Examen final de Mathématiques

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le 13 mars 2007
Examen final de Mathématiques
Cours : Fonctions de plusieurs variables
Durée : 3 heures - Documents et calculatrices autorisés
Consignes : veillez à apporter un soin particulier à la présentation de votre copie.
Laissez de la place en début de copie pour d’éventuels commentaires. Soignez
également la rédaction des réponses, n’oubliez pas de quantifier. Le barème indiqué
est approximatif et est donc susceptible d’être modifié. Les quatre parties de cet
examen sont totalement indépendantes.
Partie I : un peu de continuité (5 points)
Soit α ∈ R. On définit la fonction fα sur R2 par :
(
xy
2
(x + y 2 )α
fα (x, y) =
0
si (x, y) 6= (0, 0)
sinon.
En utilisant un changement de coordonnées approprié, étudier, suivant les valeurs de α, la continuité de f sur R2 .
Partie II : extremums des fonctions de plusieurs variables (10 points)
On considère la fonction f définie sur R2 par la relation :
f (x, y) = x4 + y 4 − 2(x − y)2 .
√
√ √
√
1. Démontrer que f admet trois points critiques : O(0, 0), A( 2, − 2) et B(− 2, 2).
2. Points A et B.
(a) En utilisant les règles de Monge, caractériser les points A et B.
(b) Démontrer l’inégalité (∗) xy ≥ − 21 (x2 + y 2 ), pour tous (x, y) ∈ R2 .
(c) Démontrer en utilisant (∗) que pour tous (x, y) ∈ R2 :
√
√
f (x, y) − f ( 2, − 2) ≥ (x2 − 2)2 + (y 2 − 2)2 .
(d) Démontrer que pour tous (x, y) ∈ R2 , f (x, y) = f (−x, −y).
(e) En utilisant les questions précédentes, prouver que f admet un minimum absolu et
préciser en quels points il est atteint.
3. Point O.
(a) Les règles de Monge permettent-elles de conclure sur la nature de O ?
(b) Soit x ∈ R tel que |x| < 2. Démontrer que f (x, −x) < 0. On pourra, par exemple,
penser à factoriser cette expression.
(c) Calculer f (x, x), pour x ∈ R. Déduire de ce calcul et de la question précédente la
nature du point critique O.
1
Partie III : la règle de dérivation en chaîne (8 points)
On considère trois fonctions f : R2 −→ R, X : R −→ R et Y : R −→ R, toutes trois de classe
C ∞ sur leur ensemble de définition. (x, y) désignera la variable dans R2 .
On désigne alors par u la fonction d’une variable réelle :
u : R −→ R
t 7−→ u(t) = f (X(t), Y (t)).
, de sorte que u = f ◦ ϕ.
On désigne par ϕ, l’application ϕ : R −→ R2
t 7−→ (X(t), Y (t))
1. En utilisant la formule de composition des différentielles, montrer que pour tout t ∈ R :
(⋆)
du
∂f
dX
∂f
dY
(t) =
(X(t), Y (t)).
(t) +
(X(t), Y (t)).
(t).
dt
∂x
dt
∂y
dt
2. En utilisant uniquement la formule (⋆), ainsi que la dérivée d’un produit de fonctions de R
d2 u
dans R, calculer 2 en fonction des dérivées partielles de f , et des dérivées de X et de Y .
dt
3. Tester ces formules sur les fonctions f , X et Y définies par : f (x, y) = x2 + y 2 , X(t) = t et
Y (t) = t2 .
Partie IV : résolution d’une équation aux dérivées partielles (7 points)
On se propose de déterminer toutes les applications f de classe C 1 sur U = {(x, y) ∈ R2 : x > y}
qui vérifient :
∂f
∂f
−
+ 3(x − y)f = 0.
(E)
∂x ∂y
On admet que la fonction ϕ définie par : ϕ :
U −→ V
est un change(x, y) 7−→ (u, v) = (xy, x + y)
ment de variable où V est un certain sous-ensemble de R2 . Le couple (u, v) désignera donc les
nouvelles coordonnées dans V . Enfin, on appelle F , la fonction définie par la relation f (x, y) =
F (u, v), pour (x, y) ∈ U .
1. Déterminer J(x,y) ϕ, la matrice jacobienne de ϕ au point (x, y).
2. En utilisant la formule de composition des différentielles, exprimer
fonction de
∂f
∂f
(x, y) et
(x, y) en
∂x
∂y
∂F
∂F
(u, v) et
(u, v).
∂u
∂v
∂F
− 3F = 0.
∂u
4. On admet que l’équation différentielle y ′ = αy, où α désigne une constante réelle admet
pour solution les fonctions de la forme : y : x 7→ ceαx , où c est une constante réelle.
En utilisant ce résultat, résoudre complètement l’équation aux dérivées partielles (E).
3. En déduire que F est solution de l’équation :
2