Examen Vibrations 2015 Fichier

Lundi 23 mars 2015
Nom :
Prénom :
UF Simulation Numérique SN11
Examen de Vibrations
Durée 1 h 15
Aucun document autorisé – Calculatrice autorisée
Document à compléter et à rendre
1. Questions de cours
Les fréquences propres d’un système mécanique dépendent, à priori (entourez la bonne
réponse) :
Des dimensions de la pièce :
oui
non
Justification
Des efforts appliqués :
Justification
oui
non
Des conditions aux limites :
oui
Justification
À quoi correspond l’amortissement critique ?
non
Cf. Cours
Donnez deux moyens expérimentaux pour exciter une structure.
Cf. Cours
2. Système à 1 degré de liberté
On considère un appareillage composé d’un moteur assimilable à une masse m, fixée au sol par
l’intermédiaire d’un support modélisé ici par un ressort-amortisseur. L’appareillage est modélisé
comme suit :
Avec m = 40×103 g ; c = 200 daNs/m ; k = 12 daN/cm. Calculez la pulsation naturelle,
ainsi que la fréquence amortie de ce système.
ω ≈ 17,3 rad/s
Le système est sur amorti, car ξ ≈ 1,44, il n’oscille pas. Il n’y a pas de
fréquence amortie.
L’amplitude du mouvement de la masse m doit être inférieur à 1000 μm pour une
excitation à 6 Hz. Déterminez la valeur maximale de l’effort F.
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Le système étant sur amorti, on ne peut utiliser les résultats du formulaire
p18, valable uniquement pour un système sous amorti.
Dans ce cas, le déplacement maximum est obtenu en statique avec X=F/k, à 6
Hz l’amplitude sera encore plus faible.
Que préconiseriez-vous pour réduire, de façon simple, les niveaux vibratoires générés ?
Rien, on a déjà un système sur amorti, cela ne sert à rien d’augmenter encore
l’amortissement.
3. Système à 2 degrés de liberté
On considère le système suivant avec m = 40×103 g et k = 12 daN/cm.
Déterminez les équations du mouvement par la méthode de votre choix.
mx(t)'' + (3/2) kx(t) = 0
my(t)'' + (3/2) ky(t) = 0
Déterminez la matrice de masse et de raideur du système.
Donnez la démarche à suivre, sans faire les calculs, afin d’obtenir les modes propres de
l’ensemble.
Le système d’équation est déjà découplé, on a deux oscillateurs découplés un
suivant x et l’autre suivant y (cf. TD).
4. Système continu
On modélise la poutre suivante :
k
v(x) u(x)
E, ρ, S, I
k
L
Ecrire les conditions aux limites du problème, aussi bien pour la partie traction u(x) que
pour la partie flexion v(x).
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CL en traction :
En x = 0 : ku(0)=ESdu/dx(0)
En x = L : ESdu/dx(0) = 0 (force de traction compression nulle)
CL en flexion :
En x = 0 : kv(0) = EI d3v/dx3(0) (effort tranchant) et EId2v/dx(0) = 0
(moment)
En x = L : EI d3v/dx3(L) = EId2v/dx(0) = 0
E, ρ, S, I
L
On considère les raideurs très grandes, la poutre est donc encastrée-libre et travaille en
flexion, avec E = 210 GPa, ρ = 7,8 kg/dm3, I = 6666 mm4, S = 200 mm², L = 3 m. Calculez
les trois premières fréquences propres de la poutre.
f1 ≈ 1,8 Hz
f2 ≈ 11,7 Hz
f3 ≈ 32 Hz
Maintenant, on excite cette poutre avec une fréquence à f = 2 Hz, mais l’on souhaite
avoir la première fréquence propre de la poutre supérieure à 20 Hz.
Calculez la nouvelle longueur de la poutre.
L < 0,92 m
À quels endroits se trouvent les sections les plus exposées au risque de casse ?
Encastrement et ventre
5. Formulaire
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