Corrigé

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Corrigé

EPREUVE DE MATHEMATIQUES (Sujet 1)
Correction
Exercice I ( 3 points)
Soit la fonction f dfinie sur 0; par f ( x ) e x .
1- f est drivable sur lintervalle dtude et f ' ( x ) 2 xe x expression ngative sur 0; ,
f est strictement dcroissante sur 0; .
n 1
2- On pose J n
f (t )dt , n tant un entier naturel.
n
a. La fonction f est positive ( fonction exponentielle) donc pour tout entier n J n 0
b. Dautre part , si n<t<n+1 , comme f est dcroissante sur 0; f(n+1)<f(t) <f(n) donc
n 1
f (n 1)
f (t )dt
f (n) . Donc pour tout n entier, f (n 1) J n f (n) .
n
3-
f (n 2) J n1 f (n 1) J n f (n) la suite Jn est dcroissante. Cette suite Jn est
dcroissante , minore par 0 , elle est donc convergente.
Exercice II (3 points)
Une classe compte 30 lves dont 20 filles. A chaque cours de mathmatiques, le professeur de
cette classe interroge au hasard un lve. Dun cours lautre, le professeur ne se rappelle pas de
llve interrog au cours prcdent ce qui fait qu chaque cours, le choix de llve par le
professeur est indpendant des choix prcdents.
20 2
1. La probabilit, un cours donn, que llve interrog soit une fille est

30 3
2. Soit n un entier positif non nul.
On appelle X la variable alatoire correspondant au nombre de filles interroges durant n
cours de mathmatiques conscutifs.
2
a. La loi de probabilit de X est binomiale de paramtre n , p=
3
b. La probabilit que le nombre de filles interroges soit gal 4 durant 10 cours
4
6
10 2 1
conscutifs est 0,057
4 3 3
c. la probabilit quaucune fille ne soit interroge soit infrieure 0,001 est telle que
n
ln 0,001
1
0,001 n ln 3 ln 0,001 n
n 7 ,le
p(X=0)<
0,001
ln 3
3
nombre minimum est donc 7
Exercice III (3points).
On considre lquation diffrentielle (E) : y +y = x-1 .
x
1- A laide dune intgration par parties, e t (t 1)dt = e x ( x 2) e
1
2- a- Soit z une fonction drivable sur lensemble R des nombres rels.
On pose f ( x ) z ( x)e x . La fonction f est solution de ( E) si et seulement si , pour tout x rel
, f ' ( x ) f ( x ) x 1 z ' ( x)e x z ( x)e x z ( x)e x x 1 z ' ( x ) e x ( x 1)
1
b- Daprs la question 1- une primitive de la fonction z est : x e x ( x 2) e toutes les
fonctions z vrifiant pour tout x rel z ' ( x ) e x ( x 1) sont donc les fonctions dfinies sur
R par : x e x ( x 2) k o k dsigne une constante relle.
3. Daprs lquivalence logique tablie en question 2-a. lensemble des solutions de
lquation ( E) est donc lensemble des fonctions dfinies sur R par :
x z ( x)e x ( x 2) ke x .
Exercice IV ( 7points)
Partie A
x
Soit la fonction f dfinie sur 0; par f ( x) 2 x 1 ln
.On dsigne par (C) la courbe
x 1
reprsentant f dans un repre orthonormal unit 2cm.
x
Remarque f ( x) 2 x 1 ln
= 2x-1+ln(x)-ln(x+1)
x 1
x
x
1- lim
1 par composition lim ln
0 . Donc par somme ,
x x 1
x
x 1
lim f ( x) lim (2 x 1)
x
lim
x0
x
x
x
0 par composition lim ln
Donc par somme, lim f ( x)
x
x0
x 1
x 1
1
1
2 x 2 x 1

, expression qui est du
x x 1
x( x 1)
signe de 2x+2x+1 sur 0; . f(x) > 0 sur 0; , f est strictement croissante sur cet
2- f est drivable sur 0; f ' ( x ) 2
intervalle ;
x
3- lim ln
0 donc (C) admet donc pour asymptote oblique, la droite dquation
x
x 1
x
x
y= 2x-1 en + . f ( x) 2 x 1 ln
. Comme ;
donc f ( x ) (2 x 1) ln
x 1
x 1
x
x
1 , ln
0 , donc (C) se situe au dessous de (D).
x 1
x 1
4- f est drivable donc continue sur 0; lensemble des valeurs de f(x) est daprs
ltude des limite 0; ; f est strictement croissante sur 0; , donc lquation f(x) =
0 admet une solution unique dans 0; . Avec la calculatrice, on constate que f(0,8) <0
et f(0,9)>0 donc cette solution est comprise entre 0,8 et 0,9.
2
Partie B
On considre la suite (un) dfinie pour tout entier n strictement positif par :
n
u n f (n) (2n 1) = ln
.
n 1
n(n 2
. Or n(n+2)<( n+1). Donc
1- un - un 1 = ln( n) ln( n 1) ln( n 1) ln( n 2) ln
(n 1)
u n u n 1 0 .La suite est croissante
3
n
1 donc un <0 pour tout entier n strictement positif. Cette suite est donc
n 1
convergente
2- On pose S n u1 u2 ..... un = - ln( n 1) , cette suite S n est divergente et sa limite est
.
n 1
3- On pose Tn un 1 un 2 ... u2n = ln( n 1) ln( 2n 1) ln
. Cette suite converge
2n 1
1
et Tn . lim Tn ln ln 2 .
n
2
De plus
EXERCICE V ( 4 points)
Dans le plan orient, on considre les points O et A fixs et distincts, le cercle C de diamtre
[OA ], un point M variable appartenant au cercle C et distinct des points O et A, ainsi que les
carrs de sens direct MAPN et MKLO. La figure est reprsente ci-dessous.
N
P
K
M
L
O
A
C
Le but de lexercice est de mettre en vidence quelques lments invariants de la figure et de
montrer que le point N appartient un cercle dterminer.
On munit le plan complexe dun repre orthonormal direct de sorte que les affixes des points O et
A soient respectivement 0 et 1.

On dsigne par i le nombre complexe de module 1 et dargument . On note k, l, m, n et p les
2
affixes respectives des points K, L, M, N et P.
1
et de centre le milieu I de [OA] dont laffixe
2
1
1
1
1
est Donc M appartient C signifie IM = m= .
2
2
2
2
1. le point M appartient au cercle C, de rayon
4
2. Par construction, L est limage de M par la rotation de centre O et dangle
De mme P est limage de M par la rotation de centre A et dangle -

donc l = i m .
2

donc p-1= -i( m-1)
2
donc p = - i m + 1 + i .
On admettra que lon a galement n = (1- i)m + i et k = (1 + i)m .
p l im 1 i im 1 1

i point
2
2
2 2
indpendant de la position du point M sur le cercle C.
1
1 1 1
b. I = i donc appartient au cercle C , il appartient galement la
2
2 2 2
mdiatrice de [OA].
3. a. le milieu du segment [PL] a pour affixe :
4. a. KN = k n (1 i )m (1 i )m i i (2m 1) 2 m
1
1,
2
1
1
2
2

le triangle est isocle et rectangle
1 i m
2
2
2
2
d'aprs la rciproque du thorme de Pythagore . Le point N appartient au cercle de centre
2
et de rayon
2
b. 1 i m
5