Flexion composée avec traction - Educnet

Béton armé et précontraint I
FLEXION COMPOSEE – DIAGRAMME INTERACTION
Jean Marc JAEGER
Setec TPI
E.N.P.C. module B.A.E.P.1
ENPC – Module BAEP1 – Séance 4 1
ENPC – Module BAEP1 – Séance 4 2
12. FLEXION COMPOSEE - DEFINITION
g = 130 KN/ml et q = 30 KN/ml
12.0m
1.20
m
0.3m
Poutre 0,60 x 1.10
Σ
ht
Σ
Appareil d’appui 300x300
0.80m
6m
N
N
e
Poteau 0,60 x 0.80
M
Σ
2m
G
G
Semelle 2m x 1m x 0,8m
.80
m
ENPC – Module BAEP1 – Séance 4 3
Flexion composée - Définitions
Le portique représenté ci-dessus est constitué d’une traverse supérieure
encastrée dans un piédroit. La section droite Σ d’encastrement du piédroit dans la
traverse est soumise à un effort normal de compression N et à un moment de
flexion M, ces sollicitations sont calculées par rapport au centre de gravité G de la
section Σ. Cette section est soumise à une flexion composée. L’effort normal peut
être un effort de compression, c’est le cas le plus courant en béton armé, ou un
effort de traction.
Le torseur (N,M) est équivalent à celui créé par un unique effort normal N appliqué
en un point nommé centre de pression. L’excentricité e du centre de pression C
est déterminée par l’expression e=M/N.
En Résistance des Matériaux (RdM), le noyau central d’une section droite est le
lieu des centres de pression tels que un point du contour de cette section droite
soit soumis à une contrainte nulle. Si le centre de pression se trouve à l’intérieur
du noyau central la section est soit totalement comprimée soit totalement tendue,
dans le cas contraire la section est partiellement comprimée et partiellement
tendue.
En béton armé, l’utilisation du noyau central est tout à fait justifiée en E.L.S. dans
le cas d’une flexion composée avec compression mais ne s’applique plus dans le
cas de traction dans la mesure ou le béton tendu est négligé. Dans ce dernier cas
la position du centre de pression par rapport aux nappes d’armatures sera
l’élément déterminant.
ENPC – Module BAEP1 – Séance 4 4
12. FLEXION COMPOSEE : NOYAU CENTRAL
y
SECTION RECTANGULAIRE b x h
∆1
C2
h
z
h/3
C1
b/3
∆2
Aire de la section droite Ω=bh
Inertie de flexion Iz = bh3/12
Inertie de flexion Iy = hb3/12
AXE NEUTRE
A l’axe ∆1 correspond le centre
de pression C1 (-h/3,0)
A l’axe ∆2 correspond le centre
de pression C2 (h/3,0)
NOYAU CENTRAL
Un losange de dimensions h/3 et b/3
b
ENPC – Module BAEP1 – Séance 4 5
Noyau central
Le noyau central est la zone à l’intérieure de laquelle doit se trouver le centre de
pression pour que la section soit entièrement soumise à une contrainte normale
de même signe.
Un point, centre de pression de coordonnées y0,z0, de son contour est caractérisé
par le fait que l’axe neutre qui lui correspond est tangent au contour de la section.
Dans le cas général d’une section soumise à des sollicitations N, My, Mz
l’équation de l’axe neutre en fonction de (y0,z0) est la suivante:
Contrainte normale au point(y, z) selon les convention s de signes usuelles RdM
N
Mz
My
σ ( y, z ) = + y
+z
Ω
Iz
Iy
Centre de pression
Mz
My
y0 =
z0 =
N
N
Equation de l' axe neutre (lieu des points tels que σ(y, z) = 0)
yy 0 zz 0 1
+
+ =0
Iz
Iy Ω
Dans le cas d’une section rectangulaire le noyau central est un losange de
hauteur égale au tiers de la hauteur de la section, on parle du « tiers central ».
