Exercice 1 - Thalesm mathématiques

Première ES-L
Composition de mathématiques n°1
NOM :
2014-2015
Prénom :
Exercice 1 : calcul du prix de la rentrée
(4,5 points)
Une enquête de l’association Familles de France a étudié l’évolution du coût de la
rentrée pour un élève de Sixième de 2004 à 2010.
1) Compléter ce tableau qui compare les dépenses (en €) des familles pour
trois secteurs en 2009 et 2010 :
2009
Papeterie
Fournitures,
Autres que papeterie
Vêtements
Coût total
2010
33,07
88,32
Taux d’évolution
(en %)
-6,13
1,42
51,92
3,89
2) Calculer les taux d’évolution d’année en année du coût de la rentrée pour
un élève de Sixième de 2004 à 2009.
Année
Coût (en €)
Taux d’évolution
2004
2005
184,73 186,32
2006
202,70
2007
206,68
2008
190,82
2009
174,23
Exercice 2 (3,5 points)
1)
Résoudre dans  l’équation - 2² + 3+ 7 = 0.
2)
a) Résoudre dans  l’équation 3 + ² - 6 = 0.
b) Résoudre dans  l’inéquation 3 + ² - 6 > 0.
1
Première ES-L
Composition de mathématiques n°1
2014-2015
Exercice 3 (4 points)
On a représenté la fonction f définie par :
f() = - 0,2² -  + 30
dans la fenêtre graphique d’une calculatrice :
1) L’équation f() = 0 semble-t-elle avoir des solutions ?
2) Résoudre l’équation f() = 0.
3) Déterminer les coordonnées du sommet de la parabole représentant la
fonction f.
4) Proposer les paramètres de la fenêtre graphique permettant de rendre
visible les résultats des questions 2 et 3 sur l’écran de la calculatrice.
5) Déterminer la position de la courbe représentant la fonction f par rapport
à l’axe des abscisses.
Exercice 4 : bénéfice réel
(7 points)
Une entreprise produit entre 5 et 40 appareils électroménagers par heure. Le
coût horaire de production de  appareils, en euros, est donné par :
C() = ² + 50 + 100, pour 5 ≤ ≤ 40.
Le prix de vente unitaire d’un appareil est 100 €.
On suppose que chaque appareil produit est vendu.
1) Quel est le coût de fabrication de 15 appareils par heure ?
Quelle est la recette associée ?
L’entreprise réalise-t-elle des bénéfices ? Si oui, donner leur montant.
Sinon, donner le montant des pertes.
2) Déterminer le bénéfice horaire B réalisé par la fabrication et la vente de 
appareils.
3) Pour combien d’objets vendus l’entreprise réalise-t-elle un bénéfice de
500 € ?
4) L’entreprise réalise-t-elle toujours des bénéfices ?
2
Première ES-L
Composition de mathématiques n°1
CORRECTION
Exercice 1 : calcul du prix de la rentrée
2014-2015
(4,5 points)
Une enquête de l’association Familles de France a étudié l’évolution du coût de la
rentrée pour un élève de Sixième de 2004 à 2010.
1) Compléter ce tableau qui compare les dépenses (en €) des familles pour
trois secteurs en 2009 et 2010 :
2009
Papeterie
Fournitures,
Autres que papeterie
Vêtements
Coût total
33,07
Taux d’évolution
(en %)
-6,13
88,32
1,42
2010
51,92
3,89
2) Calculer les taux d’évolution d’année en année du coût de la rentrée pour
un élève de Sixième de 2004 à 2009.
Année
Coût (en €)
Taux d’évolution
2004
2005
184,73 186,32
2006
202,70
2007
206,68
2008
190,82
2009
174,23
1)
Papeterie
Fournitures,
Autres que papeterie
Vêtements
Coût total
Papeterie en 2009 :
2009
2010
35,23
33,07
Taux d’évolution
(en %)
-6,13
87,08
88,32
1,42
51,92
174,23
53,94
175,33
3,89
0,631
33,07
33,07
=
 35,23
 6,13 0,9387
1 –

100 

Fournitures, autres que papeterie en 2009 :
88,32
88,32
=
 87,08
 1,42 1,0142
1 +

