle p1 la probabilité d'obtenir pile et p2 celle d'obtenir face. On a donc p1 + p2 = 1. Or
p1 = 2 × p2 donc 2p2 + p2 = 1 d'où 3p2 = 1 et p2 = 13 et p1 = 1 − 31 = 23 .
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Dénition :
Lorsque les r issues d'une expérience aléatoire ont la même probabilité p
de se réaliser, on parle de loi équirépartie. Alors p = 1r .
Exemple :
Pour le lancer d'un dé non truqué à six faces, chaque face ayant la même probabilité d'apparaître, la
loi est équirépartie et chaque face i a une probabilité pi d'apparaître égale à pi = 61
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Événements
Dénition :
Soit E l'univers associé à une expérience aléatoire.
• Toute partie de l'univers est appelé un événement et le nombre d'issues
constituant un événement A est appelé son cardinal.
• Tout événement formé d'une seule éventualité est appelé événement
élémentaire.
• ∅ est appelé événement impossible.
• E est l'événement certain.
Exemple :
lancer d'un dé à six faces :
• obtenir 1 ou 2 est un événement ;
• obtenir 1 est un événement élémentaire ;
• obtenir 7 est l'événement impossible.
Dénition :
Soit P une loi de probabilité dénie sur un ensemble E , alors la probabilité d'un événement est la somme des probabilités des issues qui le
réalise.
Propriété :
• P (∅) = 0 ;
• P (E) = 1 ;
• pour tout événement A, 0 6 P (A) 6 1.
Propriété (cas d'une loi équirépartie) :
Dans le cas d'une loi équirépartie, la probabilité d'un événement A est :
P (A) =
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nombre d'issues favorables à A
nombre d'issues possibles dans E
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Calculs de probabilités
Dénition :
Soient A et B deux événements.
• L'événement A ∩ B (lire A inter B ou A et B ) est l'ensemble
des issues qui réalisent à la fois A et B .
• Lorsqu'aucune issue ne réalise A et B , c'est à dire A ∩ B = ∅, on dit
que A et B sont incompatibles.
• L'événement A ∪ B (lire A union B ou A ou B ) est l'ensemble
des issues qui réalisent A ou B , c'est à dire au moins l'un des deux
événements.
• L'événement Ā appelé événement complémentaire ou contraire de A
est l'ensemble des issues qui ne réalisent pas A.
Propriété :
Soit P une loi de probabilité sur un ensemble E .
• Pour tous les événements A et B , on a :
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
• En particulier, si A et B sont des événements incompatibles, alors
P (A ∪ B) = P (A) + P (B).
• Pour tout les événements A et B ,
P (Ā) = 1 − P (A)
Preuve :
• Il sut de dénombrer les issues élémentaires composant chacun des événements.
• Si A et B sont incompatibles, on a A ∩ B = ∅ donc P (A ∩ B) = 0 d'où la formule.
• On a E = A∪ Ā et A∩ Ā = ∅ donc A et Ā sont incompatibles et P (E) = P (A∪ Ā) = P (A)+P (Ā).
Or P (E) = 1 donc 1 = P (A) + P (Ā) d'où P (Ā) = 1 − P (A).
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Variables aléatoires
Dénition :
Soit E l'univers associé à une expérience aléatoire. Toute fonction dénie
sur E et à valeurs dans R est appelée une variable aléatoire.
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Dénition :
Soit X une variable aléatoire dénie sur l'univers E d'une expérience
aléatoire. Notons I l'ensemble des valeurs de X , = {x1 ; x2 ; . . . ; xn }, et pi
la probabilité de l'événement X prend la valeur xi , événement noté
(X = xi ). La loi de probabilité de X est la fonction dénie sur I qui, à
chaque xi , associe le nombre p(X = xi ).
Dénition :
• On appelle espérance mathématique de X et on note E(X) le nombre
E(x) = x1 p1 + . . . + xn pn ;
• on appelle variance de X et on note V (X) le nombre V (X) = (x1 −
E(X))2 p1 + . . . + (xn − E(X))2 pn ;
p
• on appelle écart type de X et on note σ(X) le nombre σ(X) = V (X).
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