Résolution de problème Flute de Pan

Résolution de problème Flute de Pan
La colonne d’air contenue dans un des tuyaux d’une flute de pan est ouverte en haut (là où on souffle) et fermée en
bas. On peut accorder le tuyau en faisant couler de la cire dedans. La pression acoustique qui est la grandeur vibrant
spatio-temporellement est donc astreinte à posséder un ventre en bas et un nœud en haut.
Les notes de la gamme sont ainsi étagées, la première ligne donne les fréquences en Hz.
261.6
277.2
293.7
311.1
329.6
349.2
370.0
392.0
415.3
440.0
466.2
493.9
523.3
554.4
587.3
Do3
do
re
re
mi
fa
fa
sol
sol
La3
la
si
Do4
do
re
1
1
1
2
31
14
5
6
7
12
8
2
212
212
212
212
212
212 2122 6 2 4 =1
1.059463094 1.189207115
23
1.334839854
1.414 1.498307077
1.122462048 1.259921050
9
10
11
12
13
14
212
212
212
212
=2
212
212
Tierce
Quinte
septiè
octave
neuviè
avec
avec
me
avec
me
do3
do3
avec
do3
avec
do3
do3
Dessiner cote à cote et à l’échelle les tuyaux qui jouent les notes de la gamme du do3 au do4 supérieur en
passant par le la3 qui sonne 440 Hz. Ne pas dessiner les tuyaux qui joueraient les
Réponse : On considère un des tuyaux de la flute de pan de longueur L dans lequel la célérité des ondes sonores est
celle des ondes acoustique dans l’air c=340m/s. On écrit l’onde stationnaire qui y règne sous la forme p(x,t)=p 0 sin(kx)
sin ( t) . La relation entre les fréquences de vibrations possibles
fermé est :
n
c
4L
nc
2L
(2n 1)
c
4L
n
et un entier n et la longueur L du tuyau ouvert
relation équivalente à :
n
4L
2n 1
si on se limite aux fondamentales : les tuyaux les plus longs sont les plus graves
0
L
c
4 0
Do3
re
mi
fa
sol
la
si
Do4
261.6
32.5
293.7
28.9
329.6
25.8
349.2
24.3
392.0
21.7
440.0
19.3
493.9
17.2
523.3
16.2
0
n
N
c
4L
L
c
4 0
pointplot({[1,16.2],[2,17.2],[3,19.3],[4,21.68],[5,24.34],[6,25.78],[7,28.9],[8,32.5]});
Do3
re
mi
fa
sol
Do4
si
la
Pour une flute qui joue du do3 au do 4
Ici on présente les tuyaux dans l’ordre plus aigu au plus grave soit la gamme inversée do, si, la,
sol, fa, mi, ré, do. Les passages si-do et mi-fa diffèrent clairement des autres car il n’y a là qu’un
½ ton.