Flexion plane

RDM-TCT
Flexion Plane
FLEXION PLANE
F
1. Définition :
q
On dit une poutre est en flexion lorsque le
chargement coincide avec l’un des plans pricnipaux
de la section droite de la poutre (voir figure 1).
2. Les efforts internes en flexion :
Figure 1
En flexion, il apparait dans la section droite de la
poutre des efforts internes ; (voir figure 2)
N
Mf : Monment fléchissant ;
Mf
T(Q) : Effort tranchant ;
T
Figure 2
N : Effort normal.
a). Cas particulier :
Flexion pure (T = 0, N = 0 et Mf ≠ 0)
Flexion simple : (N = 0 , T ≠ 0 et Mf ≠ 0)
En flexion, des contraintes normales dont la résultante est le moment fléchissant et des
contraintes tangentielles dont la résultante est égale à l’effort tranchant.
Pour calculer les efforts internes (T , Mf ), on utlise la methode des sections.
b). Convention de signe en flexion :
Mf T
+
T>0
Mf >0
Mf
T
T
Mf
T
T<0
Mf < 0
Mf
Moment > 0 ; si la poutre a une concavité vers le haut ;
Effort tranchant >0 ; si l’effort fait tourné la section au sens des aiguilles d’une montre
1
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c). Exemple d’application :
P
P
B
Flèche
Flèche
Une poutre chargée au milieu reposant sur deux appuis
Poutre encastrée chargée en B
3. Relation différentielle entre le moment fléchissant, l’effort tranchant et
la charge repartie
Considérons un tronçon de la poutre soumis en flexion par une charge uniformement
repartie (voir figure).
q
∑
M + dM
/ =0;
−
+
M
− .
=0
T
T + dT
C
y
=
d’où :
dx
/ =0;
−
−
.
Figure 3
+ .
.
2
+
+
=0
Négligeant les termes du 2ième ordre, il convient ;
d’où :
=
;
=
4. Représentation des diagrammes des Mf et T :
P1
Exemple : Tracer les diagrammes de T et Mf
Données : P1 = q.a ; P2 = 3q.a
q
A
B
a
2a
P2
2
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Methode des sections :
Section I : 0 ≥ x ≥ a
Effort tranchant :
−
−
−
= −
.
=0 ;
+
;
= −

!
−
= −
.
;
Mf1

"
= −2
x
T1
Moment fléchissant :
+
#

#
. +
!
. .
=0 ;
2
#
=0 ;

#
= −
"
= −
%
$
. −
2
$
$
Section II : 0 ≥ x ≥ 2a
Effort tranchant :
−
$
$
−
+
= 2
$
Mf2
−
−
+
+
=0 ;
;

!
$
=
= −
;

