Cours Contrainte due à la flexion simple

T. G. C.
Mécanique
Contrainte normale due à la flexion simple
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LA CONTRAINTE NORMALE DUE A DE LA
FLEXION SIMPLE :
N(x) = 0 , Mf(x) ≠ 0 et V(x) ≠ 0
P
● Introduction expérimentale : considérons une
poutre reposant sur deux appuis soumise à
une charge concentrée verticale.
Après déformation, cette poutre accuse une flèche et on constate que les fibres
situées en partie supérieure sont sollicitées en compression tandis que les fibres
situées en partie inférieure sont sollicitées en traction. Entre ces deux régions, il
existe une fibre ni tendue ni comprimée ; c’est le fibre neutre.
zone comprimée
Fibre neutre
P
zone tendue
● La figure ci - dessous représente un élément de cette poutre fléchie. Il est soumis à
un moment fléchissant Mf(x) et à un effort tranchant V(x) à l’abscisse x.
V(x)
y
x
z
G
Mf(x)
x
Remarque importante : bien que V(x) n’intervienne pas dans le dimensionnement à
la contrainte normale, lorsque :
- V(x) ≠ 0 on a de la flexion simple ;
- V(x) = 0 on a de la flexion pure.
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● Expression générale de la contrainte
normale : (flexion simple ou flexion pure)
σ
= –
avec :
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Mf(x) ×
I
y
■ I : le moment quadratique calculé par rapport à l’axe qui passe par le centre
de gravité de la section, perpendiculairement au chargement.
■ Mf(x) : la valeur maxi du moment fléchissant dans la section étudiée.
■ y : variable représentant la cote algébrique entre la fibre neutre et les fibres
extrêmes (supérieure et inférieure) de la section.
y
y
y
x
+ h/2
z
G
h
Fibre neutre
G
0
- h/2
b
En flexion simple, lorsque la section est symétrique, la fibre neutre passe par le
centre de gravité. Ainsi, y variera toujours de la valeur de – h/2 à la valeur de + h/2.
● Expression de la contrainte normale max
pour une section rectangulaire :
■
I Gx =
b × h3
σmax
=
σmax
=
6 × Mfmax
b × h2
12
h
■ │y │
=
2
● Expression de la contrainte normale max
pour un profilé métallique quelconque :
■ │y │ = v
■
I / v
Mfmax
I/v
(module d’inertie) est toujours donné dans le tableau de
caractéristiques de calcul des profilés métalliques (dans ces tableaux,
le module d’inertie est aussi noté Wel).
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● Diagramme de la contrainte normale :
Cas où Mfmax > 0
y
y
y
x
σ
z
σ
G
G
Dans l’espace
Dans le plan
Cas où Mfmax < 0
y
y
y
x
σ
z
σ
G
G
Dans l’espace
● Expression de la déformation :
Dans le plan
ε
=
σ
E
=
Mf(x) × y
E×I
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Comme nous l’avons déjà vu, pour les profilés métalliques, les
valeurs du moment quadratique et du module d’inertie sont
lues dans le tableaux de caractéristiques de calcul.
Vous devez faire attention à l’axe de la flexion considérée pour
faire le bon choix du moment quadratique ou du module d’inertie suivant
cet axe. Cet axe est perpendiculaire au chargement et passe par G.
Effectivement une confusion peut se produire étant donné que
l’appellation des axes change suivant que vous considérez celle du
cours ou celle des tableaux de caractéristiques de calcul des profilés
métalliques (ancienne et nouvelle norme).
y
z
x
Appellation des
axes du cours
z
y
x
z
Appellation des
axes OTUA
ancienne norme
y
x
Appellation des
axes OTUA
nouvelle norme
Exemples :
(1) Calculez la contrainte normale de flexion maximale d’un IPE 140
posé droit soumis à Mfmax = 2500 daN.m ; σe = 235 MPa.
(2) Calculez la contrainte normale de flexion maximale d’un HEA 180
posé à plat soumis à Mfmax = 30000 N.m ; fe = 355 MPa.