ENPC – Module BAEP1 – Séance 4 6
12. FLEXION COMPOSEE : Différents états de la section
Selon les valeurs de M et de N
la section peut être :
- totalement tendue,
- partiellement comprimée,
- totalement comprimée.
ENPC – Module BAEP1 – Séance 4 7
Flexion composée – Différents états de la section
Selon que la section est soumise à une flexion composée avec traction ou avec
compression et selon la position du centre de pression C la section peut être soit :
- Entièrement tendue : l’effort normal est un effort de traction, l’axe neutre se
trouve à l’extérieur du contour de la section et toute la section est tendue; par
hypothèse le béton tendu est négligé donc seules les deux nappes d’acier hautes
et basses vont équilibrer les sollicitations N et M,
- Partiellement comprimée : l’axe neutre partage la section en deux zones, la zone
comprimée constituée du béton comprimé et des armatures comprimées se
trouvant dans cette zone, et la zone tendue où seules les armatures tendues
seront prises en compte,
- Entièrement comprimée : l’effort normal est un effort de compression, l’axe
neutre se trouve à l’extérieur du contour de la section et toute la section est
comprimée ; toute la section béton et les deux nappes d’armatures hautes et
basses vont participer à équilibrer les sollicitations N et M.
La détermination des armatures à mettre en œuvre sera effectuée selon des
principes différents en fonction de ces trois états.
ENPC – Module BAEP1 – Séance 4 8
12. FLEXION COMPOSEE : Sollicitations de calcul
• Flexion
composée avec traction
SOLLICITATIONS CALCULEES SELON LES :
• combinaisons caractéristiques et quasi-permanentes en ELS
• combinaisons fondamentales en ELU
• Flexion composée avec compression
en ELU :
• vérification selon l’ÉTAT LIMITE DE STABILITE DE FORME
(flambement)
[l’Eurocode propose une méthode générale et deux méthodes
forfaitaires]
en ELS :
• combinaisons caractéristiques et quasi-permanentes
ENPC – Module BAEP1 – Séance 4 9
Flexion composée – Combinaisons de calcul
En flexion composée avec traction les justifications sont à faire aux états limites
ultimes et aux états limites de service. Les critères de justifications sont les
mêmes que ceux exposés pour la flexion simple.
En flexion composée avec compression la justification doit prendre en compte la
vérification selon les états limites de stabilité de forme ou la vérification du non
flambement. Sous l’effet des efforts appliqués une pièce élancée en béton armé
peut être amenée à se déformer et à subir des sollicitations supplémentaires dites
de second ordre, induites par ces déformations. Ces sollicitations supplémentaires
augmentent les déformations, si le processus converge vers un état d’équilibre la
stabilité de forme est vérifiée et ne l’est pas dans le cas contraire.
ENPC – Module BAEP1 – Séance 4 10
12. FLEXION COMPOSEE : Section totalement tendue
• L’effort
normal est un effort de traction et le centre de
pression est situé entre les aciers
Equations d' équilibre
N st1 + N st2 = N
N st1.e a1 - N st2 .e a2 = 0
Résolution
ea 2
×
A1 =
σ st ea1 + ea 2
N
ea1
×
A2 =
σ st ea1 + ea 2
N
ENPC – Module BAEP1 – Séance 4 11
Flexion composée – Section entièrement tendue
La section est entièrement tendue quand l’effort normal est un effort de traction et
quand le centre de pression est situé entre les deux nappes d’armatures hautes et
basses. En notant d’une part, v la distance entre le centre de gravité G et la fibre
supérieure, et v’ la distance entre le centre de gravité et la fibre inférieure ; et
d’autre part c’ la distance entre le barycentre des armatures inférieures et la fibre
inférieure et c la distance entre le barycentre des armatures supérieures et la fibre
supérieure ; cette condition s’écrit: -(v’-c’) ≤ e ≤ (v-c). L’excentricité du centre de
pression e = M/N, ces deux sollicitations internes étant calculées par rapport au
centre de gravité G.