 100 

3,89
 = 51,921,0389  53,94
Vêtements en 2010 : 51,921 +
100 

3
Première ES-L
Composition de mathématiques n°1
CORRECTION
2014-2015
Coût total en 2009 : 35,23 + 87,18 + 51,92 = 174,23
Coût total en 2010 : 33,07 + 88,32 + 53,94 = 175,33
Taux d’évolution du coût total entre 2009 et 2010 :
175,33 – 174,23
100  0,631
174,23
soit environ 0,631 %
2)
Année
Coût (en €)
Taux d’évolution
2004
184,73
2005
186,32
0,861%
Taux d’évolution entre 2004 et 2005 :
2006
202,70
8,79%
2007
206,68
1,96%
2008
190,82
-7,67%
2009
174,23
-8,69%
186,32 – 184,73
 0,00861 soit une
184,73
augmentation d’environ 0,861 %.
Taux d’évolution entre 2005 et 2006 :
202,7 – 186,32
 0,0879 soit une
186,32
augmentation d’environ 8,79 %.
Taux d’évolution entre 2006 et 2007 :
206,68 – 202,7
 0,0196 soit une
202,7
augmentation d’environ 1,96 %.
Taux d’évolution entre 2007 et 2008 :
190,82 – 206,68
 - 0,0767 soit une
206,68
diminution d’environ – 7,67 %.
Taux d’évolution entre 2008 et 2009 :
174,23 – 190,82
 - 0,0869 soit une
190,82
diminution d’environ – 8,69 %.
4
Première ES-L
Composition de mathématiques n°1
CORRECTION
2014-2015
Exercice 2 (3,5 points)
1)
Résoudre dans  l’équation - 2² + 3+ 7 = 0.
2)
a) Résoudre dans  l’équation 3 + ² - 6 = 0.
b) Résoudre dans  l’inéquation 3 + ² - 6 > 0.
1)
Le discriminant de cette équation du second degré est :
 = 3² - 4(-2)7 = 9 + 56 = 65.
Comme  > 0, cette équation a deux solutions distinctes :
x1 =
- b +  -3 + 65 3 - 65
- b -  -3 - 65 3 + 65
=
=
et x2 =
=
=
.
2a
2(-2)
4
2a
2(-2)
4
3 - 65 3 + 65
.
;
L’ensemble des solutions de cette équation est donc : S = 
4
4


2)
a)
x3 + x² - 6x = x(x² + x – 6)
x3 + x² - 6x = 0

x = 0 ou x² + x – 6 = 0
Le discriminant associé à l’équation du second degré x² + x – 6 = 0 est :
 = 1² - 41(-6) = 1 + 24 = 25 = 5²
Comme  > 0, cette équation admet deux solutions distinctes :
-1 – 5
-1 + 5
= -3 et
= 2.
2
2
Donc : x3 + x² - 6x = 0

x = 0 ou x = -3 ou x = 2
L’ensemble des solutions de l’équation x3 + x² - 6x = 0 est donc : S = {-3 ;0 ;2}.
b)
On établit un tableau de signes à partir de la forme factorisée :
x3 + x² - 6x = x(x + 3)(x – 2)
Tableau de signes
x
x
x+3
x–2
x3 + x² - 6x
-
-
-3
0
0
+
+
0
0
0
+
+
-
2
0
0
+
+
+
+
+
5
Première ES-L
Composition de mathématiques n°1
CORRECTION
2014-2015
L’ensemble des solutions de l’inéquation 3 + ² - 6 > 0 est donc l’intervalle S = ]3 ;0[  ]2 ;+ [.
Vérification graphique : tracé de la courbe associée au polynôme de degré 3 :
Exercice 3 (4 points)
On a représenté la fonction f définie par :
f() = - 0,2² -  + 30
dans la fenêtre graphique d’une calculatrice :
1) L’équation f() = 0 semble-t-elle avoir des solutions ?
2) Résoudre l’équation f() = 0.
3) Déterminer les coordonnées du sommet de la parabole représentant la
fonction f.
4) Proposer les paramètres de la fenêtre graphique permettant de rendre
visible les résultats des questions 2 et 3 sur l’écran de la calculatrice.
5) Déterminer la position de la courbe représentant la fonction f par rapport
à l’axe des abscisses.
6
Première ES-L
Composition de mathématiques n°1
CORRECTION
2014-2015
1) Comme la courbe ne présente pas de points d’intersection avec l’axe des
abscisses, il semble que l’équation f(x) = 0 n’a pas de solutions.
2) Le discriminant de cette équation du second degré est :
 = (-1)² - 4(-0,2)30 = 1 + 24 = 25 = 5²
Comme  > 0, cette équation admet deux solutions distinctes :
x1 =
-b+ 
1+5
6
-b- 
1-5
-4
=
=
= -15 et x2 =
=
=
= 10.
2a
2(-0,2) -0,4
2a
2(-0,2) -0,4
L’ensemble des solutions de l’équation f(x) = 0 est S = {-15 ;10}.
3) L’abscisse du sommet S de la parabole est
–b
1
1
5
=
=
=2a 2(-0,2) -0,4
2
 5
 5
 5
25 5
Son ordonnée est f -  = -0,2´- ² - -  + 30 = -0,2
+ + 30
2
2
2
4 2
 