+
$
–
$"
= −
+
a
x
P2
T2
Moment fléchissant :
#$
#$
+

+
!
=−
−
%
$
$
$.
+
;
#

+
.
'"
"
= −
%
$
$
=0 ;
#$
= 2
$
( #$ : fonction quadratique présente un maximum T2 = 0 ;
x = a ; Mf2 = - qa2)
−
$
−
$
+
$
P1
q
A
B
a
2a
P2
qa
Effort tranchant : T
qa
-qa
-2qa
Moment fléchissant : Mf
−
(
)
−
(
3
)
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5. Contrainte normale dans une poutre en flexion:
Soit les hypothèses suivantes ;
• Sections planes restent plane même
après déformation ;
• Pour Mf > 0, les fibres superieures
s’allongent et les fibres inferieures se
raccoursissent ;
• Considérons la flexion est pure
Découpons la poutre un élément de
longueur dx, les sections planes (1-1, 2-2).
Après le chargement, les sections tournent
l’une / à l’autre (voir figure 4)
2
B B’
1
A
y
C
1
θ
dθ
2
dx
ρ
dθ
θ
Calculons l’allongement unitaire d’une
couche de fibre quelconque située de la
couche neutre de distance y.
Figure 4
D
Donc l’allongement sera ;
ε =
**′
; -. ** / = 0. 1θ
θ 23 ,* = 14
,*
ε =
14
0. 1θ
θ
; 5627 1θ
θ =
14
ρ
Donc on aura ;
8
1θ
θ
=
; cette qantité s / appel rayon de courbure de la couche neutre de la poutre
ρ
14
Et ε =
0
ρ
;
D’après la loi de hoocke, nous avons ; σ = ε. K; remplacons la valeur de ε
σ = K.
0
ρ
ce qui nous donne la linéairité de variation des contraintes dans les couches
4
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on vérifié que la contrainte normale est nule σ = 0
si y = 0 c’es la couche neutre. Voir figure 5
Puisque la flexion est pure, l’effort tranchant est
nul (T = 0). L’effort normal résultant dans la section
est nul (figure 6)
N
= 0 ⇒ O dN = 0
figure 5
dN : effort normal appliqué dans la surface dS
1Q = σ. 1R =
K
ρ
. 0. 1R
Z
K
SU 1Q = T ⇒ ρ SU 0. 1R ;
dS
dN
K
≠ T ; SU 0. 1R cette quantité est le moment
ρ
statique / à l’axe neutre de la poutre, l’axe central qui
passe par le centre de gravité de la section de la poutre.
figure 6
D’après la figure 6 ; dMf = dN.y = σ.ds.y
Y
Donc le moment résultant des forces sera le moment flexchissant ;
V
V
=
K
= O σ . W. X ; éZ[\[]-]X σ
Y
S W . X ; SY W
ρ Y
V =
a
ρ
.^
X = ^ ; \-\_]`
_` σ = a
Donc ; σ =
^
V
/
[]_.`[_
W
ρ
.W
Mf : moment flechissant
Ix : moment d’inertie de la section / àl’axe centrale
y : distance à l’axe neutre de la finre sur laquelle la contrainte agit.
5
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Puisque le Mf ; et Ix constant dans une section droite de la poutre, alors
la contrainte normale maximale agit sur la fibre la plus éloignée de l’axe
neutre, de ymax.
σ \) =
^
V
. W\) =
^
V
W\)
=
σmax
V
b\)
Avec Wmax : appelé le module de résistance de la flexion.
Quelques valeurs de module de résistance des sections simples :
Y
b\) =
c. d
e
h
X
b
Y
b\) =
π . f(
(
≈ T. 8 f(
D
X
Y
b\) =
π. f(
(
8 − αg ; )h_i α =
f
D d
X
6
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6. Condition de résistance en flexion :
Condition de résistance en flexion est ;
σ j54 =

V\)
bk

≤ [σ ]
On peut déterminer les dimensions de la section droite de la poutre à partir du module de
résistance selon la condition de résistance.
7. Déplacements des poutres en flexion :
ρ
Soit une poutre encastrée en A et chargée en B.
B’
P
AB’ ; appelé la déformée de la poutre.
A
En flexion, les déplacements se traduisent par des rotations
(angle θ) des sections et des flèches (déplacement vertical).
Equation differentielle de la déformée :
ρ
y
B
θ
x
La déformée de la poutre en flexion est déterminée par :
8
θ
=
V
a^
L
……… (1)
On a dans un système ; nous avons :
8
W//
=
(/
ρ
o8'Wp q
……… (2)
Les déformations étant infiniment petites ;
8
≈ W′′
ρ
Donc, on peut ecrire ;
0" =
V
……… (3)
Kt
On intégrant une fois (3), on trouve l’equation des angles rotations des sections ;
On integrant la 2ième fois , on trouve l’equation des flèches (déplacement vertical).
a^W/ = a^θ =
a^W =
+ u (angle de rotation)
+ u + f (flèches)
C et D sont des constants d’intégrations, sont déterminés en utilisant les conditions aux
limites (aux appuis et encastrements, ect.. l’angle et flèches sont nulle)
7
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Méthode des paramètres initiaux :
En appliquant l’équation universelle de la déformée pour une poutre de plusieurs sections
on arrive à équation générale suivante : appelée Méthode des paramètres initiaux
Soit une poutre suivantes :
I
II
Mf
P III
IV
q
V
q’
a
b
c
d
a^W = a^WT + a^θT 8! t +
w)
!
tt + x
wc (
(!
ttt +
wi g
g!
ty −
w
g!
g
y + ...
On dérive cette équation on trouve l’equation des angles de rotations.
Y0 et θ0 flèche et angle de rotation initiale (paramètres initiaux), sont déterminés en utilisant
les conditions aux limites (aux appuis et encastrements, ect.. l’angle et flèches sont nulle)
Voir l’exemple ,…
8