En positionnant le centre de pression C entre les deux nappes d’acier basses et
hautes par les deux valeurs ea1 et ea2 un simple calcul barycentrique donne l’effort
de traction à équilibrer par ces deux nappes.
ENPC – Module BAEP1 – Séance 4 12
12. FLEXION COMPOSEE : Section partiellement comprimée
C
x
• Flexion composée avec traction
Le centre de pression est à l’extérieur de
l’emprise des deux nappes d’armatures extrêmes A1
et A2
A2
•
A1
• Flexion composée avec compression
en ELS :
x
C
• Le centre de pression est à l’extérieur du
noyau central
en ELU :
Pivot B
• Le moment de flexion calculé par rapport aux
aciers tendus MuA=N*ea est inférieur au moment
équilibré par un diagramme de déformation
passant simultanément par les pivots B et C
x
x
Pivot C
ENPC – Module BAEP1 – Séance 4 13
Flexion composée – Section partiellement comprimée
La section peut être partiellement comprimée aussi bien en flexion composée
avec traction qu’en flexion composée avec compression.
Dans le cas de flexion composée avec traction, si le centre de pression est à
l’extérieur des deux nappes d’acier hautes et basses, la section est partiellement
comprimée ; il faut noter que la zone comprimée est alors à l’opposé du centre de
pression par rapport à la section.
Dans le cas de flexion composée avec compression la situation diffère en E.L.S.
et en E.L.U. :
- En état limite de service, si le centre de pression est à l’extérieur du noyau
central, la section est partiellement comprimée; il faut noter que la zone
comprimée est alors située du côté du centre de pression.
- En état limite ultime la section sera partiellement comprimée si le moment de
flexion calculé par rapport aux aciers tendus MELU/At est inférieur au moment
équilibré par un diagramme de déformation qui passe à la fois par le pivot B et le
pivot C.
ENPC – Module BAEP1 – Séance 4 14
12. FLEXION COMPOSEE : Centre de pression
flexion composée avec compression
e = excentricité du centre de
pression par rapport au
centre de gravité :
flexion composée avec traction
M
e=
N
ea = excentricité du centre de
pression par rapport aux
aciers tendus
ENPC – Module BAEP1 – Séance 4 15
Flexion composée – Excentricité du centre de pression par rapport aux aciers tendus
Les deux diagrammes ci-dessus représentent deux cas de sections partiellement
comprimées :
- Un cas en flexion composée avec compression ou le centre de pression est situé
au-dessus du contour de la section, la zone comprimée se trouve du côté du
centre de pression, l’excentricité du centre de pression par rapport aux aciers
tendus a pour valeur ea= (v’-c’) + e,
- Un cas en flexion composée avec traction ou le centre de pression est
également situé au-dessus du contour de la section, la zone comprimée se trouve
du côté opposé au centre de pression et les armatures tendues sont situées du
côté du centre de pression par rapport à la section ; l’excentricité du centre de
pression par rapport aux aciers tendus a pour valeur ea= e – (v-c).
ENPC – Module BAEP1 – Séance 4 16
12. FLEXION COMPOSEE : Section partiellement comprimée
• Méthode par assimilation à la flexion simple
Equations d' équilibre sous l' action de N en C
N = Nb + Nsc - Nst = Nb + A' σ sc - Aσ st
0 = Nb + A' σ sc − ( A +
N
σ st
)σ st
M A = Nb z + Nsc (d − d ' )
Equations d' équilibre en flexion simple sous l' action de MA
0 = Nb + A'σ sc − Aσ st
M A = Nb zb + Nsc (d − d ' )
ENPC – Module BAEP1 – Séance 4 17
Section partiellement comprimée – calcul des armatures
La détermination des armatures dans le cas d’une section partiellement
comprimée en flexion composée s’effectue en se ramenant à l’étude d’une flexion
simple par identification de deux systèmes d’équations.
