Logarithme, exponentielle.

FONCTION LOGARITHME, FONCTION EXPONENTIELLE
I.
Donner les propriétés et la représentation graphique des fonctions
logarithme et exponentielle
• Exemple : Donner, le sens de variation et la représentation graphique des fonctions :
f :x
ln x
g:x
ex
• Méthode : Il s'agit d'utiliser les résultats du cours
f ( x ) = ln x
x → +∞ ⇒ ln x → +∞
g( x ) = ex
x → +∞ ⇒ e x → +∞
x → 0 ⇒ ln x → −∞
x → −∞ ⇒ e x → 0
x = 1 ⇒ ln x = 0
x = 0 ⇒ ex = 1
x = e ⇒ ln x = 1
f ′( x ) =
x = 1 ⇒ ex = e
1
>0
x
g′( x ) = e x > 0
• Solution :
y = ex
x
0
+∞
1
f’(x)
+
f (x)
0
–∞
y=x
3
e
2
+∞
y = ln x
1
0
-2
x
–∞
+∞
0
g’(x)
+
g (x)
1
-1
0
1
e 3
2
-1
-2
+∞
-3
0
Les fonctions f et g sont réciproques, c’est-à-dire que y = ln x ⇔ e y = x . Les graphes sont
symétriques par rapport à la droite d’équation y = x .
En utilisant les touches ln et inv + ln de la calculatrice, on obtient les valeurs suivantes
x
-2
-1,5
-1
-0,5
0
ln x
ex
FI_LOG.DOC
0,14
0,22
0,36
0,6
1
0,5
1
1,5
2
2,5
3
-0,7
0
0,4
0,7
0,9
1,1
1,65
2,7
4,5
7,4
12
20
II. Appliquer les propriétés des fonctions logarithmes :
73
1
4
log( 2,45)
+ ln 13
26
4
• Méthode : on utilise les formules
log( ab ) = log a + log b
ln( ab ) = ln a + ln b
a
a
ln = ln a − ln b
log = log a − log b
b
b
ln a n = n ln a
log a n = n log a
• Solution :
73
73 × 13
73
ln + ln 13 = ln
= ln = ln 73 − ln 2 ≈ 4,29 − 0,69 = 3,6
26
26
2
1
1
4
log( 2,45) = × 4 log 2,45 = log 2,45 ≈ 0,389
4
4
• Exemple : calculer
ln
III. Résoudre une équation du type ax = b :
• Exemple : résoudre l’équation (1,05) = 2,84
• Méthode : on passe chaque membre en logarithme
x
ln(1,05) = ln 2,84
• Solution :
x ln 1,05 = ln 2,84
ln 2,84
x=
ln 1,05
1,0438
x≈
≈ 21,39
0,0488
x
IV. Calculer la durée d’un placement à intérêts composés :
• Exemple : Un capital de 15 000 est placé à un taux annuel de 5 %. La capitalisation des
intérêts est annuelle. La valeur acquise se monte à 22 161,83 Calculer en années, la durée du placement.
• Méthode : on part de la formule des intérêts composés
C
ln n
C
C
C
C0
n
n
n
Cn = C0 (1 + i ) ⇔ (1 + i ) = n ⇔ ln(1 + i ) = ln n ⇔ n ln(1 + i ) = ln n ⇔ n =
C0
C0
C0
ln(1 + i )
• Solution :
n
Ici on a l’équation :
22161,83 = 15 000(1+ 0,05)
22 161,83
(1,05) n =
D’où :
15 000
22 161,83
22 161,83
n
On passe en logarithmes :
ln(1,05) = ln
⇒ n ln(1,05) = ln
15 000
15 000
22 161,83
ln
ln( 22161,83) − ln(15 000)
15 000
D' où
n=
=
ln(1,05)
ln(1,05)
10,006 − 9,615
Et n ≈
⇒ n =8
0,04879
FI_LOG.DOC