 
 
 5
5 5
-5 + 52 + 304 -5 + 10 + 120 125
f -  = - + + 30 =
=
=
.
4 2
4
4
4
 2
 5 125
.
Les coordonnées du sommet S de la parabole sont donc S - ;
 2 4 
(ou S(-2,5 ;31,25)).
4) On choisit XMin = -20
XMax = 15
YMin = -10 et YMax = 35
5) La courbe est en dessous de l’axe des abscisses pour x  ] -  ;-15] 
[10 ;+ [ et au dessus de l’axe des abscisses pour x  [-15 ;10].
7
Première ES-L
Composition de mathématiques n°1
CORRECTION
Exercice 4 : bénéfice réel
2014-2015
(7 points)
Une entreprise produit entre 5 et 40 appareils électroménagers par heure. Le
coût horaire de production de  appareils, en euros, est donné par :
C() = ² + 50 + 100, pour 5 ≤ ≤ 40.
Le prix de vente unitaire d’un appareil est 100 €.
On suppose que chaque appareil produit est vendu.
1) Quel est le coût de fabrication de 15 appareils par heure ?
Quelle est la recette associée ?
L’entreprise réalise-t-elle des bénéfices ? Si oui, donner leur montant.
Sinon, donner le montant des pertes.
2) Déterminer le bénéfice horaire B réalisé par la fabrication et la vente de 
appareils.
3) Pour combien d’objets vendus l’entreprise réalise-t-elle un bénéfice de
500 € ?
4) L’entreprise réalise-t-elle toujours des bénéfices ?
1)
Pour 15 appareils produits par heure, le coût de fabrication est :
C(15) = 15² + 5015 + 100 = 1 075 €
La recette associée est 15100 = 1 500 €
Le bénéfice réalisé est 1500– 1075 = 425 €.
2)
B(x) = 100x – C(x) = 100x – x² - 50x – 100 = -x² + 50x - 100
3)
On résout l’équation B(x) = 500
B(x) = 500

-x² + 50x – 100 = 500

-x² + 50x – 600 = 0
Le discriminant de cette équation du second degré est :
 = 50² - 4(-1)(-600) = 2500 - 2400 = 100 = 10²
Comme  > 0, cette équation admet deux solutions distinctes :
x1 =
- 50 + 10
-50 – 10
= 20 et x2 =
= 30.
-2
-2
8
Première ES-L
Composition de mathématiques n°1
CORRECTION
2014-2015
L’entreprise réalise un bénéfice de 500 € pour 20 ou 30 objets fabriqués
par heure.
4) On résout l’inéquation B(x) > 0.
B(x) > 0

-x² + 50x – 100 > 0
Le discriminant du polynôme du second degré associé est :
 = 50² - 4(-1)(-100) = 2500 – 400 = 2 100.
Comme  > 0, l’équation –x² + 50x – 100 = 0 admet deux solutions
distinctes :
x1 =
- 50 + 2100 50 - 2100
- 50 - 2100 50 + 2100
=
 2,09 et x2 =
=
 47,91.
-2
2
-2
2
Comme le coefficient a = -1, du polynôme –x² + 50x – 100 est négatif, alors sur  :
f(x) > 0

x  [x1 ;x2]
Or comme [5 ;40]  [x1 ;x2], alors pour tout x  [5 ;40] f(x) > 0.
Donc l’entreprise réalise toujours des bénéfices.
Vérification graphique n° 1 : on trace les courbes associées à la fonction C du coût
de fabrication (c’est un arc de parabole) et à la fonction V de vente des objets (c’est
un segment de droite) pour des valeurs de x comprises entre 5 et 40.
Comme le segment de droite est toujours au dessus de l’arc de parabole, alors le
bénéfice est toujours positif.
9
Première ES-L
Composition de mathématiques n°1
CORRECTION
2014-2015
Vérification graphique n° 2 : on trace l’arc de parabole associé à la fonction B du
bénéfice pour des valeurs de x comprises entre 5 et 40.
Comme l’arc de parabole est toujours situé au dessus de l’axe des abscisses, on
retrouve le fait que l’entreprise réalise toujours des bénéfices.
10