D’une part les deux équations d’équilibre exprimant que le torseur des
sollicitations internes (N,M/A) appliqué au point A barycentre des aciers tendus est
égal au torseur des efforts internes béton armé (Nc résultante des contraintes de
compression dans le béton, Nst résultante des contraintes de traction dans les
aciers tendus et Nsc résultante des contraintes de compression dans les aciers
comprimés) au même point A.
D’autre part les deux équations d’équilibre exprimant l’équilibre de la même
section soumise à une flexion simple est caractérisée par le moment M/A = Nea.
Ces deux systèmes étant équivalents le calcul des armatures procède des étapes
suivantes :
- Calcul du moment par rapport aux acier tendus M/A = Nea,
- Calcul en flexion simple des sections d’acier à mettre en place en zone tendue
Ast et en zone comprimée Asc,
- Calcul final de la section à mettre en place en zone tendue Ast = Ast - N/σst.
A noter qu’en flexion avec compression N est positif et qu’il est négatif en cas de
flexion composée avec traction.
ENPC – Module BAEP1 – Séance 4 18
12. FLEXION COMPOSEE : Section partiellement comprimée
Le théorème de superposition
permet de retrouver les
équations précédentes
ENPC – Module BAEP1 – Séance 4 19
Section partiellement comprimée – calcul des armatures
Une autre manière plus directe permettant de comprendre cette assimilation à la
flexion simple consiste à décomposer l’état de flexion composé en la somme de
deux états : un premier état ou la section n’est soumise qu’à l’effort normal mais
appliqué au droit des aciers tendus et un second état où la section n’est soumise
qu’à une flexion simple caractérisée par le moment M/A .
La somme des sollicitations (N,M) exprimées par rapport à G dans ces deux états
redonne bien les sollicitations de l’état de flexion composé. Par exemple en flexion
composée avec compression :
N = N (état 1) + 0 (état 2)
M/G = -N (v’-c’) (état 1) + M/A (état 2) = -N (v’-c’) + N ea= Ne
en effet en flexion composée avec compression ea= (v’-c’) + e.
ENPC – Module BAEP1 – Séance 4 20
12. FLEXION COMPOSEE : Section totalement comprimée
• Section totalement comprimée
en ELS :
• Le centre de pression est dans le noyau
central
en ELU :
• Le moment de flexion calculé par rapport aux
aciers tendus MuA=N*ea est supérieur au
moment équilibré par un diagramme de
déformation passant simultanément par les
pivots B et C
• Méthode de calcul
Méthode d’assimilation à la flexion simple ou
utilisation du diagramme d’interaction
ENPC – Module BAEP1 – Séance 4 21
Section totalement comprimée – calcul des armatures
La section est totalement comprimée en flexion composée avec compression et
en état limite de service si le centre de pression se trouve dans le noyau central
de la section.
En état limite ultime, une section soumise à une flexion composée avec
compression est entièrement comprimée si le moment de flexion calculé par
rapport aux aciers tendus M/A est supérieur au moment équilibré par un
diagramme de déformation qui passe à la fois par le pivot B et le pivot C.
Le calcul des aciers dans ce cas se fait soit par assimilation à la flexion simple,
soit par utilisation du diagramme d’interaction qui est l’outil le plus efficace pour
étudier une flexion composée.
ENPC – Module BAEP1 – Séance 4 22
13. DIAGRAMME D’INTERACTION : PIVOTS A, B et C
2‰ 3.5‰
Pivot B
Traction pure
Pivot C
Pivot AB
Compression pure
Pivot BC
Pivot A
45‰
0‰
Section 6 §6.1
ENPC – Module BAEP1 – Séance 4 23
Diagramme d’interaction – Pivots A, B et C
Le diagramme d’interaction d’une section en béton armé est le lieu des points (N,M)
correspondants à un état limite ultime de la section.
Pour construire ce diagramme on envisage les diagrammes de déformation relative
sur la hauteur de la section qui passent par l’un des trois pivots : A, B ou C.
Le pivot A correspond à l’atteinte, par l’acier passif tendu situé en partie basse d’une
section soumise à un moment de flexion positif, de sa limite de déformation relative
en traction, en se rappelant que celle-ci n’est limitée qu’avec la branche inclinée du
diagramme contrainte déformation à εud = 45‰.
Le pivot B correspond à l’atteinte, par le béton comprimé situé en fibre supérieure
de la section, de sa limite de déformation relative en compression εcu2 = 3,5‰.
Le pivot C correspond à la limite de déformation relative du béton en compression
pure; il s’obtient en faisant l’intersection des deux diagrammes [εcsup = 3,5 ‰, εcinf =
0] et [εc(y)= 2 ‰].
ENPC – Module BAEP1 – Séance 4 24
13. DIAGRAMME D’INTERACTION
Quand le diagramme des déformations élémentaires tourne successivement
autour des trois pivots le point (M,N) correspondant décrit le diagramme
d’interaction.
ENPC – Module BAEP1 – Séance 4 25
Diagramme d’interaction – Construction du diagramme
Un diagramme de déformation relative sur la hauteur de la section est défini par
deux valeurs : εc raccourcissement du béton et εst allongement des aciers (ou εcinf
déformation relative de la fibre inférieure en pivot C). La donnée de ces deux
valeurs permet de trouver la position de l’axe neutre [α= εc/(εc+ εst)] et de définir la
zone comprimée.
La variation des contraintes de compression sur la hauteur de la zone comprimée
résulte directement de l’application du diagramme contrainte-déformation du béton,
de même les contraintes dans les aciers tendus et comprimés sont données par la
loi contrainte-déformation des aciers passifs. L’intégration de ces états de contrainte
sur les aires de béton ou d’armatures concernées permet d’aboutir aux résultantes
N et M correspondant à un point (N,M) du diagramme d’intégration.
Celui-ci est construit en envisageant successivement les diagrammes de
déformations limites qui tournent autour du pivot A [εst = 45‰ et εc ≤3,5 ‰] en
commençant par un diagramme vertical [ε(y) = 45‰] et en terminant par le
diagramme passant par les pivots A et B puis les diagrammes qui tournent autour
du pivot B [εst ≤ 45‰ et εc = 3,5 ‰] jusqu’à atteindre le diagramme passant par B et
C [εcsup = 3,5 ‰ et εcinf = 0] et en terminant par les diagrammes qui tournent autour
du pivot C. Le dernier diagramme est vertical et correspond à [εc(y)= 2 ‰].
Le problème est symétrisé en supposant ensuite la fibre supérieure tendue.
L’intérieur du diagramme d’interaction correspond au domaine réglementaire
respectant les limites admissibles et l’extérieur n’est pas autorisé.
ENPC – Module BAEP1 – Séance 4 26
13. DIAGRAMME D’INTERACTION – Poteau 60*60 C50
εc= 3.5‰
Fb= 2,24MN
Fsc= 0,59MN
εsc= 2.0‰
Ac= 14,01cm²
section d'acier
At
14,041
ferraillage pratique
Ac
At
3HA25
3HA25
3. Diagramme d'interaction
At= 14,01cm²
εst= 10‰
Fst= 0,64MN
Diagramme d'interaction - Section rectangulaire - EC2
1.50
1.00
allongement acier
raccourcissement béton
epsst
epsb
-0,0100
0,0035
hauteur de béton comprimé
raccourcissement acier comprimés
contrainte béton
contrainte acier tendus
contrainte aciers comprimés
hx
epssc
0,1400
0,0020
33,33
-434,78
400,00
effort de compression béton
bras de levier
moment béton
Fb
Mb
2,240
0,244
0,547
M (MNm)
0.50
-4.00
-2.00
0.00
0.00
2.00
4.00
6.00
-0.50
-1.00
8.00
10.00
12.00
14.00
effort de compression Ac
bras de levier
moment Ac
Fsc
effort de traction At
bras de levier
moment At
Fst
Mst
effort resultant
moment resultant
N
M
Msc
0,589
0,240
0,141
16.00
-0,640
-0,240
0,154
2,189
0,842
-1.50
N (MN)
ENPC – Module BAEP1 – Séance 4 27
Diagramme d’interaction – Exemple
Considérons un poteau en béton C50 de 60cm x 60cm armé par 3 HA25 sur chacune de ses
deux faces hautes et basses avec un barycentre à 6cm du parement.
Une simple feuille de calcul permet de constituer point par point le diagramme d’interaction de
ce poteau. Après les lignes de données concernant la géométrie de la section, les matériaux
utilisés et les sections d’acier mises en place deux cellules contiennent la valeur du
raccourcissement du béton et de l’allongement de l’acier inférieur pour un état limite de
déformation donné (εc = 3,5 ‰ εst = 10 ‰ )
La hauteur de béton comprimé αd = εc/(εc+ εst), d est égal à 3,5/13,5*0,53=0,137m.
Le raccourcissement des aciers comprimés a pour valeur εsc=(αd-c’)/ αd*3,5‰ =2‰.
La contrainte béton a pour valeur σc=50/1,5MPa, celle des aciers tendus σst=435MPa
(aciers plastifiés ; branche horizontale) et celle des aciers comprimés σsc=400MPa
(aciers en phase élastique ; σ= E ε)
La résultante des compressions dans le béton Fb=0,8 αdb σc= 2,24MN située à 0,4αd
de la fibre supérieure soit 0,056m, le moment résultant au CdG vaut M=Fb(h/2-0,4 αd)=
0,55MNm.
La résultante des compressions dans les aciers comprimés a pour valeur
Ac σsc=0,59MN, elle est située à 6cm de la fibre supérieure d’où un moment
Msc=0,14MNm.
La résultante des tractions dans les aciers tendus a pour valeur As σst=0,64MN, elle est
située à 6cm de la fibre inférieure d’où un moment résultant au CdG Mst=0,15MNm.
L’effort normal équilibré par la section a pour valeur N = 2,24+0,59-0,64= 2,19MN.
Le moment de flexion a pour valeur M=0,55+0,14+0,15=0,84MNm.
Le point (N=2,19MN et M=0,84MNm) est un point du diagramme d’interaction.
En modifiant les cellules contenant εc et εst on détermine les autres points du diagramme.
ENPC – Module BAEP1 – Séance 4 28
13. DIAGRAMME D’INTERACTION – EXEMPLE 1 (fin)
1.50
b=
h=
d=
14.70 cm²
0.060 m
1.00
A inf =
c=
A sup =
c' =
fck =
fcd =
50.00 MPa
33.3 MPa
Diagramme d'interaction - Section rectangulaire - EC2
M (MNm)
0.50
-4.00
0.00
-2.00
0.00
2.00
4.00
6.00
-0.50
8.00
10.00
12.00
14.00
0.60 m
0.60 m
0.54 m
14.70 cm²
0.060 m
εcu2 =
0.0035
εc1 =
0.0020
fyk =
500.00 MPa
fyd =
434.8 MPa
εud =
16.00 k-1 =
0.0450
0.08
NELU =
3.00 MN
MELU =
0.800 MN
-1.00
-1.50
N (MN)
ENPC – Module BAEP1 – Séance 4 29
13. DIAGRAMME D’INTERACTION - EXEMPLE
1.50
b=
h=
d=
24.55 cm²
0.060 m
1.00
A inf =
c=
A sup =
c' =
fck =
fcd =
50.00 MPa
33.3 MPa
Diagramme d'interaction - Section rectangulaire - EC2
M (MNm)
0.50
-2.00
0.00
0.00
4.00
6.00
-0.50
8.00
10.00
12.00
0.00 cm²
0.060 m
εcu2 =
0.0035
εc1 =
0.0020
fyk =
500.00 MPa
fyd =
2.00
0.50 m
0.70 m
0.64 m
εud =
14.00 k-1 =
434.8 MPa
0.0450
0.08
NELU =
0.60 MN
MELU =
0.600 MN
-1.00
-1.50
N (MN)
ENPC – Module BAEP1 – Séance 4 30